2024届高考数学专项解三角形12种常见考法归类（解析版）.pdf

解三角形12种常见考法归类解三角形12种常见考法归类1.高频考点考点一 利用正弦、余弦定理解三角形考点一 利用正弦、余弦定理解三角形(一)求边或角(二)判断三角形解的个数考点二 正弦定理的应用考点三 余弦定理的应用考点四 判断三角形的形状考点五 正余弦定理的综合应用考点六 与角度、边长有关的最值问题考点七 三角形面积的计算及应用考点二 正弦定理的应用考点三 余弦定理的应用考点四 判断三角形的形状考点五 正余弦定理的综合应用考点六 与角度、边长有关的最值问题考点七 三角形面积的计算及应用(一)求三角形的面积(二)已知三角形面积求边、角(三)三角形面积的最值问题考点八 三角形周长的计算及应用考点八 三角形周长的计算及应用(一)求三角形的周长(二)三角形周长的最值问题考点九 解三角形的实际应用考点九 解三角形的实际应用(一)测量距离问题(二)测量高度问题(三)测量角度问题(四)其他实际问题考点十 正、余弦定理解决几何问题考点十一 解三角形与三角函数的综合问题考点十二 解三角形与平面向量的综合问题考点十 正、余弦定理解决几何问题考点十一 解三角形与三角函数的综合问题考点十二 解三角形与平面向量的综合问题12024届高考数学专项解三角形届高考数学专项解三角形12种常见考法归类（解析版）种常见考法归类（解析版）2.解题策略1.正弦定理、余弦定理 正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆的半径，则正弦定理余弦定理文字语言在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.公式asinA=bsinB=csinC.a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2cacosB，c2=a2+b2-2abcosC.常见变形(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.(2)sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R.(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即 a b c=sinA sinBsinC.(4)asinB=bsinA，bsinC=csinB，asinC=csinA.(5)大边对大角 大角对大边abABsinAsinBcosAcosBcos2Acos2B(6)合分比：a+b+csinA+sinB+sinC=a+bsinA+sinB=b+csinB+sinC=a+csinA+sinC=asinA=bsinB=csinC=2R(1)cosA=b2+c2-a22bc，cosB=c2+a2-b22ca，cosC=a2+b2-c22ab.(2)b2+c2a2=2bccosA，c2+a2b2=2accosB，a2+b2c2=2abcosC2.三角形内角和及三角形常见重要关系 三角形内角和及三角形常见重要关系(1)ABC内角和定理：A+B+C=，进而有B+C2=2-A2等式子(2)三角函数关系：sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBc=acosB+bcosA同理有：a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC.-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；斜三角形中，-tanC=tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanBtanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCsinA+B2=cosC2；cosA+B2=sinC2(3)等差关系：若三角形三内角 A，B，C成等差数列，则 B=3，A+C=23；若三角形三边 a，b，c成等差数列，则2b=a+c2sinB=sinA+sinC.(4)三角形中的射影定理：在ABC中，a=bcos C+ccos B；b=acos C+ccos A；c=bcos A+acosB2(5)角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.即若AD为A的角平分线，则有比例关系：BDCD=ABAC.3.三角形常用面积公式 三角形常用面积公式(1)S=12aha(ha表示边a上的高).(2)S=12absinC=12acsinB=12bcsinA.(3)SABC=abc4R=12(a+b+c)r(r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r.)(4)S=p(p-a)(p-b)(p-c)，即海伦公式，其中p=12(a+b+c)为ABC的半周长.(5)SABC=12|x1y2-x2y1|,其中AB=(x1,y1),AC=(x2,y2)4.正弦定理、余弦定理的作用正弦定理、余弦定理的作用正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系(1)已知两角及任意一边解三角形正弦定理实际上是三个等式：asinA=bsinB，bsinB=csinC，asinA=csinC，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.因为三角形的内角和为180，所以已知两角一定可以求出第三个角.(2)已知两边及其中一边的对角解三角形用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；用三角形内角和定理求出第三个角；根据正弦定理求出第三条边.其中进行时要注意讨论该角是否可能有两个值.(3)解三角形多解情况在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A A为锐角为锐角A A为钝角或直角为钝角或直角图形图形关系式关系式a=bsinAbsinAabab解的个数解的个数一解一解两解两解一解一解一解一解无解无解(4)利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形(2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形(5)利用正、余弦定理解三角形的注意点正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都3要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键(6)当条件中出现了余弦定理的局部或变形如a2+b2，a+b，ab，cos A等，可以考虑使用余弦定理或变形形式对条件进行化简变形.5.判断三角形形状的判断三角形形状的2 2种途径种途径判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.(1)利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C(R 为 ABC 外接圆的半径)；ab=sinAsinB，ac=sinAsinC，bc=sinBsinC；化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：sin A=a2R，sin B=b2R，sin C=c2R(R为ABC外接圆的半径)；sinAsinB=ab，sinAsinC=ac，sinBsinC=bc.(2)利用余弦定理判断三角形形状的方法利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.先化角为边，再进行代数恒等变换(因式分解、配方等)，求出三边之间的数量关系,统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解判断三角形的形状时，经常用到以下结论ABC为直角三角形a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.ABC为锐角三角形a2+b2c2，且b2+c2a2，且c2+a2b2.ABC为钝角三角形a2+b2c2或b2+c2a2或c2+a2b2.若sin 2A=sin 2B，则A=B或A+B=2.6.求三角形面积的方法求三角形面积的方法(1)若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该角的两边长度，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代入海伦公式求面积总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键7.已知三角形面积求边、角的方法已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解48.解三角形中的最值或范围问题的解决方法：解三角形中的最值或范围问题的解决方法：解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性，单调性再结合角的范围确定最值或范围9.正弦定理之齐次式结构正弦定理之齐次式结构结构特点：每一项中都有边(a,b,c)或sin角(sinA,sinB,sinC)且次数一致，即可实现边和对应sin角的互化结构示例：(1)整式齐次式：边的齐次式12a+b=c12sinA+sinB=sinCab=c2sinAsinB=sin2Csin角的齐次式sin2A+sin2B-sin2C=-sinAsinBa2+b2-c2=-ab(2)分式齐次式：sinBsinA+sinC=ba+c注：在等式(不等式)或分式中出现边或内角的正弦同次，利用正弦定理可以实现边、内角的正弦转化。如果在等式(不等式)或分式中出现边或内角的正弦同次且为一次(求角)时，一般情况要化为角的正弦，如出现二次，一般情况要化为边，再利用余弦定理。10.拆角合角技巧拆角合角技巧1、化简后的式子同时含有A,B,C三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种合角如：sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinCcosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cosC拆角-拆单角(“单身狗角”)如：sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB注：(1)sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinCsinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinCcosC=cos(A+B)，cosB=cos(A+C)，cosA=cos(B+C)(2)sinA+B2=cosC2，cosA+B2=sinC2(3)ABC中sinA=sinB A=B A+B=(舍去)sin2A=sin2B 2A=2BA=B 2A+2B=A+B=2sinA=cosB，则A+B=2或A-B=211.余弦定理之不等式结构余弦定理之不等式结构5结构特点：已知三角形一角及其对边，求面积或周长的最值核心示例：已知ABC中角A=60，a=2,求b+c和bc的范围(最值)由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA(1)由上式可知：(b+c)2-3bc=43bc=(b+c)2-43b+c22,即(b+c)244解得b+c4，又由三角形两边之和大于第三边2b+c4(2)4=b2+c2-bc得bc+4=b2+c22bcbc412.解三角形中的常用术语 解三角形中的常用术语(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图).(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图).(3)方向角：相对于某一正方向的水平角.北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图).北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向.南偏西等其他方向角类似.(4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角).坡度指坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度，i=tan).坡度又称为坡比.13.测量距离问题的求解策略 测量距离问题的求解策略(1)确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另外三角形中求解；(2)确定选用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 14.测量物体高度的求解策略 测量物体高度的求解策略高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题15.测量角度问题的求解策略 测量角度问题的求解策略测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解解决角度问题的注意事项6(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角16.与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路 与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果【注意】做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题17.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤 解三角形与三角函数综合问题的一般步骤18.利用解三角形知识解决实际问题 利用解三角形知识解决实际问题利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解73.考点精析考点一考点一 利用正弦、余弦定理解三角形利用正弦、余弦定理解三角形(一一)求边或角求边或角1(2023春浙江杭州高三杭师大附中校考期中)ABC的三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，若cosB=45,c=5,a=3，则b=()A.58B.34C.24D.102(2023春江苏镇江高三江苏省扬中高级中学校联考期中)在ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C所对的边，若a=5,b=15,A=30，则边c=()A.5B.2 5C.2 5 或15D.5 或2 53(2023河南许昌实验中学校联考二模)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=6，a=3，c=4，则sinA=()A.34B.58C.38D.124(2023春重庆渝中高三重庆巴蜀中学校考期中)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是，a，b，c，a=2，b=6，B=2A，则cosA=()A.33B.32C.64D.635(2023春广东东莞高三东莞实验中学校考阶段练习)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=4，b=5，c=61，则角C=()A.120B.90C.60D.456(2023春天津和平高三校考阶段练习)在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，AC=2,3，则BD等于()A.1B.2C.3D.3(二二)判断三角形解的个数判断三角形解的个数7(2023全国高三专题练习)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则下列条件能确定三角形有两解的是()A.a=5,b=4,A=6B.a=4,b=5,A=4C.a=5,b=4,A=56D.a=4,b=5,A=38(2023广西柳州高三柳州高级中学校联考阶段练习)在ABC中，角A,B,C的边分别为a,b,c，知B=60，b=4，则下列判断中错误的是()A.若A=4，则a=4 63B.若a=92该三角形有两解C.ABC周长的最小值为12D.ABC面积的最大值4 39(2023贵州统考模拟预测)ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，A=60，a=3.若这个三角8形有两解，则b的取值范围是()A.3 b2B.3 b2C.1b2 3D.1b210(2023全国高三专题练习)设在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足a=3,b=m,B=6的ABC不唯一，则m的取值范围为()A.32,3B.(0,3)C.12,32D.12,1考点二考点二 正弦定理的应用正弦定理的应用11(2023北京统考模拟预测)已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且3acosB=bsinA，则B=()A.6B.4C.3D.212(2023四川高三统考对口高考)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sinA+cosA=0，a=2，b=2，则C=()A.12B.6C.3D.71213(2023江苏南京统考二模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若bsinA+B2=csinB，则角C的大小为()A.6B.3C.23D.5614(2023江西校联考模拟预测)在ABC 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=c 2cosB+1,sinC=35，则sinB=()A.1825B.2425C.-1825D.-242515(2023全国高三专题练习)在锐角ABC中，AB=3，4cosAsinB=1，若BC在AB上的投影长等于ABC的外接圆半径R，则R=()A.4B.2C.1D.1216(2023春广西高三校联考阶段练习)三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，直线PB与平面ABC所成角的大小为30，AB=2 3，ACB=60，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为()A.20 53B.4 55C.4 53D.153考点三考点三 余弦定理的应用余弦定理的应用17(2023春北京高三汇文中学校考期中)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2-c2-ac，则角B的大小是()A.45B.60C.120D.15018(2023河南统考模拟预测)ABC是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2-c2=4a2cosA-2accosB，则a等于()9A.2B.2 2C.3D.119(2023江西上饶高三校联考阶段练习)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=3，AB=4，ABC的面积为3 3，则AC等于()A.4B.2 7C.2 10D.1320(2023河南郑州模拟预测)在ABC中，满足9sin2A+6cosA=10，且AB=3，BC=2 6，则AC=()A.3B.4C.5D.621(2023全国高三专题练习)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，C=2 A+B，则b+ca=()A.75B.4C.53D.7422(2023春四川成都高三石室中学校考开学考试)在ABC中，BAC为锐角，AC=2 AB，且对于tR R，AB-tAC 的最小值为35BA，则cosABC=()A.34B.35C.-45D.-55考点四考点四 判断三角形的形状判断三角形的形状23(2023全国高三专题练习)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c-bcosA0，则ABC形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形24(2023全国高三专题练习)已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么ABC是()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形25(2023全国高三专题练习)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2=c2+a2-ca，且sinA=2sinC，则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形26(2023甘肃酒泉统考三模)在ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2b2=sinAcosBsinBcosA，则ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形27(2023全国高三专题练习)在ABC中，若bcosCccosB=1-cos2B1-cos2C，则ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形1028(2023贵州校联考一模)在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且满足b-a=2bsin2C2，则ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.直角三角形或等腰三角形D.等腰直角三角形考点五考点五 正余弦定理的综合应用正余弦定理的综合应用29(2023四川巴中统考一模)在ABC中，若2sin2A+cosA=2sin2B+2sin2C-cos B-C，则A=()A.6B.3C.23D.5630(2023秋河南南阳高三统考期末)在ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c，且sinA+sinBsinC=b-cb-a角A等于()A.6B.3C.23D.5631(2023秋广西钦州高三校考阶段练习)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinA+sinB=3sinC,ab=23c2，则C等于()A.30B.60C.120D.15032(2023河北高三学业考试)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sin(B-A)+sin(B+A)=3sin2A，且c=7，C=3，则a=()A.1B.2 213C.1或2 213D.21333(2023宁夏银川校联考二模)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知9sin2B=4sin2A，cosC=14，则ca=()A.114B.104C.113D.10334(2023全国高三专题练习)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若asinA=bsinB+c-bsinC，AD为ABC的角平分线，且AD=2 3，c=2b，则a的值为()A.2 3B.3 3C.4 7D.6 7考点六考点六 与角度、边长有关的最值问题与角度、边长有关的最值问题35(2023全国高三专题练习)已知在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，若a=c-2acosB.则角A的取值范围是()A.0,4B.0,6C.6,4D.4,336(2023河南开封高中校考模拟预测)若ABC的内角A，B，C满足2tanA+3tanB=4tanC，则cosC的最小值为()A.2 39B.33C.2 69D.631137(2023全国高三专题练习)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bcosA-acosB=a，则3sinB+2sin2A的取值范围是()A.0,3+1B.2,3+1C.1,3D.2,338(2023全国高三专题练习)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=2(a-bcosC).(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，求sin2A+sin2C的取值范围.39(2023春湖南高三统考阶段练习)在锐角ABC中，C=6，AC=4，则BC的取值范围是()A.0,8 33B.2 3,8 33C.2 3,+D.4,8 3340(2023全国高三专题练习)在ABC中，A=6,BC=2，则AC-3AB的最小值()A.-4B.-3C.2D.2 341(2023河南开封开封高中校考模拟预测)在锐角ABC中，BC=4，sinB+sinC=2sinA，则中线AD的取值范围是()A.2,2 3B.2,13C.2 3,4D.2 3,1342(2023河南校联考模拟预测)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，tanB+tanC=3cosAcosBcosC.(1)求A；(2)若a=6，求b+c的取值范围.43(2023广西南宁南宁三中校考模拟预测)在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若cosA=b-c2c，则2cc+b的取值范围是()A.23,1B.12,1C.1,+D.12,+44(2023黑龙江黑龙江实验中学校考二模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+sinBa-b=sinC b+c，若角A的内角平分线AD的长为3，则b+c的最小值为()A.12B.24C.27D.3645(2023全国高三专题练习)在ABC中，内角A，B，C的对边分别a，b，c，若a=2，2bcosA=2cosC+ccosA，则AM=12AB+AC，则 AM 的取值范围是()A.12,32B.32,32 C.1,3D.1,3考点七考点七 三角形面积的计算及应用三角形面积的计算及应用(一一)求三角形的面积求三角形的面积46(2023西藏拉萨统考一模)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ca=1+cosC2-cosA，12c=4，C=3，则ABC的面积为()A.2 3B.4 3C.12D.1647(2023四川成都统考二模)在ABC中，已知AD=2DC，AC=3BC=3，sinBDC=3sinBAC，则ABC的面积为()A.16B.13C.23D.5248(2023全国高三专题练习)已知ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若b2+c2=a2+3bc，且AB AC=2 3，则ABC的面积为()A.12B.32C.1D.2(二二)已知三角形面积求边、角已知三角形面积求边、角49(2023河南校联考模拟预测)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，A=60，且ABC的面积为3，若b+c=6，则a=()A.2 6B.5C.30D.2 750(2023全国高三专题练习)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为4 3，A=60，b2+c2=3bc，则a=()A.4B.4 2C.8D.8 251(2023四川成都川大附中校考二模)如图，在平面四边形ABCD中，CD=2，ADC=45，ACD=105，B=60，三角形ABC的面积为3，则AB+BC=()A.2B.4C.2+3D.2 352(2023青海校联考模拟预测)在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若ABC的面积是3 b2+c2-a24，则A=()A.3B.23C.6D.5653(2023全国高三专题练习)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2,b2,c2成等差数列，且ABC的面积为b23，则tanB=()A.12B.2C.43D.34(三三)三角形面积的最值问题三角形面积的最值问题54(2023四川宜宾统考三模)在ABC中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若b=2a，c=2，则ABC面积的最大值是()13A.2B.2C.43D.2355(2023春山西高三校联考阶段练习)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=1，asinA+2bsinB=sinC，则ABC面积的最大值是()A.19B.16C.23D.3456(2023宁夏中卫统考一模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.若ABC为锐角三角形，且a=3，则ABC面积最大为()A.92B.94C.3 34D.9 3457(2023四川宜宾统考三模)在ABC中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若ac=cosA2-cosC，c=2，则ABC面积的最大值是()A.2B.2C.43D.2358(2023山东济南统考三模)在ABC中，若 AB+AC=2,BC+BA=3，则ABC面积的最大值为()A.38B.34C.1D.5259(2023春河南高三校联考阶段练习)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a-3csinA=bsinB-csinC，若ABC外接圆的面积为，则ABC面积的最大值为()A.2-34B.2+34C.2-32D.2+32考点八考点八 三角形周长的计算及应用三角形周长的计算及应用(一一)求三角形的周长求三角形的周长60(2023春广西高三校联考阶段练习)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若2c=a,B=23，ABC的面积为2 33，则ABC的周长为()A.2 3+213B.2 3+2 73C.2 3+7D.2 3+2 21361(2023全国高三专题练习)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知ccosB+bcosC=2acosA，a=2，ABC的面积为3，则ABC的周长是()A.4B.6C.8D.1862(2023春安徽阜阳高三安徽省临泉第一中学校考专题练习)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，其中a=2,sinB(1+cosA)=sinA(2-cosB)(1)求ABC的周长；(2)求cosA的最小值.(二二)三角形周长的最值问题三角形周长的最值问题63(2023四川成都四川省成都市玉林中学校考模拟预测)在ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知bsin B+C=asinA+C2，且ABC的面积为3，则ABC周长的最小值为()14A.2 2B.6C.6 2D.6+2 364(2023宁夏石嘴山石嘴山市第三中学校考一模)在ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知bsin(B+C)=asinA+C2，且ABC的面积为2 3，则ABC周长的最小值为()A.2 2B.2 3C.6 2D.6+2 365(2023河南安阳安阳一中校联考模拟预测)在ABC中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC的平分线交AC于点D，BD=1且b=2，则ABC周长的最小值为()A.7B.2 2C.2+2 2D.4考点九考点九 解三角形的实际应用解三角形的实际应用(一一)测量距离问题测量距离问题66(2023广东广州统考模拟预测)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD=35m，ADB=135，BDC=DCA=15，ACB=120，则A、B两点的距离为m67(2023黑龙江哈尔滨哈尔滨市第六中学校校考二模)火箭造桥技术是我国首创在陡峭山区建桥的一种方法.由两枚火箭牵引两条足够长的绳索精准的射入对岸的指定位置，是建造高空悬索桥的关键.位于湖北省的四渡河大桥就是首次用这种技术建造的悬索桥.工程师们需要测算火箭携带的引导索的长度(引导索比较重，如果过长影响火箭发射)，已知工程师们在建桥处C看对岸目标点D的正下方地面上一标志物AB的高为h，从点C处看点A和点B俯角为，求一枚火箭应至少携带引导索CD的长度()A.hsincossin(-)B.hcoscossinC.hcoscossin(-)D.hcossincos68(2023全国高三专题练习)某轮船以V海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60度，轮船从A处向北航行30分钟后到达B处，测得油井P在南偏东15度，且BP=10 3 海里轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达C点(1)求轮船的速度V；(2)求P，C两点的距离1569(2023安徽合肥二模)如图，某地需要经过一座山两侧的D，E两点修建一条穿山隧道工程人员先选取直线DE上的三点A，B，C，设在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角为15，B处的俯角为45，C处的俯角为30，且测得AB=1.4km,BD=0.2km,CE=0.5km，试求拟修建的隧道DE的长70(2023春贵州黔东南高三校考阶段练习)如图，为了在两座山之间的一条河流上面修建一座桥，勘测部门使用无人机测量得到如下数据：无人机P距离水平地面的高度为h=100m，A，B两点的俯角分别为45，60则A，B两点间的距离为()A.50 3+2 33mB.50 3+33mC.100 3+33mD.100 3+2 33m71(2023山东济南统考三模)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知 无限发展 无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75，30，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45和60(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为米.16(二二)测量高度问题测量高度问题72(2023陕西西安统考一模)圣索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为6cm，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30，则小明估算索菲亚教堂的高度约为(取3 1.7)()A.24.2mB.28.2mC.33.5mD.46.4m73(2023浙江高三专题练习)喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得BCD=45，BDC=105，CD=100米，在点C处测得酒店顶端A的仰角ACB=28，则酒店的高度约是()(参考数据：2 1.4，6 2.4，tan280.53)A.91米B.101米C.111米D.121米74(2023全国高三专题练习)滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12m，在它们的地面上的点M(B，M，D三点共线)测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为15和60，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30，则小明估算滕王阁的高度为()(精确到1m)A.42mB.45mC.51mD.57m1775(2023河南校联考模拟预测)塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得BCD=30，BDC=45，CD=30米，在C点测得塔顶A的仰角为60，则塔的总高度约为()(参考数据：2 1.4，3 1.7)A.13米B.24米C.39米D.45米76(2023重庆统考模拟预测)如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60，又利用无人机在离地面高300m的M处(即MD=300)，观测到山顶C处的仰角为15，山脚A处的俯角为45，则山高BC=m(三三)测量角度问题测量角度问题77【多选】(2023全国高三专题练习)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75，距离为12 6nmile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30，距离为8 3nmile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60，则下列说法正确的是()A.A处与D处之间的距离是24nmileB.灯塔C与D处之间的距离是8 3nmileC.灯塔C在D处的西偏南60D.D在灯塔B的北偏西3078【多选】(2023全国高三专题练习)如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则下列结论正确的是()A.CAD=60B.