2024年高一下学期备战期末——解三角形大题综合（解析版）.pdf

期末专题05 解三角形大题综合期末专题05 解三角形大题综合1.(2022(2022春 江苏宿迁 高一沭阳县修远中学校考期末)已知平面四边形ABCD中，AD=3,BAD=90,CBA=120,ACD=60，(1)若AC=3，求BD；(2)若ACB=45，求AB2.(2022(2022春 江苏南通 高一金沙中学校考期末)在ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c已知向量m=3cosA，sinA，n=1，-1，且mn(1)求角A的大小；(2)若a=7，3sinB=2sinC，求ABC的面积12024年高一下学期备战期末年高一下学期备战期末解三角形大题综合（解析版）解三角形大题综合（解析版）3.(20222022春 江苏徐州 高一统考期末)已知ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m=b+c,sinA，n=a+b,sinC-sinB，且mn.(1)求角C；(2)若b=4，ABC的面积为4 3，求ABC的周长.4.(20222022春 江苏南京 高一统考期末)在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，m=2b+c,cosC,n=-a,cosA，且mn，a=2 3.(1)求A角大小.(2)D为BC边上一点，AD=1，且，求ABC的面积.(从AD为BAC的平分线，D为BC的中点，两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.如果都选，以选计分.)25.(20222022春 江苏南京 高一南京市中华中学校考期末)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA2-sinA2cosA2+sinA2=sinBcosB(1)若C=23，求B；(2)若a2+b2-kc2=0(kR R)，求符合条件的k的最小值6.(20212021春 江苏扬州 高一统考期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a+c=mb(mR).(1)若m=2，求B的最大值；(2)若B为钝角，求：m的取值范围；sinAsinC1+cosAcosC的取值范围.(参考公式：sin+sin=2sin+2cos-2)37.(20212021春 江苏常州 高一统考期末)如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中AB=3a，B=2，BC=3 3a.设计时要求绿地部分(如图中阴影部分所示)有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形(AMN和AMN).现考虑绿地最大化原则，要求点M与点A，B均不重合，A落在边BC上且不与端点B，C重合.(1)设AMN=，若=3，求此时公共绿地的面积；(2)为方便小区居民的行走，设计时要求AN，AN的长度最短，求此时绿地公共走道MN的长度.8.(20212021春 江苏南通 高一统考期末)在以下两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题3asinC=4ccosA，2bsinB+C2=5asinB在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知；a=3 2.(1)求sinA的值(2)如图，M为边AC上一点，MC=MB，ABM=2，求ABC的面积49.(20212021春 江苏常州 高一统考期末)已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC=2a-c2b.(1)若cos(B+C)=-5 314，求cosC的值；(2)若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=2，求ABC面积的最大值.10.(20212021 江苏 高一期末)在b2+2ac=a2+c2，acosB=bsinA，sinB+cosB=2，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并解决该问题 已知ABC中，A=3，b=2，(1)求角B；(2)求ABC的面积511.(20212021春 江苏南通 高一统考期末)在 a+b+ca+b-c=3abtanA+tanBtanAtanB-1=3 sinC2sinB-sinA=cosCcosA这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足(1)求角C的大小；(2)若D为边BC上一点，且AD=6，BD=4，AB=8，求AC12.(20212021春 江苏泰州 高一泰州中学校考期末)ABC的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知2b+c=2acosC且a=5.(1)求角A的大小；(2)若ABC的周长为6+5，求ABC的面积；(3)若b=3，求cos(2B-A)的值.613.(20222022春 江苏苏州 高一江苏省昆山中学校考期末)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=b3sinC+cosC(1)求B；(2)已知BC=2 3，D为边AB上的一点，若BD=1，ACD=2，求AC的长14.(20222022春 江苏扬州 高一期末)在ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足bcosB+C2=asinB(1)求A的大小；(2)若a=2 3，BA AC=32，AD是ABC的角平分线，求AD的长715.(20222022春 江苏泰州 高一统考期末)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，请在cos2B-3cos A+C=1，2a-c=2bcosC，a2+c2-b2=4 33SABC这三个条件中任选一个，完成下列问题.(1)求角B；(2)在(1)的条件下，若点D为AC的中点，且AB=3，BD=132，求ABC的面积.注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分16.(20222022春 江苏扬州 高一统考期末)在b=acosC+33csinA；(b+c+a)(b+c-a)=3bc；sinA-sinCsinB-sinC=ba+c这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求A；(2)若a=3，求ABC面积的取值范围(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)817.(20222022春 江苏南京 高一江苏省江浦高级中学校联考期末)已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，ABC的面积为S，且满足 2b-ccosA=acosC，bcosC+ccosB=1(1)求A和a的大小；(2)若ABC为锐角三角形，求ABC的面积S的取值范围18.(20222022春 江苏常州 高一统考期末)如图，AC是平面四边形ABCD的一条对角线，且在ADC中，2AD-DC=AC2+AD2-DC2AD.(1)求角D的大小；(2)若BAD=3，ABC=56，AB=2，DC=4，求AC的长.919.(20222022春 江苏盐城 高一统考期末)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=2B.(1)若sinB=13，求sinA的值；(2)若ac，求证：12bc.(参考数据：=2sin10=5-120.618)20.(20222022春 江苏南通 高一金沙中学校考期末)如图，某学校前后两座教学楼AB，CD的高度分别为12米和17米，从教学楼AB顶部A看教学楼CD的张角CAD=45(1)求两座教学楼AB和CD的底部之间的距离BD；(2)求ACB的正切值1021.(20222022春 江苏镇江 高一统考期末)某景区的平面示意图为如图的五边形ABCDE，其中BD，BE为景区内的乘车观光游览路线，ED，DC，CB，BA，AE是步行观光旅游路线(所有路线均不考虑宽度)，经测量得：BCD=135，BAE=120，CBD=30，CD=3 2，DE=8，且cosDBE=35.(1)求BE的长度；(2)景区拟规划ABE区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域ABE面积最大，并求此最大值22.(20222022春 江苏宿迁 高一统考期末)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且10 sinB+C22=7-cos2A(1)求角A的大小；(2)若b=2,c=1，BAC的角平分线交BC于M，求线段AM的长；若D是线段BC上的点，E是线段BA上的点，满足CD=CB,BE=BA，求AD CE 的取值范围1123.(20222022春 江苏南通 高一统考期末)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA+sinBsinC=c+ba-b(1)若a=2 3，b=2，求角B;(2)设BAC的角平分线AD交BC于点D，若ABC面积为3，求AD长的最大值24.(20222022春 江苏无锡 高一统考期末)ABC中，已知AB=1，BC=7，D为AC上一点，AD=2DC，ABBD.(1)求BD的长度；(2)若点P为ABD外接圆上任意一点，求PB+2PD的最大值.1225.(20222022春 江苏苏州 高一校联考期末)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinAsinB+sinC+bsinBbsinA+csinB=1(1)求角C；(2)CD是ACB的角平分线，若CD=4 33，ABC的面积为2 3，求c的值.26.(20222022春 江苏淮安 高一统考期末)在2acosA=bcosC+ccosB；tanB+tanC+3=3tanBtanC这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知(1)求角A的大小；(2)若ABC为锐角三角形，且其面积为32，点G为ABC重心，点M为线段AC的中点，点N在线段AB上，且AN=2NB，线段BM与线段CN相交于点P，求 GP 的取值范围注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分1327.(20222022春 江苏南京 高一统考期末)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=6，P，Q为边BC上两点，CPBP=BQQC=ABAC=2，CAQ=3(1)求AQ的长；(2)过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，AC于M，N两点，设AM=xAB，AN=yAC(xy0)，求x+y的最小值28.(20222022春 江苏常州 高一统考期末)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知c=2b，a=3，D是边BC上一点.(1)求bcosC+2bcosB的值；(2)若AD=13AB+23AC.求证：AD平分BAC；求ABC面积的最大值及此时AD的长.1429.(20222022春 江苏南通 高一统考期末)在四边形ABCD中，ABC=DAB.(1)若ABC=3，AB=2，CD=1，求四边形ABCD面积的最小值；(2)若四边形ABCD的外接圆半径为1，ABC 0,3，求p=ABBCCDDA的最大值.1530.(20222022春 江苏苏州 高一统考期末)如图1，为了测量运动场上探照灯杆CD的高度h；某数学兴趣小组进行如下实验：一身高为1.5米的人站在灯杆正前方某点处(用AB表示站立的人)，此时在地面的人影为AP，此人朝灯杆位置沿直线向前走4米后(用A1B1表示站立的人)，此时在地面的人影为A1Q(假设把探照灯看做一个点光源D).(1)若AP=2317,A1Q=1117，求灯杆的高度h(单位：米)；(2)如图2，在地面上存在点M,N满足MCN=23，现在探照灯杆上安装一电子屏幕(屏幕中轴线为EF)播放运动赛况，屏幕的高EF=2.5米，屏幕底部距离地面EC=6米.此人(用AB表示站立的人)从CM上某一位置出发走向CN上某一位置(行走路线一直落在MCN内)，为始终能获得最佳观看效果(眼睛观看屏幕上下沿形成的视角EBF最大)，求此人行走的最短路程.16期末专题期末专题0505 解三角形大题综合解三角形大题综合1.(20222022春 江苏宿迁 高一沭阳县修远中学校考期末)已知平面四边形ABCD中，AD=3,BAD=90,CBA=120,ACD=60，(1)若AC=3，求BD；(2)若ACB=45，求AB【答案】(1)2 3(2)2【分析】(1)由条件可得CAB=30，在ABC中，求出AB,然后在直角三角形ABD中由勾股定理可得出答案.(2)根据条件先求出CDA=45，然后在ACD中利用正弦定理求出AC,在ABC中利用正弦定理可得出答案.(1)由AC=AD=3,ACD=60,则ACD为等边三角形所以CAD=60，又BAD=90，则CAB=30又CBA=120，所以ACB=30，则AB=BC,由ABsin30=ACsin120,则AB=ACsin120sin30=3连接BD,由BAD=90，则BD=AB2+AD2=3+9=2 3(2)由ACB=45，CBA=120，则CAB=15又BAD=90，则CAD=75又ACD=60，则CDA=45在ACD中，ACsinADC=ADsinACD,即ACsin45=3sin60解得AC=6在ABC中,ABsinACB=ACsinABC,即ABsin45=6sin120,解得AB=22.(20222022春 江苏南通 高一金沙中学校考期末)在ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c已知向量m=3cosA，sinA，n=1，-1，且mn(1)求角A的大小；(2)若a=7，3sinB=2sinC，求ABC的面积1【答案】(1)A=3；(2)3 32【分析】(1)根据平面向量数量积的坐标表示即可解出；(2)由正弦定理先求出b,c的关系，再由余弦定理即可解出b,c，最后根据三角形的面积公式即可解出(1)由mn可得，mn=3cosA-sinA=0，所以tanA=3，而A 0,，所以A=3(2)由3sinB=2sinC得3b=2c，而a2=b2+c2-2bccosA=7，即7=b2+94b2-32b2，解得b2=4，所以b=2,c=3，故ABC的面积为S=12bcsinA=122332=3 323.(20222022春 江苏徐州 高一统考期末)已知ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m=b+c,sinA，n=a+b,sinC-sinB，且mn.(1)求角C；(2)若b=4，ABC的面积为4 3，求ABC的周长.【答案】(1)C=23(2)8+4 3【分析】(1)根据向量平行的坐标公式，结合余弦定理求解即可；(2)根据面积公式可得a=4，进而得到A=B=6，从而利用正弦定理求出c=4 3，进而得到周长即可(1)由向量平行的坐标公式可得 b+csinC-sinB-a+bsinA=0，由正弦定理可得b+cc-b-a+ba=0，即-ab=a2+b2-c2，故cosC=a2+b2-c22ab=-12，因为C 0,，故C=23(2)由三角形面积公式，4 3=124a32，故a=4，故ABC为等腰三角形，故A=B=12-23=6，又asinA=csinC，故c=asinCsinA=43212=4 3，所以ABC的周长为4+4+4 3=8+4 34.(20222022春 江苏南京 高一统考期末)在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，m=2b+c,cosC,n=-a,cosA，且mn，a=2 3.(1)求A角大小.(2)D为BC边上一点，AD=1，且，求ABC的面积.(从AD为BAC的平分线，D为BC的中点，两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.如果都选，以选计分.)2【答案】(1)A=23(2)3【分析】(1)根据向量的平行关系得到等式，再运用正弦定理及正弦的两角和公式化简即可求解；(2)若选，运用面积公式及余弦定理可求解；选，根据向量关系及余弦定理即可求解.【详解】(1)mn,2b+ccosA=-acosC由正弦定理得：2sinB+sinCcosA=-sinAcosC2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC=02sinBcosA+sin A+C=02sinBcosA+sinB=0sinB 2cosA+1=0sinB0，cosA=-12A 0,A=23(2)选：由AD平分BAC得：SABC=SABD+SACD12bcsin120=121csin60+121bsin60，所以bc=b+c，(1)在ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccos120,a=2 3所以b2+c2+bc=12，(2)(1)(2)联立得bc=b+cb2+c2+bc=12 解得(bc)2-bc-12=0，解得bc=4，所以SABC=12bcsin120=12432=3，选：AD=12AB+AC，AD 2=14(AB+AC)2=14AB 2+2AB AC+AC 21=14c2+2bccos120+b2，得b2+c2-bc=4(1)ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos120,a=2 3所以b2+c2+bc=12，(2)(2)-(1)即可得bc=4，SABC=12bcsin120=12432=3.5.(20222022春 江苏南京 高一南京市中华中学校考期末)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA2-sinA2cosA2+sinA2=sinBcosB3(1)若C=23，求B；(2)若a2+b2-kc2=0(kR R)，求符合条件的k的最小值【答案】(1)6(2)4 2-5【分析】(1)由三角恒等变换得出C=2+B，再由C=23，得出B；(2)由k=a2+b2c2结合正弦定理以及C=2+B得出k=2cos2B-12+1-cos2Bcos2B，令x=cos2B，结合基本不等式得出k的最小值.【详解】(1)cosA2-sinA2cosA2+sinA2=cos2A2-sinA2cosA2cos2A2+sinA2cosA2=1+cosA2-sinA21+cosA2+sinA2=1+cosA-sinA1+cosA+sinA=sinBcosB，即sinB+sinBcosA+sinAsinB=cosB+cosAcosB-sinAcosB，sinB+sin(A+B)=cosB+cos(A+B)，sinB-cosB=-sinC-cosC，两边平方得1-2sinBcosB=1+2sinCcosC，即sin(-2B)=sin2C，-2B-2,0,2C 0,2,B+C 0,-2B+2C=,C=2+B,C=23，B=23-2=6;(2)由(1)可得，C=2+B，则-2+B+B=A,则0-2+B+B,0B4，22cosB1,sinA=sin-2+B+B=cos2B=2cos2B-1，由a2+b2-kc2=0(kR R)得，k=a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=2cos2B-12+1-cos2Bcos2B设x=cos2B，则12x1k=a2+b2c2=(2x-1)2+1-xx=4x2-5x+2x=4x+2x-524x2x-5=4 2-5当且仅当4x=2x,x=22时，等号成立即符合条件的k的最小值为4 2-56.(20212021春 江苏扬州 高一统考期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a+c=mb(mR).(1)若m=2，求B的最大值；(2)若B为钝角，求：m的取值范围；sinAsinC1+cosAcosC的取值范围.(参考公式：sin+sin=2sin+2cos-2)【答案】(1)2；(2)1m2；0,13.4【分析】(1)由题意可得b=a+c2，然后利用余弦定理可得cosB0，从而可求出B的最大值；(2)由于B为钝角，所以可得a2+c2b2，结合a+c=mb(mR)，可得m2b，所以m1；因为B为钝角，即存在a0,c0，使得a2+c2b2，即a2+c2a+cm2,m2(a+c)2a2+c2=1+2ac+ca成立；因为ac+ca2，所以1m22，即1m2；又因为a+c=mb，所以sinA+sinC=msinB，则2sinA+C2cosA-C2=2msinB2cosB2，因为sinA+C2=sin-B2=cosB20，所以cosA-C2=msinB2=msin2-A+C2=mcosA+C2，所以cos2A-C2=m2cos2A+C2，则1+cos(A-C)2=m21+cos(A+C)2，1+cosAcosC+sinAsinC=m2(1+cosAcosC-sinAsinC)，所以sinAsinC1+cosAcosC=m2-1m2+1=-2m2+1+1，因为1m2，所以0-2m2+1+113，所以sinAsinC1+cosAcosC的取值范围为 0,13.7.(20212021春 江苏常州 高一统考期末)如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中AB=3a，B=2，BC=3 3a.设计时要求绿地部分(如图中阴影部分所示)有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形(AMN和AMN).现考虑绿地最大化原则，要求点M与点A，B均不重合，A落在边BC上且不与端点B，C重合.(1)设AMN=，若=3，求此时公共绿地的面积；(2)为方便小区居民的行走，设计时要求AN，AN的长度最短，求此时绿地公共走道MN的长度.5【答案】(1)2 3a2；(2)2a.【分析】(1)根据大三角形直角边的比例关系，可得三角形A=3，结合=3，可求得各边的长度以及三角形的面积(2)在AMN中，由正弦定理求出AN的表达式，可化简为关于的三角函数形式，根据角的范围求出三角函数的最值，从而求出AN的最值【详解】(1)由题意得：AMN与AMN全等，BMA=-2=3在RtBMA中，BM=12AM=12AM，又BM+AM=3a=AB，32AM=3a，AM=2a，又AB=3a，BC=3 3a，B=2，A=3，AMN为等边三角形，公共绿地的面积S=2SAMN=234AM2=2 3a2(2)由图得：AM+AMcos(-2)=AB=3a且AM=AMAM=3a1-cos2=3a2sin2在AMN中，由正弦定理得：ANsin=AMsin23-AN=AMsinsin23-=3a2sinsin23-，令 f()=2sinsin23-=2sin32cos+12sin=32sin2+1-cos22=sin 2-6+12又由0-22得4,2，2-63,56，当2-6=2即=3时 f()取最大值，即AN最短，此时AMN是等边三角形，MN=AM=2a.8.(20212021春 江苏南通 高一统考期末)在以下两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题3asinC=4ccosA，2bsinB+C2=5asinB在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知；a=3 2.6(1)求sinA的值(2)如图，M为边AC上一点，MC=MB，ABM=2，求ABC的面积【答案】选择见解析；(1)45；(2)278【分析】选择条件3asinC=4ccosA(1)根据已知条件，结合正弦定理，即可求解(2)根据已知条件，运用余弦定理，可得m=5，再结合三角形面积公式，即可求解选择条件2bsinB+C2=5asinB(1)根据已知条件，运用正弦定理，以及二倍角公式，即可求解(2)根据已知条件，运用余弦定理，可得m=5，再结合三角形面积公式，即可求解【详解】解：若选，(1)3asinC=4ccosA，由正弦定理可得3sinAsinC=4sinCcosA因为sinC0，所以可得tanA=43，在ABC中，所以A 0，2，所以sinA=442+32=45；(2)设 BM=MC=m，易知cosBMC=-cosBMA=-sinA=-45在BMC中，由余弦定理得18=2m2-2m2-45，解得m=5，所以SBMC=12m2sinBMC=12535=32，在RtABM中，因为sinA=45，BM=5，ABM=2，所以 AB=3 54所以SABM=158，所以SABC=32+158=278若选，(1)因为2bsinB+C2=5asinB，所以2bsin-A2=5asinB，由正弦定理可得2sinBcosA2=5sinAsinB=2 5sinA2cosA2sinB，因为sinB0，cosA20，所以sinA2=15，cosA2=25，所以sinA=2sinA2cosA2=21525=45.(2)设 BM=MC=m，易知cosBMC=-cosBMA=-sinA=-45在BMC中，由余弦定理得18=2m2-2m2-45，解得m=5，所以SBMC=12m2sinBMC=12535=32，在RtABM中，因为sinA=45，BM=5，ABM=2，所以 AB=3 54所以SABM=158，所以SABC=32+158=2789.(20212021春 江苏常州 高一统考期末)已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC=2a-c2b.(1)若cos(B+C)=-5 314，求cosC的值；7(2)若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=2，求ABC面积的最大值.【答案】(1)3 314；(2)3 32.【分析】(1)根据已知条件cosC=2a-c2b，运用余弦定理，可推得B=3，再结合三角函数的同角公式和余弦函数的两角差公式，即可求解(2)由AD=2DC，可推得BD=13BA+23BC，对等式两边同时平方，并结合均值不等式和三角形面积公式，即可求解【详解】解：(1)由余弦定理得，cosC=2a-c2b=a2+b2-c22ab整理得，a2+c2-b2=ac，所以cosB=a2+c2-b22ac=12又因为B(0,)，所以B=3因为cos(B+C)=-5 314，又0B+C0，所以cosB=sinB，即tanB=1，由B(0,)，可得B=4，(2)由A=3，b=2，根据正弦定理得a=bsinAsinB=2 3222=3,C=-A-B=512，则sinC=sin512=sin4+6=sin4cos6+cos4sin6=6+24，所以ABC的面积为SABC=12absinC=123 2 6+24=3+34.若选：(1)因为sinB+cosB=2，可得2sin B+4=2，即sin B+4=1，又因为B(0,)，可得B+44,54，所以B+4=2，所以B=4，(2)由A=3，b=2，根据正弦定理得a=bsinAsinB=2 3222=3,C=-A-B=512，则sinC=sin512=sin4+6=sin4cos6+cos4sin6=6+24，所以ABC的面积为SABC=12absinC=123 2 6+24=3+34.11.(20212021春 江苏南通 高一统考期末)在 a+b+ca+b-c=3abtanA+tanBtanAtanB-1=3 sinC2sinB-sinA=cosCcosA这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足(1)求角C的大小；(2)若D为边BC上一点，且AD=6，BD=4，AB=8，求AC【答案】(1)C=3；(2)AC=3 5【分析】(1)选则根据等式化简结合余弦定理与角 的取值范围即可；选则根据两角和的正切公式化简并结合角 的取值范围即可；选则利用两角和的正弦公式结合角 范围即可；(2)在 中利用余弦定理求出 算出，在 中利用正弦定理即可.【详解】(1)选，由题意化简得a2+2ab+b2-c2=3ab，即c2=a2+b2-ab，根据余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=12，因为C(0,)所以C=3.9选，由题意得-tan(A+B)=3,则tanC=3，因为C(0,)所以C=3.选，由题意化简得sinB=2cosCsinB,当sinB=0,B=2时代入原式显然不成立，故cosC=12，因为C(0,)所以C=3.(2)在ABD中，根据余弦定理得cosADB=62+42-82264=-14，所以cosADB=14，故ADB0,2,所以sinADC=1-cos2ADC=154，在ADC中根据正弦定理得ACsinADB=6sinC，解得AC=3 512.(20212021春 江苏泰州 高一泰州中学校考期末)ABC的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知2b+c=2acosC且a=5.(1)求角A的大小；(2)若ABC的周长为6+5，求ABC的面积；(3)若b=3，求cos(2B-A)的值.【答案】(1)23(2)34(3)-1+3 3320【分析】(1)由余弦定理角化边化简后可得；(2)余弦定理与已知联立可得bc的值，然后可得；(3)先由正弦定理可得sinB的值，然后根据二倍角公式与和差公式可解.【详解】(1)因为2b+c=2acosC，所以2b+c=2aa2+b2-c22ab，整理可得：b2+c2-a2=-bc，由余弦定理可得：b2+c2-a2=2bccosA，所以cosA=-12，A(0,)，所以可得A=23；(2)由三角形的周长为6+5，a=5，所以b+c=6，由(1)可得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA，而cosA=-12，所以可得5=6-2bc+bc，可得bc=1，所以SABC=12bcsinA=12132=34，所以ABC的面积为34；(3)因为b=3，a=5，A=23，10由正弦定理可得：sinB=basinA=3532=32 5，b0，所以cosB=3sinB，所以tanB=33，因为B 0,，所以B=6(2)因为BC=2 3，BD=1，B=6，根据余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosB=1+12-212 3 32=7，CD=7BDC=2+A，sinBDC=sin2+A=cosA在BDC中，由正弦定理知，BCsinBDC=CDsinB，2 3cosA=712，cosA=217，tanA=2 33=CDAC，AC=21214.(20222022春 江苏扬州 高一期末)在ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足bcosB+C211=asinB(1)求A的大小；(2)若a=2 3，BA AC=32，AD是ABC的角平分线，求AD的长【答案】(1)23；(2)155.【分析】(1)利用正弦定理边角互化，再由三角恒等变换化简即可求出角A；(2)由数量积公式可得bc，再由余弦定理求出b+c，根据三角形面积公式利用SABC=SABD+SACD建立方程求解即可.【详解】(1)因为bcosB+C2=asinB，sinBsinA2=sinAsinB，因为B 0,，所以sinB0，所以sinA2=2sinA2cosA2，又A 0,，cosA2=12，所以A2=3，即A=23.(2)由BA AC=32，得cbcos3=32，bc=3，又a=2 3，a2=b2+c2-2bccosA=b+c2-2bc+bc=12，可得b+c=12+3=15，SABC=SABD+SACD，12bcsin23=12bADsin3+12cADsin3，所以AD=bcsin23b+csin3=33215 32=155.15.(20222022春 江苏泰州 高一统考期末)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，请在cos2B-3cos A+C=1，2a-c=2bcosC，a2+c2-b2=4 33SABC这三个条件中任选一个，完成下列问题.(1)求角B；(2)在(1)的条件下，若点D为AC的中点，且AB=3，BD=132，求ABC的面积.注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分【答案】(1)条件选择见解析，B=3(2)3 34【分析】(1)选，根据二倍角公式结合内角和与诱导公式化简求解即可；选，根据正弦定理结合内12角和与两角喝茶的正余弦公式化简求解即可；选，根据余弦定理与面积公式化简求解即可；(2)构造四边形ABCE为平行四边形，再在ABE中，由余弦定理化简求解即可【详解】(1)选，因为cos2B-3cos A+C=1，所以cos2B-3cos-B=1，2cos2B-1+3cosB=1,2cos2B+3cosB-2=0，解得cosB=12,cosB=-2，因为cosB-1,1，所以cosB=12,B 0,，故角B=3选，因为2a-c=2bcosC，由正弦定理的，2sinA-sinC=2sinBcosC,2sin B+C-sinC=2sinBcosC，所以，2cosBsinC-sinC=0，sinC0，所以cosB=12,B 0,，故角B=3选，因为a2+c2-b2=4 33SABC，所以a2+c2-b2=4 3312acsinB，2accosB=2 33acsinB,ac0，tanB=3,B 0,，故角B=3(2)作AEBC,CEAB，交于点E，连结DE，则四边形ABCE为平行四边形，点D为BE中点，且BAE=23在ABE中，由余弦定理得BE2=AB2+AE2-2ABAEcosBAE,13=9+AE2-23AE-12,AE2+3AE-4=0,AE=1或AE=-4(舍)，即BC=1，所以SABC=12ABBCsinABC=123132=3 34.16.(20222022春 江苏扬州 高一统考期末)在b=acosC+33csinA；(b+c+a)(b+c-a)=3bc；sinA-sinCsinB-sinC=ba+c这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求A；(2)若a=3，求ABC面积的取值范围(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【答案】(1)A=3(2)0,3 34 13【分析】对于条件：两边边的条件为齐次，化边为角结合三角恒等变换可解得A=3；对于条件：边的条件为齐二次，整理条件到余弦定理的结构可解得A=3；对于条件：由正弦定理化角为边，整理条件到余弦定理的结构可解得A=3.【详解】(1)(1)若选：因为b=acosC+33csinA，根据正弦定理得sinB=sinAcosC+33sinCsinA，所以sin(A+C)=sinAcosC+33sinCsinA，所以sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+33sinCsinA则cosAsinC=33sinCsinA，因为sinA0,sinC0，所以tanA=3，又0A，所以A=3若选化简得：b2+c2-a2=bc，则cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又0A，所以A=3若选：因为sinA-sinCsinB-sinC=ba+c，根据正弦定理得a-cb-c=ba+c，所以a2-c2=b2-bc即cosA=b2+c2-a22bc=12，因为0A0，所以sin=217，把sin=217代入式得，AC=2 3sin=14 321=2 7.19.(20222022春 江苏盐城 高一统考期末)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=2B.(1)若sinB=13，求sinA的值；16(2)若ac，求证：12bc.(参考数据：=2sin10=5-120.618)【答案】(1)2327；(2)证明见解析.【分析】(1)由三角形内角性质可得0B2，结合已知并利用二倍角正余弦公式求cosB、sinC、cosC，最后应用诱导公式、和角正弦公式求sinA.(2)由大边对大角及三角形内角性质得0B5，根据C=2B及正弦定理边角关系得bc=12cosB，即可证结论.(1)由C=2B，A+B+C=，故0Bc知：AC=2B0，所以=A+B+CB+2C=5B，即0B5，又sinC=sin2B=2sinBcosB，则sinBsinC=12cosB，即bc=12cosB，所以12bc12cos5，而cos5=1-2sin210=5+14，则12cos5=25+1=5-12=，综上，12bc0，解得x=20，即BD=20米(2)在ACE中，tanACE=205=4，在BCD中，tanBCD=2017，所以，tanACB=tan ACE-BCD=4-20171+42017=489721.(20222022春 江苏镇江 高一统考期末)某景区的平面示意图为如图的五边形ABCDE，其中BD，BE为景区内的乘车观光游览路线，ED，DC，CB，BA，AE是步行观光旅游路线(所有路线均不考虑宽度)，经测量得：BCD=135，BAE=120，CBD=30，CD=3 2，DE=8，且cosDBE=35.(1)求BE的长度；(2)景区拟规划ABE区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域ABE面积最大，并求此最大值【答案】(1)10(2)当步行观光旅游路线AB=AE=10 33时，种植区域ABE面积最大，且最大值为25 33【分析】(1)在BCD中，根据正弦定理，可得BD的长，在BDE中，根据余弦定理，即可得答案.(2)在ABE中，由余弦定理及基本不等式