2024年高考数学专项排列组合专题17 构造法模型和递推模型（解析版）.pdf
1专题 17 构造法模型和递推模型类型 1：构造法模型类型 1：构造法模型例 1某人连续射击 8 次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种例 2.个人参加秋游带 10 瓶饮料，每人至少带 1 瓶，一共有多少钟不同的带法例 3.从 1，2，3，1000 个自然数中任取 10 个不连续的自然数，有多少种不同的去法例 4.某城市街道呈棋盘形，南北向大街 5 条，东西向大街 4 条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种例 5.一个楼梯共 18 个台阶 12 步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法例 6.求（a+b+c）10的展开式的项数例 7.亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有 5 名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由 1 号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程有多少种？例 8.马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种？例 9.25 人排成 55 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？类型 2：递推模型类型 2：递推模型例 15 个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有()种不同的站法A42B44C46D482024年高考数学专项排列组合专题17 构造法模型和递推模型（解析版）2例 2欲登上第 10 级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或二级，问共有89种不同的走法制发例3.甲、乙、丙三人互相传球，先由甲开始作第一次传球，则5次后球仍回到甲手中的不同传球方式有()A6 种B8 种C10 种D16种例 4 甲，乙，丙三人练习传球，首先由甲发球，连续 10 次传球后，球又回到甲手中的不同传球路线有342种例 5某校有教职员工 150 人，为了丰富教工的课余生活，每天下午4:00 5:00同时开放健身房和娱乐室，要求所有教工每天必须参加一个活动据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？例 6.五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有（）A.60 种B.44 种C.36 种D.24 种例 7.有排成一行的n个方格,用红、黄、蓝三色涂每个格子,每格涂一色，要求任何相邻的格不同色，且首尾两格也不同色,阳有多少种涂法?例 8.一只猴子爬一个 8 级的梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多上跃三级.从地面上到最上一级,一共可以有多少种不同的爬跃方式？例 9.用 4 种不同颜色涂四边形的 4 个顶点,要求每点染一种颜色,相邻的顶点染不同的颜色，求不同的染色方法？例 10.五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有多少种?31专题 17 构造法模型和递推模型类型类型 1 1：构造法模型：构造法模型例 1某人连续射击 8 次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题25A=20 种例 2.个人参加秋游带 10 瓶饮料，每人至少带 1 瓶，一共有多少钟不同的带法【解析】把问题转化为 5 个相同的白球不相邻地插入已经排好的 10 个相同的黑球之间的 9 个空隙种的排列问题59C=126 种例 3.从 1，2，3，1000 个自然数中任取 10 个不连续的自然数，有多少种不同的去法【解析】把稳体转化为 10 个相同的黑球与 990 个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。10991C例 4.某城市街道呈棋盘形，南北向大街 5 条，东西向大街 4 条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种【解析】无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为 3 个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题37C=35（种）例 5.一个楼梯共 18 个台阶 12 步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法【解析】根据题意要想 12 步登完只能 6 个一步登一个台阶，6 个一步登两个台阶，因此，把问题转化为 6个相同的黑球与 6 个相同的白球的排列问题612C=924（种）例 6.求（a+b+c）10的展开式的项数【解析】展开使的项为abc,且+=10，因此，把问题转化为 2 个相同的黑球与 10 个相同的白球的排列问题212C=66（种）例 7.亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有 5 名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由 1 号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程那么2所有可能出现的比赛过程有多少种？【解析】设亚洲队队员为a1,a2，,a5,欧洲队队员为b1，b2，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序比赛过程转化为这 10 个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为 5 个相同的白球和 5 个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为610C=252（种）例 8.马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种？【解析】把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有3510C种例 9.25 人排成 55 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？【解析】将这个问题退化成 9 人排成 33 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从 33 方队中选 3 人的方法有111321C C C种。再从 55 方阵选出 33 方阵便可解决问题.从 55 方队中选取 3 行 3 列有3355C C选法所以从 55 方阵选不在同一行也不在同一列的 3 人有3311155321600C C C C C选法。类型类型 2 2：递推模型：递推模型例 15 个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有()种不同的站法A42B44C46D48【解析】首先我们把人数推广到n个人，即n个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上设满足这样的站队方式有na种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有1n种站法3第二步：假设第一个人站在第 2 个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的2n 个人有2na种站队方式；第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，第n个人不站在第n个位置，所以有1na种站队方式由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列na的递推关系式：12(1)()nnnanaa，显然，10a，21a，32a，49a，544a，有 44 种排法故选：B例 2欲登上第 10 级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或二级，问共有89种不同的走法【解析】最后走到第十阶，可能是从第八阶直接上去，也可以从第九阶上去，设上n级楼梯的走法是()a n，则()a n的值与等于(1)a n 与(2)a n 的值的和，()(1)(2)a na na n一阶为 1 种走法：a（1）1二阶为 2 种走法：a（2）2a（3）123 a（4）235a（5）358a（6）5813a（7）81321a（8）132134a（9）213455(10)345589a故答案为：894制发例3.甲、乙、丙三人互相传球，先由甲开始作第一次传球，则5次后球仍回到甲手中的不同传球方式有()A6 种B8 种C10 种D16 种【解析】根据题意，设在第n次传球后(2)n，有na种情况球在甲手中，即经过n次传递后，球又被传回给甲，而前n次传球中，每次传球都有 2 种方法，则前n次传球的不同的传球方法共有2n种，那么在第n次传球后，球不在甲手中的情况有2nna种情况，即球在乙或丙手中，只有在这些情况时，在第1n 次传球后，球才会被传回甲，即12nnnaa；易得22a，则23222a，34226a，452610a，故选：C例 4 甲，乙，丙三人练习传球，首先由甲发球，连续 10 次传球后，球又回到甲手中的不同传球路线有342种【解析】解：设经过n次传球后球回到甲手中的传法有na种则经过(1)n 次传球后球回到甲手中的传法有1na种而(1)n 次传球一共有12n次传法，所以经过(1)n 次传球后球没有回到甲手中的传法有112nnnaa，1212aa，221321222aaa，998797862108122222(222)(222)342aaa故答案为 342例 5某校有教职员工 150 人，为了丰富教工的课余生活，每天下午4:00 5:00同时开放健身房和娱乐室，要求所有教工每天必须参加一个活动据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？5【解析】记第n天去健身房的人数为na，去娱乐室的人数为nb，则150nnab；当1n 时，则11150ab，当2n时，11(1 10%)20%nnnaab11(1 10%)20%(150)nnaa1300.7na，则11000.7(100)nnaa，即11000.7100nnaa；数列100na 是1100a 为首项，以 0.7 为公比的等比数列；1100(100)0.7nnaa，即1(100)0.7100nnaa；当n时，0.70n，1(100)0.70na，100na；即随着时间的推移，去健身房的人数应稳定于 100 人左右例 6.五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有（）A.60 种B.44 种C.36 种D.24 种【解析】首先我们把人数推广到n个人,即n个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上.设满足这样的站队方式有na种,现在我们来通过合理分步,恰当分类找出递推关系:第一步:第一个人不站在原来的第一个位置,有1n 种站法.第二步:假设第一个人站在第2个位置,则第二个人的站法又可以分为两类:第一类,第二个人恰好站在第个位置,则余下的2n个人有2na种站队方式;第二类,第二个人不站在第一个位置,则就是第二个人不站在第一个位置,第三个人不站在第三个位置,第四个人不站在第四个位置,第n个人不站在第n个位置,所以有1na种站队方式.由分步计数原理和分类计数原理,我们便得到了数列 na的递推关系6式:21(1),nnnanaa显然1,a 20,1,a 再由递推关系有3452,9,44,aaa故应选 B.例 7.有排成一行的n个方格,用红、黄、蓝三色涂每个格子,每格涂一色，要求任何相邻的格不同色，且首尾两格也不同色,阳有多少种涂法?【解析】设共有na种不同涂法.易得1233,6,6aaa，且当4n时,将n个格子依此编号后,则格 1 与格(1n)不相邻.(1)若格(1)n 涂色与格 1 不同,此时格n只有一色可涂,且前格满足首尾两格不同色,故有1na种不同涂法.(2)若格(n-1)涂色与格1相同,此时格(n-2)与格1涂色必然不同,否则格(1)n 与格(2)n 相同,于是前2n格有2na种不同涂法.因为格n与格 1 不同色,有两种涂法,故有22na种不同涂法.综上可得递推关系式12:2nnnaaa(4),n并可得22(1)(2)nnnan.例 8.一只猴子爬一个 8 级的梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多上跃三级.从地面上到最上一级,一共可以有多少种不同的爬跃方式？【解析】易得12341,2,4,7aaaa.把问题一般化,设一共有n级梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多上跃三级.设共有na种不同的爬跃方式.若第一次爬了一级,则有1na种方式;若第一次上跃二级，则有2na种方式;若第一次上跃三级,则有3na种方式.因此123nnnnaaaa:易得881a.即共有 81 种不同的爬跃方式.例 9.用 4 种不同颜色涂四边形的 4 个顶点,要求每点染一种颜色,相邻的顶点染不同的颜色，求不同的染色方法？【解析】我们先把这个题目推广:用m种不同颜色给n边形12nA AA的n个顶点染色（其中3,3,mn且m为常数),每点染一种颜色,相邻的顶点染不同的颜色,不同的染色方法有多少种?设不同的染色方法有na种，现在我们来通过合理分布，恰当分类找出递推关系：第一步:染1,A有m种染法第二步:染2A,有1m种染法同理，染31,nAA均有1m种染法，最后染,nA如果仅考虑nA与1nA不同色，则仍有1m种染法，相乘得m1(1)nm种染法,但要去掉nA与1A同色的染法数,此时可将nA与1A合并看成一个点,得出需要排除的染法数为1na,所以有11(1),nnnam ma显然33,maA.7又本题中,颜色数4,m 所以递推关系为11:43,nnnaa又33424,aA所以3434384(aa种),故不同的染色方法种数有 84 种.例 10.五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有多少种?【解析】首先我们把人数推广到n个人,即n个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上.设满足这样的站队方式有na种，现在我们来通过合理分步,恰当分类找出递推美系：第一步:第一个人不站在原来的第一个位置,有1n 种站法.第二步：假设第一个人站在第 2 个位置，则第二个人的站法又可以分为两类:第一类,第二个人恰好站在第一个位置，则余下的n-2 个人有2na种站队方式;第二类，第二个人不站在第一个位置,则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，第n个人不站在第n个位置,所以有1na种站队方式.由分步计数原理和分类计数原理，,我们便得到了数列的递推关系式：211(1),0nnnanaaa21,a 再由递推关系有3452,9,44,aaa故共有 44种.
