2024年高考数学专项突破裂项相消法求数列前n项和（解析版）.pdf

裂项相消法求数列前n项和裂项相消法求数列前n项和1 设数列 an的前n项和Sn=3n+12-32，数列 bn满足bn=1n+1log3an(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)若数列 bn的前n项和Tn，cn=an1-Tn，求数列 cn的前n项和Rn2 在公差不为零的等差数列 an中，a1=2且a1，a3，a11成等比数列(1)求通项公式an；(2)令bn=1a2n+an-2，求数列 bn的前n项和Sn；3 已知等差数列 an前n项和为Sn,a3=5,S6-S3=27，数列 bn前n项积为Tn=3n n+12.(1)求 an,bn的通项公式；(2)设cn=anbnn2+n，求数列 cn的前n项和Qn.4 已知数列 an的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n.(1)求证：数列 an是等差数列；(2)设bn=1anan+1，求数列 bn的前n项和.12024年高考数学专项突破裂项相消法求数列前n项和（解析版）5设 an是等差数列，其前n项和为Sn(nN*)，bn为等比数列，公比大于1已知a1=1，b1=4，b2+S2=11，b3+S3=22(1)求 an和 bn的通项公式；(2)设cn=-1n3an+1-1anan+1bn，求 cn的前2n项和；(3)设dn=anbn，求证：1d2-d1+1d3-d2+1d4-d3+1dn+1-dn146已知数列 an的前n项和为Sn，且满足a1=12，an+Sn-1Sn=0(n2).(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列(2n+1)a2n的前n项和.7已知在等差数列 an中，a1+a5=18,a6=15.(1)求 an的通项公式；(2)求数列1an-1an 的前n项和Sn.28记Sn为数列 an的前n项和，已知a1=1，2Snnan 是公差为2的等差数列(1)求 an的通项公式；(2)证明：ni=1(i+1)aiai+10，a2n+2an+1=4Sn.(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列-1n4nanan+1 的前n项和Tn.311已知数列 an中，a1=1，an+1=(n+1)ann+2an，数列 bn的前n项和为Bn，2Bn+3=bn+1，b1=3(1)求证：数列nan 为等差数列，并求 an，bn的通项公式；(2)若cn=4anan+1nbn，且数列 cn的前n项和为Tn，求Tn12从 an+12=a2n-1+4an+2an-1+1 n2,an0，nan+1=n+1an+1，前n项和Sn满足nSn+1Sn+n=n+1中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.已知数列 an的首项a1=1，且.(1)求 an的通项公式；(2)若bn=2anan+1，求数列 bn的前n项和Tn.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.13已知在等差数列 an中，a1+a5=7,a6=132.(1)求 an的通项公式；(2)求数列1anan+1 的前n项和Sn.414记Sn为数列 an的前n项和(1)从下面三个条件中选一个，证明：数列 an是等差数列；Sn=n an+12nN*；数列Snn 是等差数列；数列 2an是等比数列(2)若数列 an为等差数列，且a1=1，a3=5，求数列nn+2Sn 的前n项和Tn注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分15设数列 an前n项和Sn满足Sn+an=n-1n2+n，nN*(1)证明：数列 Sn-1n+1 为等比数列；(2)记1bn=1n+1-Sn，求数列bnbn-1bn+1-1 的前n项和Tn16设正项数列 an的前n项和为Sn，已知a3=5，且a2n+1=4Sn+4n+1.(1)求 an的通项公式；(2)若bn=(-1)n2nanan+1，求数列 bn的前n项和Tn.517已知Sn为数列 an的前n项和，a1=1，且nan-Sn=n2-n,nN*(1)求数列 an的通项公式；(2)若bn=2an2an-12an+1-1，求数列 bn的前n项和Tn18记Sn为等差数列an的前n项和，已知a3=5,S9=81，数列bn满足a1b1+a2b2+a3b3+anbn=n-13n+1+3.(1)求数列an与数列bn的通项公式；(2)数列cn满足cn=bn,n为奇数1anan+2,n为偶数，n为偶数，求cn前2n项和T2n.19已知数列 an,bn满足bn=an+n2,a1+b1=3,a2+b2=8，且数列 an是等差数列.(1)求数列 bn的通项公式；(2)记数列1bn 的前n项和为Sn，求证：12Sn1.20已知数列 an是公差为d d0的等差数列，且满足a1=1,an+1=xan+2.(1)求 an的通项公式；(2)设bn=(-1)n4nanan+1，求数列 bn的前10项和S10.621已知数列 an、bn，满足a1=100，an+1=a2n，bn=lgan.(1)求数列 bn的通项公式；(2)若cn=log2bn+log2bn+1+log2b2n，求数列1cn 的前n项和Sn.22已知数列 an满足a1=3，2an+1-anan+1=1(1)记bn=1an-1求数列 bn的通项公式；(2)求数列1bnbn+1 的前n项和23已知正数数列 an，a1=1，且满足a2n-n-1anan-1-na2n-1=0 n2(1)求数列 an的通项公式；(2)设bn=n-1an，求数列 bn的前n项和Sn24在cn=an+1-an2n，cn=1an+1这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答问题：已知数列 an为递增数列且满足a2n+1-2an+1an+a2n=4n2，a1=0且，求数列 cn的前n项和Sn注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分725进行独立重复试验，设每次成功的概率为p 0p1，则失败的概率为1-p，将试验进行到恰好出现r次成功时结束试验，以X表示试验次数，则称X服从以r，p为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为XNB r,p(1)若XNB 3,13，求P X=5；(2)若XNB 2,12，nN*，n2求ni=2P X=i；要使得在n次内结束试验的概率不小于34，求n的最小值26已知递增等比数列 an的前n项和为Sn，S6S3=9，bn=anan-1an+1-1，且b1=23(1)求 an的通项公式；(2)求数列 bn的前n项和Tn27已知数列 an满足：a1=12，3an+1an=1+an+11+an.(1)求证：1an+1 是等比数列，并求出数列 an的通项公式；(2)设bn=3nanan+1，求数列 bn的前n项和Sn.828已知数列 an，a1=2，且满足an+1+2an=2n+2，nN*(1)求数列 an的通项公式；(2)设bn=nk=1a2k-ak，求数列anbn 前n项的和Sn29数列 an中，已知a1=12，对任意的p，qN*都有ap+q=ap+aq，令bn=1anan+1.函数 f x对任意xR有 f x+f 1-x=1，数列 an满足an=f 0+f1n+f2n+fn-1n+f 1，令bn=1an-12an+1-12.在、中选取一个作为条件，求解如下问题.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)(1)数列 an是等差数列吗？请给予证明.(2)求数列 bn的前n项和Tn.30已知数列 an为等差数列，a5=6，a11=12；bn为等比数列，其前n项和Sn=2n+1-2.(1)求 an，bn的通项公式；(2)cn=1anlog2bn，求 cn的前n项和Tn.931已知数列 an中，a1=1，an=an+12n，nN*(1)求数列 an的通项公式；(2)设bn=log2a2n+3n，数列1bn 的前n项和Sn，求证：Sn3432设数列 an的前n项和为Sn，已知a1=1，且数列 3-2Snan 是公比为13的等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)设bn=3nan+1-1an+2-1，数列 bn的前n项和为Tn，证明：Tn1433已知等差数列 an的前n项和为Sn，且1，a2，a5成等比数列，S5=a13.(1)求数列 an的通项公式；(2)设bn=1anan+1，求数列 bn的前n项和Tn.1034已知数列 an中，a1=13，an+1=an2-an(1)记bn=1an-1，证明：数列 bn为等比数列；(2)求数列 an的通项公式；(3)记cn=2nanan+1，求数列 cn的前n项和Sn35已知正项数列 an满足:anan+1-an+1-3an+4=0,且2a22-3a2-5=0.(1)证明数列1an-2 是等差数列;(2)若bn=an2n2+3n+1,求数列 bn的前n项和.36设正项数列 an的前n项和为Sn，已知a2n+an=2SnnN*(1)求 an的通项公式；(2)设bn=an+1an+anan+1，求数列 bn的前n项和37公比为q的等比数列 an满足a1+a5=17,a4+a8=136.(1)求 an的通项公式；(2)若bn=log2an，记 bn的前n项和为Tn，求1T2+1T3+1Tn+1.1138已知数列 an是公差为2的等差数列，其前3项的和为12，bn是公比大于0的等比数列，b1=3，b3-b2=18.(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)若数列 cn满足cn=4anan+1+bn，求 cn的前n项和Tn.39已知数列 an的前n项和为Sn，且满足a1=2，Sn+1=2Sn+2(1)求数列 an的通项公式(2)记bn=nann+1n+2，求数列 bn的前n项和Tn40将正奇数数列1，3，5，7，9的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图的三角形数表(1)设数表中每行的最后一个数依次构成数列 an，求数列 an的通项公式；(2)设bn=2n1-nan+1，求数列 bn的前n项和Tn12裂项相消法求数列前裂项相消法求数列前n n项和项和1设数列 an的前n项和Sn=3n+12-32，数列 bn满足bn=1n+1log3an(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)若数列 bn的前n项和Tn，cn=an1-Tn，求数列 cn的前n项和Rn【答案】(1)an=3nnN*，bn=1n n+1(2)Rn=2n+143n+1-34【分析】(1)根据an=Sn-Sn-1求得 an的通项公式，再代入 bn即可；(2)根据裂项相消求得Tn，代入 cn，再用错位相减法求得Rn.【详解】(1)当n=1时，a1=S1=3；由Sn=3n+12-32得Sn-1=3n2-32(n2)，an=Sn-Sn-1=3n(n2)，又a1=S1=3也符合，an=3nnN*，bn=1n+1log3an=1n+1log33n=1n n+1(2)Tn=112+123+1n n+1=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1，cn=an1-Tn=n+13nRn=231+332+433+n+13n，3Rn=232+333+434+n+13n+1，两式相减得：-2Rn=231+32+33+3n-n+13n+1=6+9 1-3n-11-3-n+13n+1=32-2n+123n+1，所以Rn=2n+143n+1-342在公差不为零的等差数列 an中，a1=2且a1，a3，a11成等比数列(1)求通项公式an；(2)令bn=1a2n+an-2，求数列 bn的前n项和Sn；【答案】(1)an=3n-1，nN*；(2)Sn=n3n+1【分析】(1)设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质列方程可求首项和公差，即可得到所求通项公式；(2)求得bn=1a2n+an-2=1(an-1)(an+2)=1(3n-2)(3n+1)=1313n-2-13n+1，由裂项相消法求和即可【详解】(1)由题意，设等差数列 an的公差为d d0，a1，a3，a11成等比数列，1 a23=a1a11，(a1+2d)2=a1a1+10d，又a1=2，(2+2d)2=2 2+10d，解得d=3，an=2+3 n-1=3n-1，nN*；(2)由(1)，可得bn=1a2n+an-2=1(3n-1)2+3n-1-2=19n2-3n-2=13n-23n+1=1313n-2-13n+1，Sn=b1+b2+bn=13 1-14+1314-17+1313n-2-13n+1=13 1-14+14-17+13n-2-13n+1=13 1-13n+1=n3n+13已知等差数列 an前n项和为Sn,a3=5,S6-S3=27，数列 bn前n项积为Tn=3n n+12.(1)求 an,bn的通项公式；(2)设cn=anbnn2+n，求数列 cn的前n项和Qn.【答案】(1)an=2n-1，bn=3n(2)Qn=3n+1n+1-3【分析】(1)求得数列 an的公差，由此求得an.利用bn=TnTn-1n2求得bn.(2)利用裂项相消求和法求得Qn.【详解】(1)an是等差数列，S6-S3=27,a4+a5+a6=27，即：3a5=27,a5=9，又a3=5，d=a5-a35-3=2，an=a3+n-3d=5+n-32=2n-1.又bn=TnTn-1=3n n+123n n-12=3nn2，当n=1时，b1=T1=3，符合上式，bn=3n.(2)由(1)可得：cn=anbnn2+n=2n-13nn2+n=3n+1n+1-3nn，2Qn=c1+c2+cn=322-3+333-322+344-333+3n+1n+1-3nn=3n+1n+1-3.4已知数列 an的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n.(1)求证：数列 an是等差数列；(2)设bn=1anan+1，求数列 bn的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)n3 2n+3【分析】(1)根据前n项和与通项公式之间的关系可得an=2n+1，再结合等差数列定义证明；(2)结合(1)中的结果，利用裂项相消法求解.【详解】(1)当n=1时，则a1=S1=3；当n2时，则an=Sn-Sn-1=n2+2n-n-12+2 n-1=2n+1；显然当n=1时，也满足上式，所以an=2n+1.当n2时，则an-an-1=2n+1-2 n-1+1=2，所以数列 an是首项为3，公差为2的等差数列.(2)由(1)可知，an=2n+1，则bn=12n+12n+3=1212n+1-12n+3，可得b1+b2+bn=1213-15+15-17+12n+1-12n+3=16-14n+6=n3 2n+3，所以数列 bn前n项和为n3 2n+3.5设 an是等差数列，其前n项和为Sn(nN*)，bn为等比数列，公比大于1已知a1=1，b1=4，b2+S2=11，b3+S3=22(1)求 an和 bn的通项公式；(2)设cn=-1n3an+1-1anan+1bn，求 cn的前2n项和；(3)设dn=anbn，求证：1d2-d1+1d3-d2+1d4-d3+1dn+1-dn1，依题意得到方程组，求出d、q，即可得解；(2)由(1)可得cn=-1n1n2n+1n+12n+1，利用裂项相消法计算可得；(3)由(1)可得dn=n2n+1，即可得到1dn+1-dn=1n+22n+11，3则S2=a1+a2=d+2，S3=3a1+3 3-12d=3d+3，又b2+S2=11，b3+S3=22，所以4q+2+d=114q2+3+3d=22，解得q=2d=1 或q=1d=5(舍去)，所以an=n，bn=2n+1.(2)由(1)可得cn=-1n3an+1-1anan+1bn=-1n3n+2n n+12n+1=-1n1n2n+1n+12n+1，设 cn的前2n项和为T2n，所以T2n=c1+c2+c3+c2n=-1121+1222+1222+1323-1323+1424+12n22n+12n+122n+1=12n+122n+1-12.(3)因为dn=anbn=n2n+1，所以dn+1-dn=n+12n+2-n2n+1=n+22n+1，所以1dn+1-dn=1n+22n+1122n+1=12n+2，所以1d2-d1+1d3-d2+1d4-d3+1dn+1-dn181-12n1-12=14-12n+214.6已知数列 an的前n项和为Sn，且满足a1=12，an+Sn-1Sn=0(n2).(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列(2n+1)a2n的前n项和.【答案】(1)an=12,n=1,-1n(n+1),n2.(2)Tn=n(n+2)(n+1)2【分析】(1)由Sn与an的关系证得1Sn 是等差数列，求出Sn=1n+1，再求an；(2)使用裂项求和即可.【详解】(1)当n=1时，S1=a1=12，当n2时，an=Sn-Sn-1，Sn-Sn-1+Sn-1Sn=0，即Sn-1-Sn=Sn-1Sn，Sn-1，Sn0，1Sn-1Sn-1=1，1Sn 是首项为2，公差为1的等差数列，1Sn=2+(n-1)1=n+1，Sn=1n+1，an=-Sn-1Sn=-1n(n+1)，综上，an=12,n=1,-1n(n+1),n2.4(2)a2n=1n2(n+1)2，,(n1),(2n+1)a2n=2n+1n2(n+1)2=1n2-1(n+1)2，记数列(2n+1)a2n的前n项和为Tn，Tn=112-122+122-132+1(n-1)2-1n2+1n2-1(n+1)2=1-1(n+1)2=n(n+2)(n+1)2.7已知在等差数列 an中，a1+a5=18,a6=15.(1)求 an的通项公式；(2)求数列1an-1an 的前n项和Sn.【答案】(1)an=2n+3(2)n6n+9【分析】(1)根据等差数列的通项公式列式求出a1和d，再代入通项公式可得结果；(2)利用1an-1an=12n+12n+3=1212n+1-12n+3，裂项求和可得结果.【详解】(1)设 an的公差为d.由a1+a5=18，可得a3=9.因为a6=15，所以3d=a6-a3=15-9=6，所以d=2.因为a3=a1+2d=9，所以a1=5，故an=2n+3.(2)因为an=2n+3，所以1an-1an=12n+12n+3=1212n+1-12n+3，所以Sn=1an-1an=1213-15+1215-17+1212n+1-12n+3=1213-12n+3=n6n+9.8记Sn为数列 an的前n项和，已知a1=1，2Snnan 是公差为2的等差数列(1)求 an的通项公式；(2)证明：ni=1(i+1)aiai+11【答案】(1)an=2n n+1；(2)证明见解析.【分析】(1)利用等差数列的通项公式求出Sn=n2an，再利用Sn与an的关系，结合构造法求出an的通项公式作答；(2)利用(1)的结论，结合裂项相消法求和，再证明不等式成立.【详解】(1)由a1=1，得2S1a1=2，依题意，2Snnan=2+2 n-1=2n，即Sn=n2an，当n2时，Sn-1=n-12an-1，则an=Sn-Sn-1=n2an-n-12an-1，即(n2-1)an=(n-1)2an-1，整理得(n+1)an=(n-1)an-1，所以(n+1)nan=n(n-1)an-1，所以数列(n+1)nan是常数列，所以(n+1)nan=(1+1)1a1=2，所以an=2n(n+1)，5所以 an的通项公式为an=2n(n+1)(2)证明：由(1)知，(n+1)anan+1=4n(n+1)(n+2)=21n(n+1)-1(n+1)(n+2)，所以ni=1(i+1)aiai+1=2112-123+123-134+1n(n+1)-1(n+1)(n+2)=212-1(n+1)(n+2)0，a2n+2an+1=4Sn.(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列-1n4nanan+1 的前n项和Tn.【答案】(1)an=2n-1(2)Tn=-1+(-1)n12n+1【分析】(1)利用Sn与an的关系计算求通项；(2)结合(1)的结论，利用裂项相消法计算即可.【详解】(1)已知a2n+2an+1=4Sn，当n=1时，a1=1.当n2时，a2n-1+2an-1+1=4Sn-1-得：a2n+2an-a2n-1-2an-1=4an，即 an+an-1an-an-1-2=0.又an0，所以an+an-10，an-an-1=2.所以数列 an是以1为首项，2为公差的等差数列.所以an=2n-1.(2)设bn=(-1)n4nanan+1=(-1)n4n2n-12n+1=(-1)n12n-1+12n+1.Tn=-1+13+13+15-15+17+(-1)n12n-1+12n+1=-1+(-1)n12n+1.11已知数列 an中，a1=1，an+1=(n+1)ann+2an，数列 bn的前n项和为Bn，2Bn+3=bn+1，b1=3(1)求证：数列nan 为等差数列，并求 an，bn的通项公式；(2)若cn=4anan+1nbn，且数列 cn的前n项和为Tn，求Tn【答案】(1)an=n2n-1；bn=3n(2)Tn=1-12n+13n【分析】(1)将an+1=(n+1)ann+2an取倒数，继而整理为n+1an+1-nan=2，根据等差数列的通项公式可求得an；根据数列前n项和和第n项的关系2Bn+3=bn+1，可得2Bn-1+3=bn,(n2)，两式相减可求得bn；(2)由(1)的结果可求出cn=4anan+1nbn的表达式，利用裂项求和的方法即可求得答案.7【详解】(1)因为an+1=(n+1)ann+2an，所以1an+1=n+2an(n+1)an,n+1an+1=nan+2，即n+1an+1-nan=2，故nan 是以1a1=1为首项，以2为公差的等差数列，故nan=1+2(n-1),an=n2n-1；由2Bn+3=bn+1，可得2Bn-1+3=bn,(n2)，两式相减可得2bn=bn+1-bn,bn+1=3bn,(n2)，又2B1+3=b2，b1=3，可得b2=9,b2b1=3，故bn是以b1=3为首项，3为公比的等比数列，故bn=3n.(2)由(1)可得cn=4anan+1nbn=4n2n-1n+12n+1n3n=4(n+1)(2n-1)(2n+1)3n=12n-13n-1-12n+13n，Tn=1130-1331+1331-1532+12n-13n-1-12n+13n=1-12n+13n.12从 an+12=a2n-1+4an+2an-1+1 n2,an0，nan+1=n+1an+1，前n项和Sn满足nSn+1Sn+n=n+1中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.已知数列 an的首项a1=1，且.(1)求 an的通项公式；(2)若bn=2anan+1，求数列 bn的前n项和Tn.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)an=2n-1(2)Tn=2n2n+1【分析】(1)选因式分解得 an+an-1an-an-1-2=0，则有an-an-1=2 n2，则可得到其通项，选两边同加n得an+1+1n+1=an+1n，则可写出通项，选移项整理有Sn+1n+1-Snn=1，则可得到其通项；(2)bn=12n-1-12n+1，通过列项求和即可得到答案.【详解】(1)选：由 an+12=a2n-1+4an+2an-1+1 n2，可得 an+an-1an-an-1-2=0.因为an0，所以an-an-1=2 n2,所以 an是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an=1+n-12=2n-1.选：由nan+1=n+1an+1，得nan+1+n=n+1an+n+1，所以n an+1+1=n+1an+1，所以an+1+1n+1=an+1n，故数列an+1n 是常数列，8所以an+1n=a1+11=2，故an=2n-1.选：由nSn+1Sn+n=n+1，得nSn+1-n+1Sn=n n+1，则Sn+1n+1-Snn=1，所以数列Snn 是首项为1，公差为1的等差数列，所以Snn=1+n-11=n，则Sn=n2.当n2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，易知a1=1也满足上式，故 an的通项公式为an=2n-1.(2)由(1)可得bn=2anan+1=22n-12n+1=12n-1-12n+1，则Tn=b1+b2+bn=1-13+13-15+12n-1-12n+1=1-12n+1=2n2n+113已知在等差数列 an中，a1+a5=7,a6=132.(1)求 an的通项公式；(2)求数列1anan+1 的前n项和Sn.【答案】(1)an=2n+12(2)Sn=4n6n+9【分析】(1)根据等差数列的通项公式列式求出a1和d，再代入通项公式可得结果；(2)利用1anan+1=42n+12n+3=212n+1-12n+3，裂项求和可得结果.【详解】(1)设 an的公差为d.由a1+a5=7，可得2a1+4d=7.因为a6=132，所以a1+5d=132.由2a1+4d=7a1+5d=132，得a1=32，d=1.故an=a1+(n-1)d=2n+12.(2)因为an=2n+12，所以1anan+1=42n+12n+3=212n+1-12n+3，所以Sn=1anan+1=213-15+215-17+212n+1-12n+3=213-12n+3=4n6n+9.14记Sn为数列 an的前n项和(1)从下面三个条件中选一个，证明：数列 an是等差数列；Sn=n an+12nN*；数列Snn 是等差数列；数列 2an是等比数列(2)若数列 an为等差数列，且a1=1，a3=5，求数列nn+2Sn 的前n项和Tn9注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)证明见解析(2)34-2n+32 n+1n+2【分析】(1)选择条件，由等差中项的性质证明数列 an是等差数列；选择条件，由等差数列的定义证明数列 an是等差数列；(2)由(1)求出an,Sn，由裂项相消法求Tn即可.【详解】(1)选择条件：因为Sn=n an+12nN*，所以2Sn=nan+n nN*，2Sn+1=(n+1)an+1+n+1 nN*，两式相减可得2an+1=(n+1)an+1-nan+1 nN*，即nan-1=(n-1)an+1nN*，所以(n+1)an+1-1=nan+2nN*，两式相减可得(n+1)an+1-nan=nan+2-(n-1)an+1nN*，化简可得2nan+1=n an+2+annN*，所以2an+1=an+2+annN*，所以数列 an是等差数列选择条件：设数列Snn 的首项为b1，公差为p，则Snn=S11+(n-1)p=np+b1-p，故Sn=pn2+b1-pn当n2时，an=Sn-Sn-1=pn2+b1-pn-p(n-1)2-b1-p(n-1)=b1+2(n-1)p，当n=1时，a1=S1，所以an=b1+2(n-1)p，又当n2时，an-an-1=b1+2(n-1)p-b1-2(n-1)-1p=2p所以数列 an是等差数列选择条件：因为数列 2an是等比数列，所以2an2an+2=2an+12，即2an+an+2=22an+1，所以an+an+2=2an+1所以数列 an是等差数列(2)因为数列 an是等差数列，且公差d=a3-a12=2，所以Sn=na1+n n-12d=n+n n-122=n2所以nn+2Sn=1n+2n=121n-1n+2故Tn=121-13+1212-14+1213-15+121n-1n+2=121-13+12-14+13-15+1n-1n+2=121+12-1n+1-1n+2=34-121n+1+1n+2=34-2n+32 n+1n+215设数列 an前n项和Sn满足Sn+an=n-1n2+n，nN*10(1)证明：数列 Sn-1n+1 为等比数列；(2)记1bn=1n+1-Sn，求数列bnbn-1bn+1-1 的前n项和Tn【答案】(1)证明见解析(2)1-12n+1-1【分析】(1)根据条件以及an=Sn-Sn-1n2消去an，结合等比数列的定义可得答案；(2)先求出bn的通项公式，得到bnbn-1bn+1-1 的通项公式，利用裂项相消法可求答案.【详解】(1)证明：Sn+an=n-1n2+n，且an=Sn-Sn-1n2，2Sn-Sn-1=2n+1-1nn2，2 Sn-1n+1=Sn-1-1nn2，Sn-1n+1Sn-1-1n=12n2，令n=1，可得S1=0，S1-12=-12，所以数列 Sn-1n+1 是首项为-12，公比为12的等比数列(2)由(1)可得Sn-1n+1=-1212n-1=-12n，1bn=-Sn-1n+1=12n，bn=2n；bnbn-1bn+1-1=2n2n-12n+1-1=12n-1-12n+1-1；Tn=11-13+13-17+17-115+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1.16设正项数列 an的前n项和为Sn，已知a3=5，且a2n+1=4Sn+4n+1.(1)求 an的通项公式；(2)若bn=(-1)n2nanan+1，求数列 bn的前n项和Tn.【答案】(1)an=2n-1；(2)Tn=-n2n+1,n为偶数,-n+12n+1,n为奇数.【分析】(1)根据Sn-Sn-1=an(n2)得到an+1-an=2，根据a2n+1=4Sn+4n+1和a3=5得到a2-a1=2，即可得到数列 an是公差为2的等差数列，然后求通项即可；(2)利用裂项相消的方法求和即可.【详解】(1)因为a2n+1=4Sn+4n+1，所以4Sn=a2n+1-4n-1，所以n2时，4Sn-1=a2n-4 n-1-1由-，得4an=a2n+1-a2n-4，即a2n+1=an+2211因为 an各项均为正数，所以an+1=an+2，即an+1-an=2，因为a3=5，所以a23=4 a1+a2+9，a22=4a1+5，解得a2=3，a1=1，a2-a1=2，所以数列 an是公差为2的等差数列，所以an=1+n-12=2n-1(2)由(1)得bn=-1n2n2n-12n+1=-1n212n-1+12n+1当n为偶数时，Tn=-121+13+1213+15-1215+17+1217+19+1212n-1+12n+1=12-1+12n+1=-n2n+1；当n为奇数时，Tn=-121+13+1213+15-1215+17+1217+19+-1212n-1+12n+1=12-1-12n+1=-n+12n+1所以Tn=-n2n+1,n为偶数,-n+12n+1,n为奇数.17已知Sn为数列 an的前n项和，a1=1，且nan-Sn=n2-n,nN*(1)求数列 an的通项公式；(2)若bn=2an2an-12an+1-1，求数列 bn的前n项和Tn【答案】(1)an=2n-1(2)Tn=131-122n+1-1【分析】(1)可由an=S1，n=1Sn-Sn-1，n2，其中nN*.可得 an的通项公式；(2)根据裂项相消法可得数列 bn的前n项和Tn.【详解】(1)因为nan-Sn=n2-n，所以(n-1)an-1-Sn-1=(n-1)2-(n-1)(n2)，两式相减得nan-(n-1)an-1-an=2n-2，化简得an-an-1=2(n2)，所以数列 an是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an=1+(n-1)2=2n-1(2)bn=22n-122n-1-122n+1-1=13122n-1-1-122n+1-1，所以Tn=b1+b2+bn=1312-1-123-1+123-1-125-1+122n-1-1-122n+1-1=131-122n+1-1所以Tn=131-122n+1-118记Sn为等差数列an的前n项和，已知a3=5,S9=81，数列bn满足a1b1+a2b2+a3b3+anbn=12n-13n+1+3.(1)求数列an与数列bn的通项公式；(2)数列cn满足cn=bn,n为奇数1anan+2,n为偶数，n为偶数，求cn前2n项和T2n.【答案】(1)an=2n-1,bn=3n(2)T2n=39n8-116n+12-724【分析】(1)根据等差数列的通项公式和前n项求和公式计算可得a1=1,d=2，即可求出an；根据an=Sn-Sn-1(n2)可得anbn=2n-13n，验证b1，即可求解；(2)由题意，根据等比数列前n项求和公式和裂项相消求和法计算即可求解.【详解】(1)设等差数列an的公差为d，a3=5S9=81，即a1+2d=59a1+982d=81，a1=1,d=2，an=2n-1.a1b1+a2b2+a3b3+anbn=n-13n+1+3，a1b1+a2b2+an-1bn-1=n-23n+3 n2，所以-得，anbn=2n-13n，bn=3nn2.当n=1时，a1b1=3,b1=3，符合bn=3n.bn=3n.(2)T2n=c1+c2+c3+c2n，依题有：T2n=b1+b3+b2n-1+1a2a4+1a4a6+1a2na2n+2.记T奇=b1+b3+b2n-1，则T奇=3(1-32n)1-32=32n+1-38.记T偶=1a2a4+1a4a6+1a2na2n+2，则T偶=12d1a2-1a4+1a4-1a6+1a2n-1a2n+2=12d1a2-1a2n+2=1413-14n+3.所以T2n=32n+1-38+1413-14n+3=39n8-116n+12-724.19已知数列 an,bn满足bn=an+n2,a1+b1=3,a2+b2=8，且数列 an是等差数列.(1)求数列 bn的通项公式；(2)记数列1bn 的前n项和为Sn，求证：12Sn1.【答案】(1)bn=n+n2(2)证明见解析【分析】(1)由已知列式求得a1=1,a2=2，可得数列 an的公差d，进而可求得答案；(2)利用裂项相消法求出Sn，即可证得结论.【详解】(1)由bn=an+n2得b1=a1+1,b2=a2+4，代入a1+b1=3,a2+b2=8得2a1+1=3,2a2+4=8，解得a1=1,a2=2，又因为数列 an为等差数列，故公差为d=a2-a1=1，因此an=n,bn=n+n2.13(2)由(1)可得bn=n+n2，所以1bn=1n+n2=1n-1n+1，所以Sn=1b1+1b2+1b3+1bn=1-12+12-13+13-14+1n-1n+1=1-1n+1，又因为nN*，所以01n+112(n=1时等号成立)，所以121-1n+11，即12Sn1，推导出数列 bn的首项和公比，可求得数列 bn的通项公式；(2)求出cn的表达式，然后利用裂项相消法可求得Sn的表达式.【详解】(1)解：因为an+1=a2n，a1=1001，则a2=a211，a3=a221，以此类推可知，对任意的nN*，an1，所以lgan+1=lga2n，即lgan+1=2lgan，bn+1=2bn，又因为b1=2，所以 bn是首项为2，公比为2的等比数列，所以 bn的通项公式为bn=22n-1=2n.(2)解：log2bn=n，则cn=n+n+1+n+2+2n=n+1n+2n2=3n n+12，14所以，1cn=23n n+1=231n-1n+1，故Sn=231-12+12-13+13-14+1n-1n+1=231-1n+1=2n3 n+1.22已知数列 an满足a1=3，2an+1-anan+1=1(1)记bn=1an-1求数列 bn的通项公式；(2)求数列1bnbn+1 的前n项和【答案】(1)bn=32-n(2)4n1-2n【分析】(1)先对2an+1-anan+1=1变形得an+1=12-an，然后再根据bn=1an-1得出bn+1与bn的关系，从而求出结果.(2)先根据(1)的结果求出1bnbn+1 的通项公式，然后利用裂项相消法即可求出前n项和.【详解】(1)2an+1-anan+1=1，an+1=12-an，又bn=1an-1，bn+1=1an+1-1=112-an-1=2-anan-1=1an-1-1=bn-1，又b1=1a1-1=12，所以数列 bn是以12为首项，-1为公差的等差数列，所以数列 bn的通项公式为bn=12-(n-1)=32-n.(2)由(1)得1bnbn+1=132-n12-n=112-n-132-n，所以数列1bnbn+1 的前n项和为1b1b2+1b2b3+1b3b4+1bnbn