2024高中数学常用公式.pdf

-1-高考数学典型题高考数学典型题专题一 三角与平面向量专题一 三角与平面向量一、【命题规律】一、【命题规律】（1）三角函数一般考查化简求值、图象与性质常用公式有两角和差公式、倍角公式（注意半角公式sintan21cos）、降幂公式、辅助角公式，有时与平面向量相结合，一般是向量数量积，化简成bxAxf)sin()(的形式后再研究图象性质,如单调性、周期性、对称性、图象变换、五点法作图等；（2）解三角形中，边角互化综合利用正余弦定理和面积公式；余弦定理+均值不等式（注意取等条件），正弦定理边化角求周长、面积（注意角的范围尤其是锐角三角形）（3）平面向量主要考查数量积、平面向量基本定理，一般采用基底分解、坐标法、几何法来解决二、【知识框架】二、【知识框架】角的概念任意角的三角函数的定义同角三角函数的关系三角函数弧度制弧长公式、扇形面积公式三角函数线同角三角函数的关系诱导公式和角、差角公式二倍角公式公式的变形、逆用、“1”的替代换化简、求值、证明（恒等变形）三角函数的 图 象定义域奇偶性单调性周期性最值对称轴（正切函数除外）经过函数图象的最高（或低）点且垂直 x 轴的直线，对称中心是正余弦函数图象的零点，正切函数的对称中心为(，)（kZ）.正弦函数 ysin x=余弦函数 ycos x正切函数 ytan xsinyAxb图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；图象也可以用五点作图法；用整体代换求单调区间（注意的符号）；最小正周期 T；对称轴 x，对称中心为(，)（kZ）.平面向量概念线性运算基本定理加、减、数乘几何意义坐标表示数量积几何意义模共线与垂直共线（平行）垂直值域图象a b ba x1y2x2y1=0a b b a0 x1x2y1y2=0解三角形余弦定理面积正弦定理解的个数的讨论实际应用S12ah12absinC p(pa)(pb)(pc)（其中 pabc2）投影b在 a方向上的投影为|b|cosa b|a|设 a与 b夹角，则 cosa b|a|b|对称性|a|(x2x1)2(y2y1)2夹角公式-2-三三、【典型例题】【典型例题】1.【化简求值】若(0,)2，且23coscos(2)210，则tan（）A12B14C13D152【函数性质】（多选题）已知函数 cos04f xx，则下列说法正确的是（）A.若将 f x图象向左平移4个单位长度，所得图象与原图象重合，则的最小值为 4B.若63ff，则的最小值为 1C.若 fx在,2内单调递减，则的取值范围为1 5,2 4D.若 fx在,2内无零点，则的取值范围为3 7,2 43.【函数性质】（多选题）已知函数()3|sin|4|cos|f xxx，则()A是函数()f x的一个周期B直线()2kxkZ为函数()f x的对称轴方程C函数()f x的最大值是 5D()4f x 在0，有三个解4【向量运算】已知向量,a b c 满足：3,1abc 且1,a bab c （）则ab|的取值范围是.5.【三角向量结合】.在ABC 中，43=90ABACBAC，D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若3()2PAmPBm PC （m 为常数），则 CD 的长度是_6.【三角恒等变换与解三角形三角恒等变换与解三角形】如图，,A B C D为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明：1 costan;2sinAAA（2）若180,6,3,4,5,ACABBCCDADo求tantantantan2222ABCD的值.-3-7.【结构不良型三角结构不良型三角】已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是 a、b、c，在以下三个条件中任选一个：22sinsinsinsinsinBCABC；62sin44A；sinsin2BCbaB.并解答以下问题：（1）若选_（填序号），求A的值；（2）在（1）的条件下，若3a，0bm m，当ABC有且只有一解时，求实数m的范围及ABC面积S的最大值.8.【解三角形解三角形】已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2 cos2cBab（1）求角C；（2）若角C的角平分线交AB于点D，13ACDABCSS，3AB，求AC和CD的长度；（3）若角C的角平分线交AB于点D，13ACDABCSS，2CD，求,AB AC BC的长度.9.【三角形中取值范围三角形中取值范围】已知ABC内角A B C，的对边分别为a b c，2ACB，ABC的面积34Sa（1）求边c的值；（2）若ABC为锐角三角形，求a的取值范围-4-专题二专题二数列与不等式数列与不等式一一、【命题规律】【命题规律】不等式的主要考查点是一元二次不等式、分式不等式的解法，均值不等式的应用，但大多数情况还是把不等式作为解决问题的工具，穿插在其他试题中进行考查数列的考查重点是等差数列和等比数列证明、性质、通项公式及求和，有时和不等式结合常用放缩法来证明.要注意累加、累乘等方法求通项，及简单的递推数列求通项.一般会考 1 至 2 个小题，1 个解答题.二二、【知识框架知识框架】三三、【典型例题】【典型例题】1.(多选）若正实数a，b满足1ba，且ba，则下列结论正确的是（）概念数列表示等差数列与等比数列的类比解析法：anf(n)通项公式图象法列表法递推公式等差数列通项公式求和公式性质判断ana1(n1)dana1qn1anamaparanamapar前 n 项和Snn(a1an)2前 n 项积(an0)Tn(a1an)n常见递推类型及方法逐差累加法逐商累积法构造等比数列anqp1构造等差数列an1anf(n)an+1anf(n)an1panqpan1ananan1化为an1qn=pqanqn11 转为an+1panqn等比数列an0，q0Snna1，q1a1(1qn)1q，q1公式法：应用等差、等比数列的前 n 项和公式分组求和法倒序相加法裂项求和法错位相加法常见求和方法不等式不等式的性质一元二次不等式基本不等式：abab2数列是特殊的函数借助二次函数的图象三个二次的关系最值问题变形和定值，积最大；积定值，和最小应用时注意：一正二定三相等2abab abab2a2b22-5-A.0)ln(baB.abba C.ba 2D.11ab42.已知0,0ab，且33+122ab，则ba2的最小值为_.3.(多选)已知数列 na的前 n 项和为nS，11a，11(2),2,nnnnnanaan 为奇数为偶数则下列选项正确的是（）A数列 na的奇数项构成的数列是等差数列B数列 na的偶数项构成的数列是等比数列C138191aD10671S4(多选)已知数列 na的前n项和为nS，且满足11a，22a，1143nnnaaa，则下面说法正确的是（）A数列1nnaa为等比数列B数列13nnaa为等差数列C131nna-=+D3142nnnS5.设等差数列 na的前n项和为nS，若34=143SS，则公差d；若12103aaa，则105SS_；240)9(30,1849nnSnaS且，则n的值是249aaa=；6.数列 na满足1121nnnaan，则 na前60项和等于_；7在),2(324,16*112Nnnaaaannn；3441nnT；344nnaT三个条件中任选一个补充到下面问题中，然后解答补充完整的题目等比数列na中，0na，其前n项和为nT，且_，数列nb的前n项和为nS，且nnab2log（1）求nb；（2）若12311110.96nSSSS，求n的最小值.-6-8已知数列 na，满足11a，11233nnnna aaa；(1)求 na的通项公式；(2)若111(1)nnnnca a，求 nc的前 2n 项和2nT9数列 na的前n项和21nnA，11a，4322aaa.(1)求数列 na的通项公式；(2)设数列 nb满足22,log,.nnna nba n为奇数为偶数求数列nnba的前2n项和2nS;（3）32nnnca证明：对一切正整数n，有121113.2nccc-7-专题三 立体几何立体几何一一、【命题规律】【命题规律】近几年全国高考对立体几何的考查，一般是两小一大，分值 22 分，属中低档题，但是近两年的小题中一个小题难度较大选择填空题考查重点：外接球的问题，多选题中的截面问题、动态问题等解答题以几何体为载体，主要是证平行或垂直，求夹角和距离，特别是利用空间向量求距离为新教材新增内容空间向量求距离为新教材新增内容，今年高考需引起重视，今年高考需引起重视二二、【思维导图思维导图】点与线空间点、线、面的位置关系点在直线上点在直线外点与面点在面内点在面外线与线共面直线异面直线相交平行没有公共点只有一个公共点线与面平行相交有公共点没有公共点直线在平面外直线在平面内面与面平行相交平行关系的相互转化垂直关系的相互转化线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角范围：(0，90范围：0，90范围：0，180点到面的距离直线与平面的距离平行平面之间的距离相互之间的转化cos|ab|a|b|sin|an|a|n|cosn1n2|n1|n2|d|an|n|空间向量空间直角坐标系空间的距离空间几何体柱体棱柱圆柱正棱柱、长方体、正方体台体棱台圆台锥体棱锥圆锥球三棱锥、四面体、正四面体直观图侧面积、表面积三视图体积-8-三三、【典型例题】【典型例题】1.（体积问题体积问题）已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且6,2 3ABBC,则棱锥 O-ABCD 的体积为.2.（轨迹问题轨迹问题）已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 3，P是正方体表面上一动点，且12PAPA，则点P形成的轨迹的长度为3.（最值问题最值问题）如图，在直三棱柱111ABCABC中，12,1,90AAABBCABC，点 E 是侧棱1BB上的一个动点，则直三棱柱外接球的体积为，截面1AEC周长的最小值为.4.（多选题点线面位置关系多选题点线面位置关系）设 a，b，c 是空间的三条直线，是空间的两个平面，则下列命题中正确的是()A当 c时，若，则 cB当 b时，若，则 bC当 b，且 c 是 a 在内的射影时，若 ab，则 bcD当 b，且 c时，若 bc，则 c5.（多选多选动态问题动态问题）如图所示，在直四棱柱ABCDA B C D中,底面为等腰梯形，4AB,2ADDCCBAA,点P是侧面ADD A（含边界）内一点，M是AB的中点，下列说法正确的是A.线段PM的长度取值范围是3 2 2,B.存在点P使得直线AP与DC的夹角为4C.若PD/平面ACB,则PD与底面夹角正弦值为12D.若点P在棱A D上运动，则四棱锥PABCD外接球半径最小值为7346.（多选截面问题多选截面问题）如图，设正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，E为11AD的中点，F为1CC上的一个动点，设由点A，E，F构成的平面为，则()-9-A平面截正方体的截面可能是三角形B当点F与点1C重合时，平面截正方体的截面面积为2 6C点D到平面的距离的最大值为2 63D当F为1CC的中点时，平面截正方体的截面为五边形7.（多选多选新情景问题新情景问题）半正多面体(semiregular)solid亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为2，则()ABF 平面EABB该二十四等边体的体积为203C该二十四等边体外接球的表面积为8DPN与平面EBFN所成角的正弦值为228.（常规型常规型、证垂直求证垂直求线面线面角角）如图，在以 P，A，B，C，D 为顶点的五面体中，平面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD，12ADCDAB，平面 PAD平面 PAB，PAPB（1）求证：PAD为直角三角形；（2）若 AD=PB，求直线 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值-10-BAC1B1A1CMN9.（平行关系、二面角平行关系、二面角）已知三棱柱111ABCABC，=2AB AC，=2 2BC，1=2BB，点M为1CC中点.（1）试确定线段1AB上一点N，使AC平面BMN；（2）在（1）的条件下，若平面ABC 平面11BBC C，160ABB，求平面BMN与平面11BBC C所成锐二面角的余弦值10.（折叠问题折叠问题）如图，在等腰直角三角形ADP中，已知2A，3AD，B，C分别是AP，DP上的点，E是CD的 中 点，且/BCAD 现 将PBC沿BC折 起，使 得 点P在 平 面ABCD上 的 射 影 为 点A（1）若B，C分别是AP、DP的中点，求证：平面PAC 平面PCD（2）请判断是否存在一种折法，使得直线PB与平面ABCD所成角的余弦值是直线PB与平面PAE所成角的正弦值的265倍？若存在，求出AB的长；若不存在，请说明理由-11-11（距离问题）如图,在三棱柱ABCA B C中,四边形ABB A是边长为 2 的正方形，四边形ACC A为菱形，3A AC,平面ACC A 平面ABB A.(1)求证：CABC;(2)棱BC（除两端点外）上点M，且二面角MA BB余弦值为155，求点C到平面BMA的距离.-12-专题专题四四排列组合二项式定理排列组合二项式定理、概率统计概率统计一、【知识框架知识框架】两个原理分类加法计算原理和分步乘法计算原理排列与组合排列数：Amnn!(nm)!组合数：Cmnn!m!(nm)!性质CmnCnmnCmn1CmnCm1n计算原理二项式定理通项公式Tr1Crnanrbr首末两端“等距离”两项的二项式系数相等C0nC2nC4nC1nC3nC5n2n1C0nC1nCnn2n二项式系数性质统计随机抽样抽签法随机数表法简单随机抽样分层抽样共同特点：抽样过程中每个个体被抽到的可能性（概率）相等用样本估计总体样本频率分布估计总体总体密度曲线频率分布表和频率分布直方图茎叶图样本数字特征估计总体众数、中位数、平均数、百分位数方差、标准差变量间的相关关系两个变量的线性相关散点图回归直线正态分布列联表（22）独立性分析概率概率的基本性质互斥事件对立事件古典概型几何概型条件概率事件的独立性全概率公式常用的分布及期望、方差随机变量两点分布XB(1，p)E(X)p，D(X)p(1p)二项分布XB(n，p)E(X)np，D(X)np(1p)定义概率的计算与分布列与二项分布的区别n 次独立重复试验恰好发生 k 次的概率为Pn(k)Cknpk(1p)nk超几何分布实际应用E（aX+b）=aE(X)+b2()()D aXba D XP(AB)P(A)P(B)P(A)1P(A)P(AB)P(A)P(B)P(B|A)P(AB)P(A)-13-二二、【命题规律】【命题规律】小题常考两个，其一是排列组合，二项式定理（为主）及其应用，其二是分层抽样、古典概型，条件概率，独立重复试验等基本概型概率等加强对基本概念，基础知识的考察，近年来有考查统计图表题的趋势可能以多选题形式呈现；解答题以频率分布表、频率分布直方图、柱形图、折线图等图表为载体，侧重考查线性回归、独立性检验、二项分布、超几何分布、正态分布以及离散型随机变量的分布列及期望决策类，概率与函数数列不等式的结合，突出了对阅读能力、应用意识、数据处理能力及创新综合能力的考查.三三、【典型例题】【典型例题】1.疫情防控期间，某医院从 3 名呼吸科3 名重症科和 2 名急诊科医生中选派 5 人组成一个医疗专家小组跟本市其他医院的援助医疗队一同支援上海，则该院呼吸科重症科和急诊科医生都至少有 1 人的概率为（）A37B47C57D672.(多选题)甲箱中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A，2A，3A表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A2()5P B B15()11P B A C事件B与事件1A相互独立D1A、2A、3A两两互斥3.（多选题）下列命题中，下列说法正确的是（）A.已知随机变量 X 服从二项分布,B n p，若30E X，20D X，则23p B.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强,则线性相关系数 r 的值越接近于 1C.在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明模型的拟合精度越高D.某人在 10 次射击中，击中目标的次数为,(10,0.8)X XB，则当8X 时概率最大4.某数学老师任教不同选科组合的 A,B 两个班，A 班有学生 40 人，B 班有学生 50 人，某次数学测验 A 班平均分 95分，方差为 15；B 班平均分 86 分，方差为 24，则该老师所任教班级的该次数学测验的方差为_5 已知30个数据的第60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是6.（1）若nxx）（22的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是_（2）对任意实数 x，有923901239(23)1(1)(1)(1)xaaxa xa xa x.则下列结论成立的是（）A2144a B01a C01291aaaaD9012393aaaaa 7.【概率与导数交汇，回归分析】【概率与导数交汇，回归分析】某公司为了研究 A 产品的年投入与该产品年销售收入的关系，对近 6 年 A 产品投入 xi（单位：百万元）与该产品年-14-销售收入iy（单位：百万元）作了统计，作出散点图如下图：（1）由散点图知，该公司 A 产品的年投入 xi与该产品年销售收入 yi的回归方程为 y=blnx+a，根据所给数据，求出y 关于 x 的回归方程（b 精确到 1，a 精确到 0.1）；（2）已知该公司 B 产品的年销售收入与该产品年投入的资金的关系式为 y=2x，该公司今年对 A，B 产品的总投入为 15，根据（1），请您分配对 A，B 产品的投入的资金使今年 A，B 产品的总收入最多附：相关数据，令 ui=lnxi，则61194.14iiiu y，619.00iiu，62114.87iiu，若回归直线方程为：t，其中1221ni iiniitn ttnt，t8.【概率与数列结合，二项分布】【概率与数列结合，二项分布】2022 年 5 月 1 日济南市，随着疫情的有效控制，高三学生开始返校复课学习.为了减少学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供A、B两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A类套餐的概率为23、选择B类套餐的概率为13.而前一天选择了A类套餐第二天选择A类套餐的概率为14、选择B套餐的率为34；前一天选择B类套餐第二天选择A类套餐的概率为12、选择B类套餐的概率也是12.如此往复.记某同学第n天选择A类套餐的概率为nP.（1）证明数列25nP是等比数列并求数列 nP的通项公式；（2）记高三某宿舍的 3 名同学在复课第二天选择A类套餐的人数为X，求X的分布列和数学期望；-15-（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，十天后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有 20 位学生负责为全体同学分发套餐，如果你是组长，如何安排分发A、B套餐的同学的人数呢，说明理由.9.【正态分布正态分布】已知某高校共有 10000 名学生，其图书馆阅览室共有 994 个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为 0.1（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X，求X的期望和方差；（2）18 世纪 30 年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B（n，p），那么当n比较大时，可视为X服从正态分布2(,)N 任意正态分布都可变换为标准正态分布（0 且1 的正态分布），如果随机变量2(,)YN，那么令YZ，则可以证明(0,1)ZN当(0,1)ZN时，对于任意实数a，记（a）P（Za）已知如表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值例如当a0.16 时，由于 0.160.1+0.06，则先在表的最左列找到数字 0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字 0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字 0.5636 便是（0.16）的值（）求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；（）若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于 0.7，则至少需要添加多少个座位？a0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.5000.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.10.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.20.5793 0.5834 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141-16-0.30.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6404 0.6443 0.6480 0.65170.40.6554 0.65910.6280.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.50.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.722410.【独立性检验，超几何分布【独立性检验，超几何分布】2021 年山东继续举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来，以更加强健的体魄、更加优异的成绩，向中国共产党百年华诞献礼为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了 60人，将他们的年龄分成 7 段：10,20),20,30),30,40),40,50),50,60),60,70),70,80后得到如图所示的频率分布直方图（1）以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这 60 人年龄的平均数，并求中位数的估计值；（2）若从样本中年龄在50，70）的居民中任取 3 人，这 3 人中年龄不低于 60 岁的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望；（3）一支 200 人的队伍，男士占其中的38，40 岁以下的男士和女士分别为 30 和 70 人，通过计算判断是否有95%的把握认为参与健步走活动年龄与性别有关-17-附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd20P Kk0.050.0250.0100.0050.0010k3.8415.0246.6357.87910.828-18-专题五专题五解析几何解析几何一一、【命题规律【命题规律】【解析几何的逻辑分析解析几何的逻辑分析】平面解析几何是高考考查的重要内容，其考查方式相对固定，题目类型一般为两小一大，分值 22 分两小：多考椭圆、双曲线和抛物线特征量与标准方程；一大：第一问一般考查圆锥曲线的轨迹与方程，第二问考查直线与圆锥曲线的综合应用，主要是求解其中弦长、面积、中点、最值、范围、定点、定值或探索某一结论等二二、【知识框架知识框架】倾斜角和斜率直线的方程位置关系直线方程的形式倾斜角的变化与斜率的变化重合平行相交垂直A1B2A2B10A1B2A2B10A1A2B1B20点斜式：yy0k(xx0)斜截式：ykxb两点式：yy1y2y1xx1x2x1截距式：xayb1一般式：AxByC0注意各种形式的转化和运用范围.两直线的交点距离点到线的距离：d|Ax0By0C|A2B2，平行线间距离：d|C1C2|A2B2圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系两圆的位置关系相离相切相交0，或 dr0，或 dr0，或 dr曲线与方程轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法圆锥曲线椭圆双曲线抛物线定义及标准方程性质范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）、渐近线（双曲线）、准线（只要求抛物线）离心率对称性问题中心对称轴对称点(x1，y1)关于点(a，b)对称点(2ax1，2by1)曲线 f(x，y)关于点(a，b)对称曲线 f(2ax，2by)Ax1x22By1y22C0y2y1x2x1(AB)1特殊对称轴xyC0直接代入法截距注意：截距可正、可负，也可为 0.点(x1，y1)与点(x2，y2)关于直线 AxByC0 对称-19-三三、【典型例题】【典型例题】1已知12FF，分别为双曲线22221(00)xyabab，的左右焦点，点P在双曲线上，若212PFFF，1230PFF，则双曲线的离心率为_2已知椭圆C：2214xy的左、右顶点分别为A，B，点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E则BDE与BDN的面积之比为_3已知椭圆1C：222136xyb的焦点分别为1F，2F，且2F是抛物线2C：220ypx p的焦点，P是1C与2C的交点，且17PF，则12cosPFF的值为_4椭圆C：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，点P在椭圆上且同时满足：12FF P是等腰三角形12FF P是钝角三角形；线段12FF为12FF P的腰；椭圆C上恰好有 4 个不同的点P则椭圆C的离心率的取值范围是_5平面直角坐标系xOy中，已知AB是圆C：22(1)(1)2xy的一条弦，且ACBC，M是AB的中点.当弦AB在圆C上运动时，直线l：3490 xy上总存在P、Q两点，使得2PMQ恒成立，则线段PQ长度的取值范围是_.6【多选】平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是 1675 年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的已知在平面直角坐标系xOy中，(2 0)M ，(2 0)N，动点P满足|5PMPN，其轨迹为一条连续的封闭曲线C则下列结论正确的是A曲线 C 与y轴的交点为(01)，(0 1)，B曲线 C 关于x轴对称CPMN面积的最大值为 2D|OP的取值范围是1 3，7已知椭圆2222:10 xyEabab，以抛物线24 2yx的焦点为椭圆 E 的一个顶点，且离心率为22.（1）求椭圆 E 的方程；（2）若直线:0l ykxm k与椭圆 E 相交于 A、B 两点，与直线4x 相交于 Q 点，P 是椭圆 E 上一点，且满足OPOA OB （其中 O 为坐标原点），试问在 x 轴上是否存在一点 T，使得OP TQ 为定值？若存在，求出点 T 的坐标及OP TQ 的值；若不存在，请说明理由.-20-8在平面直角坐标系xOy中，动点P到点(1 0)F，的距离比到y轴的距离大 1（1）求点P的轨迹方程；（2）已知点Q在直线1x 上，点P在第一象限，满足FPFQ，记直线OP OQ PQ，的斜率分别为123kkk，求123kkk的最小值9已知椭圆C的焦点坐标为(1 0)，和(1 0)，且椭圆经过点3(1)2，（1）求椭圆C的方程；（2）若(1 1)T，椭圆C上四点MNP Q，满足33MTTQ NTTP ，求直线MN的斜率-21-10在平面直角坐标系xOy中，双曲线2222:1(00)yxCabab，的离心率为2，实轴长为 4（1）求C的方程；（2）如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点(0)Pt，且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G H，两点，直线AG AH，分别与l交于MN，两点，若O A N M，四点共圆，求点P的坐标专题六专题六 函数与导数函数与导数-22-一、【命题规律】函数是高中数学的一条主线，在高考中占有重要的地位主要考查是初等函数（一次函数、二次函数、幂、指数、对数函数）的图象和性质，函数零点与函数方程；导数的概念，导数的几何意义，导数在研究函数零点、方程、不等式等问题中的综合应用；在高考试卷中一般是 2 道小题和 1 道解答题，小题重在有针对性地考查一些重要知识点，如图象（多与导数结合）、性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、零点等），解答题重在考查用导数研究函数切线方程、单调性，极值、最值,函数零点,构造函数证明不等式，参数范围等,具有较强的综合性，属难题二、【思维导图】集合概念元素、集合之间的关系运算：交、并、补数轴、Venn 图、函数图象性质确定性、互异性、无序性定义表示解析法列表法三要素图象法定义域对应关系值域性质奇偶性周期性对称性单调性定义域关于原点对称，在 x0 处有定义的奇函数f(0)01、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同；2、证明单调性：作差（商）、导数法；3、复合函数的单调性最值二次函数、基本不等式、双钩（耐克）函数、三角函数有界性、数形结合、导数.幂函数对数函数三角函数基本初等函数抽象函数复合函数赋值法、典型的函数函数与方程二分法、图象法、二次及三次方程根的分布零点函数的应用建立函数模型使解析式有意义导数函数基本初等函数的导数导数的概念导数的运算法则导数的应用表示方法换元法求解析式分段函数几何意义(切线问题）、物理意义单调性导数的正负与单调性的关系生活中的优化问题注意应用函数的单调性求值域周期为 T 的奇函数f(T)f(T2)f(0)0复合函数的单调性：同增异减三次函数的性质、图象与应用一次、二次函数、反比例函数指数函数图象、性质和应用平移变换对称变换翻折变换伸缩变换图象及其变换最值极值-23-【导数逻辑分析】0000000000()()()()()()(1)()fxkfxyf xlyyk xxkfxfxnyk mxyf x1.切线问题答题路线：（设切点），求解出参数（3）求过设切点坐标写切线方程（）求在某点切线方程：（2）知切线方程某点切线条数问题：代点方程根的个数函数极值的正负（4）公切线问题的解决步骤是设切点坐标列方程（点在求参：曲线上、斜.率相等）将参数用函数表示出来求函数值域2.讨论单调性分类讨论（1）：求导、定义域、核心函步骤规范标准明确数、分类讨论、综上（2）：系数、根、根与区间、比根22121212()g();()(21)(1)()(1)(2)()1022sing()()40g()()00,(),gxxxxfxDx=axbxcg xeaeg xxeag xeaxxxf xbacxfaaxx xxxi x xD （），（），定义域核心函数：【，】，求出（假设答题路线：（讨论标准零不零，有没有，在不在，等不等，0，=）1212121212()();(),g()();(),(),g()();(),g()();(c),g()();xf xii xD xDxf xiii x xDa xxxf xb xxxf xxxxf x综上，按参数从小到大下结论，写成区间+3.恒（能）成立，求范围（最值）最值问题（1）：结合单调性求最值，端点值，（2）：构造函数 单调性 趋势 洛必达，（端点效应分离参数分段分类讨3）：对未知数、论参数逐段考虑，14年4.证明不等式构造函数（1）：作差证：20年新高考1经典不等式变形为题设形式，变形为(两个)好函数，（2）：变形为经典不等式（泰勒展式），双变量构造函数，18年对数平均不等式极值点偏移，偏对称新课标1 16年，17年新课标21年直接证明变形证明317年新课标221111ln0lnln+xxxx exxeexxxxx知零点个数求参数范围存在定理（15，17，19课标1，21新高考2）5.零点（根）的个数讨论（求）零点个数虚设零点（13，14，课标2，15课标1文）同构（1）：利用单调性，分参画图，注意：端点 趋势洛必达法则（2）：分类分段讨论分离参数分类讨论端点 -24-三、【典型例题】1.【奇偶性、对称性、周期性】已知函数 fx的定义域为R，2f x为偶函数，21fx为奇函数当1,2x时，2()f xaxb若 036ff，则92f（）A.94B.32C.74D.522.【整体思想换元法、一元二次函数】已知函数 22121xxxaxbf xx，对任意非零实数x，均满足 1f xfx则1f 的值为_；函数 f x的最小值为_3.【构造函数、单调性】已知定义在R上的函数()f x，其导函数为()fx，若()()2sinf xfxx，且当0 x时，()cos0fxx，则不等式()()sincos2f xf xxx的解集为（）A()2，B)2(，C()4，D()4，4.【指对同构】已知正数,x y满足lnlnxyxyye，则2xyx的最小值是.5.【图象】函数xxxxeeyee的图象大致为()6.【指对比较大小】已知44354,log 5,log 43xyz，则xyz、的大小关系为（）A.yxzB.xyzC.zxyD.xzy7.【对数函数，泰勒展式，端点效应，恒成立、数列不等式】已知函数)1ln(xxxf（）若对任意的),0 x有)(xf2kx成立，求实数k的最小值；（）证明nini12)12ln(122（*Nn）.1xy1OAxyO11BxyO 11Cxy11DO-25-8.【指数函数、单调性、恒成立、端点效应失效、反套路、分离参数、泰勒展式】已知函数2()exf xaxx.（）当1a 时，讨论()f x的单调性；（II）当0 x 时，31()12f xx，求a的取值范围.9.【三角函数、对称性、零点个数】已知函数 sincosf xxxx(1)证明：当0,x时，0f x；(2)记函数 g xf xx，判断 g x在区间2,2上零点的个数-26-10.【消参数，对数平均值不等式、构造函数】已知 21ln2f xxxmxx，mR若 f x有两个极值点1x，2x，且12xx，求证：212ex x.11.【极值点、隐零点】已知函数 2lnf xaxaxxx，且()0f x.（1）求a；（2）证明：()f x存在唯一的极大值点0 x，且2014ef x.-27-高考数学典型题答案高考数学典型题答案专题一三角与平面向量1.【解 析】222222cos2sincos1 2tan3cossin2cos2sincossincostan110，整 理，得23tan20tan70，解得1tan3或tan7 又(0,)2，所以1tan3.故选 C2.【解析】对于 A，显然4为周期的整数倍所以24k，即8k，kZ，所以的最小值为 8，故 A 错误;对于 B，由63ff得coscos6434，所以23464k，kZ或23464k，kZ，所以12k或1 4k，kZ，又0，所以最小值为 1，故 B 正确;对于 C，显然2444x，所以有2,242,4kk 即154224kk，k Z当0k 时符合题意，因此k的取值范围为1 5,2 4，故 C 正确.对于 D，由,242,42kk得13224kk，kZ，当0k 时，304，当1k 时，3724，3.【解析】函数()3|sin|4|cos|f xxx，对于选项A，()3|sin()|4|cos()|3|sin|4|cos|3|sin|4|co s|()f xxxxxxxf x，所以是函数()f x的一个周期，故选项A正确；对于选项B，因为()3|sin()|4|cos()|3|sin|4|cos|()fxxxxxf x，又()f x的周期为，所以()()()f xf xkf kx，即()()f xf kx，故直线()2kxkZ为函数()f x的对称轴方程，故选项B正确；对于选项C，因为()f x的周期为，不妨取一个周期0,进行分析，则3sin4cos,02()3|sin|4|cos|3sin4cos,2xxxf xxxxxx，当02x时，()3sin4cos5sin()f xxxx，其中4tan3，故当2x时，()f x取得最大值为 5，当2x时，()3sin4cos5sin()f xxxx，其中4tan3，故当2x时，()f x取得最大值为 5，综上所述，函数()f x的最大值为 5，故选项C正确；-28-当0 x 时，()3sin04cos04f x，当2x