2024届高考数学专项练习解三角形“热考”十点（解析版）.pdf

1解三角形“热考”十点解三角形“热考”十点热点题型速览热点题型速览热点一 三角形中边角计算热点二 判断三角形的形状热点三 三角形解的个数问题热点四 解三角形与平面向量的交汇热点五 解三角形与解析几何交汇问题热点六 解三角形与立体几何交汇问题热点七 正弦定理、余弦定理应用于平面几何问题热点八 三角形周长问题热点九 三角形面积问题热点十 三角形范围(最值)问题三角形边(关系式)的问题三角形角(函数值)问题三角形周长问题三角形面积问题热点一 三角形中边角计算热点一 三角形中边角计算1(2023北京统考高考真题)在ABC中，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB)，则C=()A.6B.3C.23D.562(2020全国统考高考真题)在ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则cosB=()A.19B.13C.12D.233(2021全国高考真题)在ABC中，已知B=120，AC=19，AB=2，则BC=()A.1B.2C.5D.34(2020山东统考高考真题)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2+b2=c2+absinC，且asinBcosC+csinBcosA=22b，则tanA等于()A.3B.-13C.3或-13D.-3或135(2021浙江统考高考真题)在ABC中，B=60,AB=2，M是BC的中点，AM=2 3，则AC=，cosMAC=.【规律方法】1.已知任意两角和一边，解三角形的步骤：求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；求边：根据正弦定理，求另外的两边（1）已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解（2）已知三边解三角形的方法2024届高考数学专项练习解三角形届高考数学专项练习解三角形“热考热考”十点（解析版）十点（解析版）2(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角(2)利用余弦定理求三角的余弦，进而求得三个角热点二热点二 判断三角形的形状判断三角形的形状6在ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判断ABC的形状7(2020全国统考高考真题)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos22+A+cosA=54(1)求A；(2)若b-c=33a，证明：ABC是直角三角形【规律方法】利用正弦定理判断三角形形状的方法：(1)化边为角将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状(2)化角为边根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a=b，a2+b2=c2)，进而确定三角形的形状2.判断三角形的形状时，经常用到以下结论ABC为直角三角形a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.ABC为锐角三角形a2+b2c2且b2+c2a2且c2+a2b2.ABC为钝角三角形a2+b2c2或b2+c2a2或c2+a2b2.若sin 2A=sin 2B，则A=B或A+B=2.3常见误区：易忽略三角形中的隐含条件3热点三热点三 三角形解的个数问题三角形解的个数问题8(2016全国卷文，4)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=5，c=2，cosA=23，则b=()A.2 B.3C.2D.39在ABC中，已知sinC=12，a=2 3，b=2，求边c10(2023春江西鹰潭高三贵溪市实验中学校考阶段练习)在tanAtanC-3tanA=1+3tanC；2c-3acosB=3bcosA；a-3csinA+csinC=bsinB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.问题：在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.(1)求角B的大小；(2)已知c=b+1，且角A有两解，求b的范围.【方法技巧】三角形解的个数的判断在ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理解三角形时，会出现解不确定的情况，一般可根据三角形中“大边对大角和三角形内角和定理”来取舍具体解的情况如下表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsin Absin Aab解的个数一解两解一解一解上表中若A为锐角，则当a CDB.AD6D.ADC4【点评】1.交汇考向主要有：(1)向量坐标运算条件下解三角形问题；(2)三角形中向量运算问题；(3)共线向量条件下解三角形问题；(4)向量的模与解三角形问题.2.解答的总体思路可归结为三个环节：(1)根据向量运算的定义、法则、运算律等，加以计算；(2)应用三角公式，进行变形进而完成化简；(3)应用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等，实施边角转化.就整体而言，正确向量运算、恒等变形是基础，恰当的边角转化是关键，考查的核心是解三角形、三角问题，向量运算是工具.应该注意的是，向量运算条件的给出，也可能是向量平行、垂直，需根据相关条件加以转化.热点五热点五 解三角形与解析几何交汇问题解三角形与解析几何交汇问题14(2021全国统考高考真题)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF2=60,PF1=3 PF2，则C的离心率为()A.72B.132C.7D.1315(2023全国高三专题练习)已知椭圆x29+y26=1，F1,F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cosF1PF2=35，则|PO|=()A.25B.302C.35D.35216(2023湖北武汉统考模拟预测)已知抛物线y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线交于A，B两点，若AFB=CFB，则|AF|=【点评】1.与椭圆、双曲线的定义及几何性质相结合，在“焦点三角形”中，综合应用定义、正弦定理或余弦定理，确定几何量或几何量之间的关系，解决离心率(范围)计算问题，这类问题多以客观题出现；2.直线与圆锥曲线位置关系问题中，通过交点等构造或产生三角形，计算三角形面积(最值)、线段长度等，这类问题多在主观题出现，解题过程往往通过直线与圆锥曲线方程联立方程组，应用判别式、一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、正弦定理、余弦定理等热点六热点六 解三角形与立体几何交汇问题解三角形与立体几何交汇问题517(2023全国统考高考真题)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PC=PD=3,PCA=45，则PBC的面积为()A.2 2B.3 2C.4 2D.6 218(2023全国统考高考真题)已知ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为()A.15B.25C.35D.2519(2023河南校联考模拟预测)点P是圆柱上底面圆周上一动点，ABC是圆柱下底面圆的内接三角形，已知在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，C=60，三棱锥P-ABC的体积最大值为233，则该三棱锥外接球的表面积为()A.193B.283C.539D.433【点评】与立体几何的交汇问题，往往是利用几何体中存在的三角形，应用正弦定理或余弦定理，确定解题所需要的几何量，完成角的(函数值)的计算、面积计算等，有时与数学文化相结合，解决古典书籍中的问题，或与时俱进，解决现实生活中的立体几何问题，善于发现相关三角形或做辅助线构造三角形，是解题的重要基础.热点七热点七正弦定理、余弦定理应用于平面几何问题正弦定理、余弦定理应用于平面几何问题20(2023全国统考高考真题)在ABC中，BAC=60,AB=2,BC=6，BAC的角平分线交BC于D，则AD=21(2020江苏统考高考真题)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,c=2,B=45(1)求sinC的值；(2)在边BC上取一点D，使得cosADC=-45，求tanDAC的值6【点评】解三角形应用于平面几何问题的基本思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果(3)特别提醒：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题热点八热点八 三角形周长问题三角形周长问题22(2022全国统考高考真题)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)(1)证明：2a2=b2+c2；(2)若a=5,cosA=2531，求ABC的周长23(2022北京统考高考真题)在ABC中，sin2C=3sinC(1)求C；(2)若b=6，且ABC的面积为6 3，求ABC的周长热点九热点九 三角形面积问题三角形面积问题24(2023全国统考高考真题)在ABC中，已知BAC=120，AB=2，AC=1.(1)求sinABC；(2)若D为BC上一点，且BAD=90，求ADC的面积.725(2022浙江统考高考真题)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知4a=5c,cosC=35(1)求sinA的值；(2)若b=11，求ABC的面积【点评】三角形面积有关的问题解答步骤：（1）化简转化：根据条件，利用三角恒等变换公式，化简已知条件等式，再利用正弦定理、余弦定理化边、化角；（2）选择公式：多选择SABC=12absin C=12bcsin A=12acsin B；（3）求值(最值).热点十热点十 三角形范围（最值）问题三角形范围（最值）问题26(2022全国统考高考真题)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B(1)若C=23，求B；(2)求a2+b2c2的最小值27(2020浙江统考高考真题)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA-3a=0(I)求角B的大小；(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围828(2020全国统考高考真题)ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC(1)求A；(2)若BC=3，求ABC周长的最大值.【思路引导】(1)第一步，应用正弦定理角化边；第二步，应用余弦定理求cosA，进而求得A；(2)重点分析方法一：由于BC已知，因此，主要任务是确定AC+AB的最值.第一步，应用余弦定理并化简可得 AC+AB2-ACAB=9；第二步，利用基本不等式求得AC+AB的最大值，进而得到结果.29(2022秋河南郑州高三郑州外国语学校校考阶段练习)在 a+csinA-sinC=b sinA-sinB；2b-ac-cosAcosC=0；向量m=c，3b与n=cosC，sinB平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.(1)求角C；(2)若ABC为锐角三角形，且a=4，求ABC面积的取值范围.【点评】1.边角、周长问题：利用正弦定理余弦定理灵活的进行边角转化，如果转化成“边”的表达式，应用基本不等式求最值(范围)；如果转化成三角函数表达式，应用二次函数的性质或应用三角函数的性质求解.2.面积问题求解基本步骤：一是应用正弦定理、余弦定理实施边角转化；二是确定三角形面积的表达式；三是应用均值不等式或三角函数性质求其最值(范围).1解三角形“热考”十点解三角形“热考”十点热点题型速览热点题型速览热点一 三角形中边角计算热点二 判断三角形的形状热点三 三角形解的个数问题热点四 解三角形与平面向量的交汇热点五 解三角形与解析几何交汇问题热点六 解三角形与立体几何交汇问题热点七 正弦定理、余弦定理应用于平面几何问题热点八 三角形周长问题热点九 三角形面积问题热点十 三角形范围(最值)问题三角形边(关系式)的问题三角形角(函数值)问题三角形周长问题三角形面积问题热点一热点一 三角形中边角计算三角形中边角计算1(2023北京统考高考真题)在ABC中，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB)，则C=()A.6B.3C.23D.56【答案】B【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB)，所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b)，即a2-c2=ab-b2，则a2+b2-c2=ab，故cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12，又0C4，由正弦定理可得sin(A+C)=22sinB=22，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；【详解】cosC=a2+b2-c22ab=sinC2tanC=2，C4，asinA=bsinB=csinC=2R，sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=22sinB，sin(A+C)=22sinB=22，B=4，tanB=1，tanA=-tan(B+C)=-tanB+tanC1-tanBtanC=3，故选：A.5(2021浙江统考高考真题)在ABC中，B=60,AB=2，M是BC的中点，AM=2 3，则AC=，cosMAC=.【答案】2 132 3913【分析】由题意结合余弦定理可得BC=8，进而可得AC，再由余弦定理可得cosMAC.【详解】由题意作出图形，如图，3在ABM中，由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2BMBAcosB，即12=4+BM2-2BM212，解得BM=4(负值舍去)，所以BC=2BM=2CM=8，在ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=4+64-22812=52，所以AC=2 13；在AMC中，由余弦定理得cosMAC=AC2+AM2-MC22AMAC=52+12-1622 3 2 13=2 3913.故答案为：2 13；2 3913.【规律方法】1.已知任意两角和一边，解三角形的步骤：求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；求边：根据正弦定理，求另外的两边（1）已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解（2）已知三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角(2)利用余弦定理求三角的余弦，进而求得三个角热点二热点二 判断三角形的形状判断三角形的形状6在ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判断ABC的形状【答案】直角三角形【解析】解法一：b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，利用正弦定理可得sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sinBsinCcosBcosC，sinBsinC0，sinBsinC=cosBcosC，cos(B+C)=0，cosA=0，0A，A=2，ABC为直角三角形解法二：已知等式可化为b2-b2cos2C+c2-c2cos2B=2bccosBcosC，由余弦定理可得b2+c2-b2a2+b2-c22ab2-c2a2+c2-b22ac2=2bca2+b2-c22aba2+c2-b22acb2+c2=a2，ABC为直角三角形解法三：已知等式变形为b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC，b2+c2=b2cos2C+c2cos2B+2bccosBcosC，4b2cos2C+c2cos2B+2bccosBcosC=(bcosC+ccosB)2=a2，b2+c2=a2，ABC为直角三角形7(2020全国统考高考真题)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos22+A+cosA=54(1)求A；(2)若b-c=33a，证明：ABC是直角三角形【答案】(1)A=3；(2)证明见解析【分析】(1)根据诱导公式和同角三角函数平方关系，cos22+A+cosA=54可化为1-cos2A+cosA=54，即可解出；(2)根据余弦定理可得b2+c2-a2=bc，将b-c=33a代入可找到a,b,c关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出【详解】(1)因为cos22+A+cosA=54，所以sin2A+cosA=54，即1-cos2A+cosA=54，解得cosA=12，又0Ac，解得b=2c，所以a=3c，故b2=a2+c2，即ABC是直角三角形【规律方法】利用正弦定理判断三角形形状的方法：(1)化边为角将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状(2)化角为边根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a=b，a2+b2=c2)，进而确定三角形的形状2.判断三角形的形状时，经常用到以下结论ABC为直角三角形a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.ABC为锐角三角形a2+b2c2且b2+c2a2且c2+a2b2.ABC为钝角三角形a2+b2c2或b2+c2a2或c2+a2b2.若sin 2A=sin 2B，则A=B或A+B=2.3常见误区：易忽略三角形中的隐含条件5热点三热点三 三角形解的个数问题三角形解的个数问题8(2016全国卷文，4)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=5，c=2，cosA=23，则b=()A.2 B.3C.2D.3【答案】D【解析】由余弦定理，得4+b2-22bcosA=5.整理得3b2-8b-3=0，解得b=3或b=-13(舍去)，故选D9在ABC中，已知sinC=12，a=2 3，b=2，求边c【解析】sinC=12，且0C1【分析】(1)若选，由两角和的正切公式化简即可求出求角B的大小；若选，利用正弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式即可求解；若选，由余弦定理代入化简即可得出答案.(2)将c=b+1代入正弦定理可得sinC=b+12b，要使角A有两解，即12sinC0，所以cosB=32，因为B 0,，所以B=6；若选：由正弦定理整理得a2+c2-b2=3ac，所以a2+c2-b22ac=32，即cosB=32，因为B 0,，所以B=6；6(2)将c=b+1代入正弦定理bsinB=csinC，得bsinB=b+1sinC，所以sinC=b+12b，因为B=6，角A的解有两个，所以角C的解也有两个，所以12sinC1，即12b+12b0，所以bb+11.【方法技巧】三角形解的个数的判断在ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理解三角形时，会出现解不确定的情况，一般可根据三角形中“大边对大角和三角形内角和定理”来取舍具体解的情况如下表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsin Absin Aab解的个数一解两解一解一解上表中若A为锐角，则当a CDB.AD6D.ADC0，得AD6a，即AD6CD22，所以ADC0，联立y2=8x，可得y2-8my+16=0，易得0，设A x1,y1,B x2,y2，则y10,y20，则y1+y2=8m,y1y2=16，则AB=1+m2 y1-y2，BC=1+m2 y2=1+m2y2，由正弦定理得CFsinCBF=BCsinCFB，AFsinABF=ABsinAFB，10因为AFB=CFB，CBF+ABF=，所以y1y2，CFAF=BCAB，即4AF=1+m2 y21+m2 y1-y2=y2y1-y2，又由焦半径公式可知AF=x1+2=my1-2+2=my1，则4my1=y2y1-y2，即my1y2=4y1-4y2=4y1+y22-4y1y2，即16m=4 64m2-64，解得m=2 33，则y1+y2=16 33,y1y2=16，解得y1=4 3，故|AF|=my1=2 334 3=8，当m0时，同理可得到|AF|=8.故答案为：8【点睛】方法点睛：解三角形中，当条件中有角平分线时，可利用正弦定理得到角平分线的性质，将角的关系转化为边的比例关系，再进行求解.【点评】1.与椭圆、双曲线的定义及几何性质相结合，在“焦点三角形”中，综合应用定义、正弦定理或余弦定理，确定几何量或几何量之间的关系，解决离心率(范围)计算问题，这类问题多以客观题出现；2.直线与圆锥曲线位置关系问题中，通过交点等构造或产生三角形，计算三角形面积(最值)、线段长度等，这类问题多在主观题出现，解题过程往往通过直线与圆锥曲线方程联立方程组，应用判别式、一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、正弦定理、余弦定理等热点六热点六 解三角形与立体几何交汇问题解三角形与立体几何交汇问题17(2023全国统考高考真题)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PC=PD=3,PCA=45，则PBC的面积为()A.2 2B.3 2C.4 2D.6 2【答案】C【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得PDOPCO，PDBPCA，从而得到PA=PB，再在PAC中利用余弦定理求得PA=17，从而求得PB=17，由此在PBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先在PAC中利用余弦定理求得PA=17，cosPCB=13，从而求得PA PC=-3，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于PB,BPD的方程组，从而求得PB=17，由此在PBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.【详解】法一：连结AC,BD交于O，连结PO，则O为AC,BD的中点，如图，11因为底面ABCD为正方形，AB=4，所以AC=BD=4 2，则DO=CO=2 2，又PC=PD=3，PO=OP，所以PDOPCO，则PDO=PCO，又PC=PD=3，AC=BD=4 2，所以PDBPCA，则PA=PB，在PAC中，PC=3,AC=4 2,PCA=45，则由余弦定理可得PA2=AC2+PC2-2ACPCcosPCA=32+9-24 2 322=17，故PA=17，则PB=17，故在PBC中，PC=3,PB=17,BC=4，所以cosPCB=PC2+BC2-PB22PCBC=9+16-17234=13，又0PCB，所以sinPCB=1-cos2PCB=2 23，所以PBC的面积为S=12PCBCsinPCB=12342 23=4 2.法二：连结AC,BD交于O，连结PO，则O为AC,BD的中点，如图，因为底面ABCD为正方形，AB=4，所以AC=BD=4 2，在PAC中，PC=3,PCA=45，则由余弦定理可得PA2=AC2+PC2-2ACPCcosPCA=32+9-24 2 322=17，故PA=17，所以cosAPC=PA2+PC2-AC22PAPC=17+9-32217 3=-1717，则PA PC=PA PC cosAPC=17 3-1717=-3，不妨记PB=m,BPD=，因为PO=12PA+PC=12PB+PD，所以 PA+PC 2=PB+PD 2，即PA 2+PC 2+2PA PC=PB 2+PD 2+2PB PD，则17+9+2-3=m2+9+23mcos，整理得m2+6mcos-11=0，又在PBD中，BD2=PB2+PD2-2PBPDcosBPD，即32=m2+9-6mcos，则m2-6mcos-23=012，两式相加得2m2-34=0，故PB=m=17，故在PBC中，PC=3,PB=17,BC=4，所以cosPCB=PC2+BC2-PB22PCBC=9+16-17234=13，又0PCB0，解得：b=1+3，由SABC=SABD+SACD可得，122bsin60=122ADsin30+12ADbsin30，解得：AD=3b1+b2=2 3 1+33+3=2故答案为：2方法二：由余弦定理可得，22+b2-22bcos60=6，因为b0，解得：b=1+3，由正弦定理可得，6sin60=bsinB=2sinC，解得：sinB=6+24，sinC=22，因为1+3 6 2，所以C=45，B=180-60-45=75，又BAD=30，所以ADB=75，即AD=AB=2故答案为：2【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规21(2020江苏统考高考真题)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,c=2,B=45(1)求sinC的值；(2)在边BC上取一点D，使得cosADC=-45，求tanDAC的值【答案】(1)sinC=55；(2)tanDAC=211.【分析】(1)方法一：利用余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinC.(2)方法一：根据cosADC的值，求得sinADC的值，由(1)求得cosC的值，从而求得sinDAC,cosDAC的值，进而求得tanDAC的值.【详解】(1)方法一：正余弦定理综合法由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=9+2-232 22=5，所以b=5.15由正弦定理得csinC=bsinBsinC=csinBb=55.方法二【最优解】：几何法过点A作AEBC，垂足为E在RtABE中，由c=2,B=45，可得AE=BE=1，又a=3，所以EC=2在RtACE中，AC=AE2+EC2=5，因此sinC=15=55(2)方法一：两角和的正弦公式法由于cosADC=-45，ADC2,，所以sinADC=1-cos2ADC=35.由于ADC2,，所以C 0,2，所以cosC=1-sin2C=2 55.所以sinDAC=sin-DAC=sin ADC+C=sinADCcosC+cosADCsinC=352 55+-4555=2 525.由于DAC 0,2，所以cosDAC=1-sin2DAC=11 525.所以tanDAC=sinDACcosDAC=211.方法二【最优解】：几何法+两角差的正切公式法在(1)的方法二的图中，由cosADC=-45，可得cosADE=cos(-ADC)=-cosADC=45，从而sinDAE=cosADE=45,tanDAE=sinDAEcosDAE=43又由(1)可得tanEAC=ECAE=2，所以tanDAC=tan(EAC-EAD)=tanEAC-tanEAD1+tanEACtanEAD=211方法三：几何法+正弦定理法在(1)的方法二中可得AE=1,CE=2,AC=5在RtADE中，AD=AEsinADE=5,ED=ADcosADE=43，所以CD=CE-DE=23在ACD中，由正弦定理可得sinDAC=CDADsinC=2 525，由此可得tanDAC=211方法四：构造直角三角形法如图，作AEBC，垂足为E，作DGAC，垂足为点G16在(1)的方法二中可得AE=1,CE=2,AC=5由cosADC=-45，可得cosADE=45,sinADE=1-cos2ADE=35在RtADE中，AD=AEsinADE=53,DE=AD2-AE2=43,CD=CE-DE=23由(1)知sinC=55，所以在RtCDG中，DG=CDsinC=2 515,CG=CD2-DG2=4 515，从而AG=AC-CG=11 515在RtADG中，tanDAG=DGAG=211所以tanDAC=211【整体点评】(1)方法一：使用余弦定理求得b=5，然后使用正弦定理求得sinC；方法二：抓住45角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；(2)方法一：使用两角和的正弦公式求得DAC的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得DAC的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有DAC的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.【点评】解三角形应用于平面几何问题的基本思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果(3)特别提醒：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题热点八热点八 三角形周长问题三角形周长问题22(2022全国统考高考真题)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)(1)证明：2a2=b2+c2；(2)若a=5,cosA=2531，求ABC的周长【答案】(1)见解析(2)14【分析】(1)利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；(2)根据(1)的结论结合余弦定理求出bc，从而可求得b+c，即可得解.【详解】(1)证明：因为sinCsin A-B=sinBsin C-A，所以sinCsinAcosB-sinCsinBcosA=sinBsinCcosA-sinBsinAcosC，所以aca2+c2-b22ac-2bcb2+c2-a22bc=-aba2+b2-c22ab，17即a2+c2-b22-b2+c2-a2=-a2+b2-c22，所以2a2=b2+c2；(2)解：因为a=5,cosA=2531，由(1)得b2+c2=50，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，则50-5031bc=25，所以bc=312，故 b+c2=b2+c2+2bc=50+31=81，所以b+c=9，所以ABC的周长为a+b+c=14.23(2022北京统考高考真题)在ABC中，sin2C=3sinC(1)求C；(2)若b=6，且ABC的面积为6 3，求ABC的周长【答案】(1)6(2)6+6 3【分析】(1)利用二倍角的正弦公式化简可得cosC的值，结合角C的取值范围可求得角C的值；(2)利用三角形的面积公式可求得a的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得ABC的周长.【详解】(1)解：因为C 0,，则sinC0，由已知可得3sinC=2sinCcosC，可得cosC=32，因此，C=6.(2)解：由三角形的面积公式可得SABC=12absinC=32a=6 3，解得a=4 3.由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=48+36-24 3 632=12，c=2 3，所以，ABC的周长为a+b+c=6 3+6.热点九热点九 三角形面积问题三角形面积问题24(2023全国统考高考真题)在ABC中，已知BAC=120，AB=2，AC=1.(1)求sinABC；(2)若D为BC上一点，且BAD=90，求ADC的面积.【答案】(1)2114；(2)310.【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BC=7，然后由余弦定理可得cosB=5 714，最后由同角三角函数基本关系可得sinB=2114；(2)由题意可得SABDSACD=4，则SACD=15SABC，据此即可求得ADC的面积.【详解】(1)由余弦定理可得：BC2=a2=b2+c2-2bccosA=4+1-221cos120=7，18则BC=7，cosB=a2+c2-b22ac=7+4-1227=5 714，sinABC=1-cos2B=1-2528=2114.(2)由三角形面积公式可得SABDSACD=12ABADsin9012ACADsin30=4，则SACD=15SABC=151221sin120=310.25(2022浙江统考高考真题)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知4a=5c,cosC=35(1)求sinA的值；(2)若b=11，求ABC的面积【答案】(1)55；(2)22【分析】(1)先由平方关系求出sinC，再根据正弦定理即可解出；(2)根据余弦定理的推论cosC=a2+b2-c22ab以及4a=5c可解出a，即可由三角形面积公式S=12absinC求出面积【详解】(1)由于cosC=35，0C，则sinC=45因为4a=5c，由正弦定理知4sinA=5sinC，则sinA=54sinC=55(2)因为4a=5c，由余弦定理，得cosC=a2+b2-c22ab=a2+121-165a222a=11-a252a=35，即a2+6a-55=0，解得a=5，而sinC=45，b=11，所以ABC的面积S=12absinC=1251145=22【点评】三角形面积有关的问题解答步骤：（1）化简转化：根据条件，利用三角恒等变换公式，化简已知条件等式，再利用正弦定理、余弦定理化边、化角；（2）选择公式：多选择SABC=12absin C=12bcsin A=12acsin B；（3）求值(最值).热点十热点十 三角形范围（最值）问题三角形范围（最值）问题26(2022全国统考高考真题)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B(1)若C=23，求B；(2)求a2+b2c2的最小值19【答案】(1)6；(2)4 2-5【分析】(1)根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cosA1+sinA=sin2B1+cos2B化成cos A+B=sinB，再结合0B2，即可求出；(2)由(1)知，C=2+B，A=2-2B，再利用正弦定理以及二倍角公式将a2+b2c2化成4cos2B+2cos2B-5，然后利用基本不等式即可解出【详解】(1)因为cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，即sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos A+B=-cosC=12，而0B0，所以2C,0B0，a2+c2-b2=ac，所以cosB=a2+c2-b22ac=12，又B为ABC的一个内角，故B=3.方法二【最优解】：正弦定理边化角由2bsinA=3a，结合正弦定理可得：2sinBsinA=3sinA,sinB=32ABC为锐角三角形，故B=3.(II)方法一：余弦定理基本不等式因为B=3，并利用余弦定理整理得b2=a2+c2-ac，即3ac=(a+c)2-b2.结合aca+c22，得a+cb2.由临界状态(不妨取A=2)可知a+cb=3.而ABC为锐角三角形，所以a+cb3.由余弦定理得cosA+cosB+cosC=b2+c2-a22bc+12+a2+b2-c22ab，b2=a2+c2-ac，代入化简得cosA+cosB+cosC=12a+cb+1故cosA+cosB+cosC的取值范围是3+12,32.方法二【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有：cosA+cosB+cosC=cosA+12+cos23-A=cosA-12cosA+32sinA+12=32sinA+12cosA+12=sin A+6+12.由023-A20A2 可得：6A2，3A+623，则sin A+632,1，sin A+6+123+12,32.即cosA+cosB+cosC的取值范围是3+12,32.【整体点评】(I)的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得a2+c2-b2=ac，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；(II)的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.28(2020全国统考高考真题)ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC(1)求A；21(2)若BC=3，求ABC周长的最大值.【思路引导】(1)第一步，应用正弦定理角化边；第二步，应用余弦定理求cosA，进而求得A；(2)重点分析方法一：由于BC已知，因此，主要任务是确定AC+AB的最值.第一步，应用余弦定理并化简可得 AC+AB2-ACAB=9；第二步，利用基本不等式求得AC+AB的最大值，进而得到结果.【解析】(1)由正弦定理可得：BC2-AC2-AB2=ACAB，cosA=AC2+AB2-BC22ACAB=-12，A 0,，A=23.(2)方法一【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2ACABcosA=AC2+AB2+ACAB=9，即 AC+AB2-ACAB=9.ACABAC+AB22(当且仅当AC=AB时取等号