2024年高考数学专项排列组合专题18 环排问题（解析版）.pdf

1专题专题 18 环排问题环排问题例 17 颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈例 26 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？例 3有 5 个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余 4 个匣子，那么钥匙的放法有种例 4.8 人围桌而坐,共有多少种坐法?例 5A，B，C，D，E，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（）A60 种B48 种C30 种D24种例 6现有一圆桌，周边有标号为 1，2，3，4 的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有_种（用数字作答）例 78 人围圆桌开会，其中正、副组长各 1 人，记录员 1 人.(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？(2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？2024年高考数学专项排列组合专题18 环排问题（解析版）1专题专题 18 环排问题环排问题例 17 颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈【解析】因为由于环状排列没有首尾之分，将n个元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有nnA种排法由于n个元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有nnAn种排法，而珠子圈没有反正，故 7 颗颜色不同的珠子，可穿成7736027A种不同的珠子圈故答案为：360例 26 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？【解析】因为由于环状排列没有首尾之分，将n个元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有nnA种种排法由于n个元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有有nnAn种种排法，而钻石圈没有反正，故 6 颗颜色不同的钻石，可穿成666062A种不同的钻石圈例 3有 5 个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余 4 个匣子，那么钥匙的放法有种【解析】在砸开的匣子中必放有另一个匣子1 i的钥匙，在匣子1 i中又放有匣子2i的钥匙，在匣子2i中放有匣子3 i的钥匙，在匣子3 i中放有匣子4i的钥匙，在匣子4i中放有被砸开的匣子的钥匙记这个砸开的匣子为is这就相当于 1，2，3，4，5 形成一个环状排列，反过来，对由 1，2，3，4，5 排成的每一种环状排列，也就可以对应成一种相继打开各个匣子的一种放钥匙的方法先让 5 个匣子沿着圆环对号入座，再在每个匣子中放入其下方的匣子的钥匙（如图），这就得到种相继打开各个匣子的放钥匙的方法所以，可使所有匣子相继打开的放钥匙的方法数恰与 1，2，3，4，25 的环状排列数相等，由于每个环状排列（如图）可以剪开拉直为 5 个排列：1 i，2i，3 i，4i，5 i；2i，3 i，4i，5 i，1 i；3 i，4i，5 i，1 i，2i；4i，5 i，1 i，2i，3 i；5 i，1 i，2i，3 i，4i；反之，5 个这样的排列对应着一个环状排列，因而 5 个元素的环状排列数为：4!24（种)一般地，n个元素的环状排列数为(1)!n 种故答案为：24例 4.8 人围桌而坐,共有多少种坐法?【解析】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A并从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有（8-1）！种排法即7！HFDCAABCDEABEGHGF例 5A，B，C，D，E，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（）A60 种B48 种C30 种D24 种【解析】首先，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，考虑 B、C 两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换，根据排列数的计算公式，得到，224A，接下来，考虑其余三人的情况，其余位置可以互换，可得33A种，最后根据分步计数原理，得到23234AA48种，故选 B.3例 6现有一圆桌，周边有标号为 1，2，3，4 的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有_种（用数字作答）【解析】先按排甲，其选座方法有14C种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有22A种，所以共有坐法种数为1242428CA种故答案为 8例 78 人围圆桌开会，其中正、副组长各 1 人，记录员 1 人.(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？(2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？【解析】(1)正、副组长相邻而坐，可将此 2 人当作 1 人看，即 7 人围一圆桌，有(71)！6！种坐法，又因为正、副组长 2 人可换位，有 2！种坐法故所求坐法为(71)！2！1440 种(2)记录员坐在正、副组长中间，可将此 3 人视作 1 人，即 6 人围一圆桌，有(61)！5！种坐法，又因为正、副组长 2 人可以换位，有 2！种坐法，故所求坐法为 5！2！240 种