安徽省淮北市2024届高三第二次质量检测数学试题含答案.pdf

淮北市 2024 届高三第二次质量检测数学试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3.考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1.已知集合 U=1,2,3,4,5,A=1,2,B=1,3,5,则 AUB=A.2B.1,2,4C.1,2,3,5D.1,3,4,52.若复数 z=cos23+isin23(i 为虚数单位),则 z2=A.12?32iB.12?32iC.12+?32iD.12+?32i3.已知 a,b R,下列命题正确的是A.若 ab=1,则 a+b 2B.若1a bC.若 a b,则 ln(a b)0D.若 a b 0,则 a+1b b+1a4.函数 f(x)=sinx|cosx|的大致图象为A.B.C.D.5.某次考试一共 5 道判断题,有三名考生参加考试,每人均答对 4 道题,答错一道题,三人回答具体情况记录如下:题号12345考生甲TFFFT考生乙TTFTT考试丙FFFTT则这 5 道题的正确答案依次为A.FFFTTB.FTFTTC.TFFTFD.TFFTT数学试题第 1 页（共 4 页）#QQABIYSAggAIAIBAARgCQQnQCEGQkAEAAIoGwBAMsAIAyQFABCA=#6.若函数 f(x)=ax+lnex+1是偶函数(e 是自然对数的底数),则实数 a 的值为A.12B.12C.1eD.1e7.已知 A 为双曲线 E：x2a2y2b2=1(a 0,b 0)的右顶点,O 为坐标原点,B,C 为双曲线 E 上两点,且#AB+#AC=2#AO,直线 AB,AC 的斜率分别为 4 和12,则双曲线 E的离心率为A.?3B.?52C.?62D.28.当实数 t 变化时,函数 f(x)=|x2+t|,x 4,4 最大值的最小值为A.2B.4C.6D.8二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分9.已知数列an(,bn(的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若 an=2n 1,Tn=2n+1 2,则A.S10=100B.b10=1024C.1anan+1*的前 10 项和为919D.1bn*的前 10 项和为1023102410.已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，M,N 分别是棱 AB,CC1的中点，下列结论正确的是A.MN/AC1B.MN CD1C.棱 BC 的中点在平面 D1MN 内D.四面体 MNA1D1的体积为 111.如图所示的钟表中,时针初始指向“12”,每次掷一枚均匀的硬币,若出现正面则时针按顺时针方向旋转 150,若出现反面则时针按逆时针方向旋转 150,用 Xn表示掷 n 次后时针指向的数字,则A.EX1=6B.PX2=12=14C.PX7=7=35128D.EX8 6（第 11 题图）（第 14 题图）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分12.已知向量 a=(1,2),b=(1,t),若 2 a+b 与 a+2b 共线,则实数 t=13.在 33 的方格中,每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一,若每个 22 的方格中的四个小方格的颜色都不相同,则满足要求的不同涂色方法的种数为14.在等腰梯形 ABCD 中,AB/CD,DA DB,若 AB=4,则梯形周长的最大值为,梯形面积的最大值为数学试题第 2 页（共 4 页）#QQABIYSAggAIAIBAARgCQQnQCEGQkAEAAIoGwBAMsAIAyQFABCA=#四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(本题满分 13 分)记 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cb=2csin2A2（）试判断 ABC 的形状;（）若 c=1,求 ABC 周长的最大值.16.(本题满分 15 分)如图,在长方体 ABCD A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=5,点 E,F 分别在 BB1,DD1上,且 AE A1B,AF A1D（）求证:A1C 平面 AEF;（）求平面 AEF 与平面 D1B1BD 夹角的余弦值.(第 16 题图)17.(本题满分 15 分)塔山石榴,产自安徽省淮北市烈山区塔山,种植迄今已有千年历史.为了进一步发展高效农业,丰富石榴品种,壮大石榴产业,当地政府委托某种业科研公司培育了 A,B 两种新品石榴,将它们分别种植在两块土质和大小相同的试验田内,并从收获的果实中各随机抽取 300 个,按质量(单位:g)将它们分成 4 组:50,70),70,90),90,110),110,130),得到如下频率分布直方图:（）分别估计 A,B 品种石榴单个果实的质量;（）经筛选检测，除去坏果和瑕疵果，两种石榴的合格率如下表:50,70)70,90)90,110)110,130A 品种合格率0.70.80.70.8B 品种合格率0.70.80.80.9已知 A 品种混放在一个库房,B 品种混放在另一个库房,现分别从两个库房中随机各抽取 2 个石榴,其中合格石榴的总个数记为 X,求 X 的分布列及数学期望.数学试题第 3 页（共 4 页）#QQABIYSAggAIAIBAARgCQQnQCEGQkAEAAIoGwBAMsAIAyQFABCA=#18.(本题满分 17 分)如图,已知椭圆：x2a2+y2b2=1,(a b 0)的左右焦点为 F1,F2,短轴长为 6,A 为 上一点,G1,12为 AF1F2的重心.（）求椭圆 的方程;（）椭圆 上不同三点 B,C,D,满足 CF2 OF2,且|BF2|,|CF2|,|DF2|成等差数列,线段 BD 中垂线交 y 轴于 E 点,求点 E 纵坐标的取值范围;（）直线 l：y=kx 2 与 交于 M,N 点,交 y 轴于 P 点,若#PM=#PN,求实数 的取值范围.(第 18 题图)19.(本题满分 17 分)已知函数 f(x)=acos2x+x2 a，其中 a R（）若 a=1,记 g(x)=f(x),试判断 g(x)在(0,2)上的单调性;（）求证:当 a 12时，f(x)0;（）若对 x R,不等式 cos(2sinx)12f(x)+a 12x2恒成立，求实数 a 的取值范围.数学试题第 4 页（共 4 页）#QQABIYSAggAIAIBAARgCQQnQCEGQkAEAAIoGwBAMsAIAyQFABCA=#第页1 1淮北市淮北市 20242024 届高三第二次质量检测届高三第二次质量检测 数学参考答案数学参考答案一、选择题一、选择题二、填空题二、填空题12.12.213.13.7214.14.10，33三、解答题三、解答题15.15.(本小题满分本小题满分 1313 分分)解：解：（）注意到22 sin2Acbc，得2sin22Acbc，得1 cos22Acbc，即cosbAc余弦定理得2222bcabbcc，即222abc，2C，所以ABC是直角三角形.7 分（）由（）知，直角三角形ABC中，sinaA，cosbA所以ABC周长为1 sincosAA12sin()4A，(0,)2A所以当4A时，即ABC为等腰直角三角形，周长有最大值为21.13 分16.16.(本小题满分本小题满分 1 15 5 分分)解解：（）注意到1AEAB，AEBC，所以AE 平面1ABC，所以1AEAC同理，1AFAC所以，1AC 平面AEF.7 分（）如图所示，建立空间直角坐标系结合题设，得1(3,0,5)A，(0,4,0)C，1(0,0,5)D，(3,4,0)B题号题号1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111答案答案BADCDBADABDBDACD#QQABIYSAggAIAIBAARgCQQnQCEGQkAEAAIoGwBAMsAIAyQFABCA=#第页2 2结合（）知，平面平面AEF的法向量为1(3,4,5)AC ；注意到1(0,0,5)DD ，(3,4,0)DB ，设平面11D B DB的法向量为(,)nx y z，则50340zxy，令4x ，则3y，所以(4,3,0)n 令平面AEF与平面11D B BD夹角为，则11|12 2cos25|AC nACn.15 分17.17.(本小题满分本小题满分 1 15 5 分分)解解：（）由频率分布直方图得样本中A品种石榴单个果实质量的估计值为：0.005 20 600.015 20 800.020 20 1000.010 20 12094Axg，样本中B品种石榴单个果实质量的估计值为：0.005 20 600.020 20 800.020 20 1000.005 20 12090Bxg.4.4 分分（）设A：从A品种石榴中任取1个为合格品；B：从B品种石榴中任取1个为合格品；则：()0.005 20 0.70.015 20 0.80.020 20 0.70.010 20 0.80.75P A；()0.005 20 0.70.020 20 0.80.020 20 0.80.005 20 0.90.8P B 由题意得0,1,2,3,4X，则22(0)(1 0.75)(1 0.8)0.0025P X，122122(1)0.75(1 0.75)(1 0.8)(1 0.75)(1 0.8)0.80.03 5P XCC，22211222(2)0.75(1 0.8)0.75(1 0.75)0.8(1 0.8)P XCCC2222(1 0.75)0.80.1825C，2211222222(3)0.750.8(1 0.8)0.75(1 0.75)0.80.42P XCCCC，22(4)0.750.80.36P X 所以X的分布列为X01234P P0.00250.0350.18250.420.36所以()0 0.0025 1 0.0352 0.18253 0.424 0.363.1E X .1 15 5 分分18.18.(本小题满分本小题满分 1 17 7 分分)#QQABIYSAggAIAIBAARgCQQnQCEGQkAEAAIoGwBAMsAIAyQFABCA=#第页3 3解解:（I I）因)21,1(G为21FAF的重心，所以)23,3(A所以1499222ba又短轴长为 6，所以3b，代入解得122a所以椭圆方程为：191222yx.4 4 分分（IIII）设BDyxDyxB),(),(2211中点),(00yxE则21212)3(yxBF，又19122121yx，消去1y并整理得122132xBF同理222132xDF,又2332CF由题意得23322132213221xx即3)(21210 xxx.8 8 分分因DB,在上，易得091222212221yyxx化简得002121212143129yxyyxxxxyy所以线段BD中垂线的斜率33434000yxyk线段BD中垂线方程：)3(33400 xyyy，令0 x得0003134yyyyE又线段BD中点在椭圆内，故2332330y所以)23,23(Ey.1111 分分（IIIIII）设),(),(4433yxNyxM,由PNPM得043，xx#QQABIYSAggAIAIBAARgCQQnQCEGQkAEAAIoGwBAMsAIAyQFABCA=#第页4 4联立2191222kxyyx消y整理得02016)34(22kxxk得3420,3416243243kxxkkxx所以)34(564)(22122432433443kkxxxxxxxx当0k时，1当0k时，)0,516()344816(51)34(56421222kkk解得515.1717 分分19.19.(本小题满分本小题满分 1 17 7 分分)解解：（I）由1a，可知2()cos21f xxx，()()2sin222(sin2)g xfxxxxx()2(1 2cos2)g xx.2.2 分分当(0,)6x时，()0g x，()g x是减少的；当(,)6 2x 时，()0g x，()g x是增加的.5 5 分分故()g x在(0,)6单调递减，在(,)6 2 单调递增；6 6 分分（II）注意到2()(cos21)f xaxx是偶函数，故只需证明当0,)x时，()0f x 当0a 时，显然()0f x.8.8 分分当102a时，()2(sin2)fxxax令()sin2g xxax，则()1 2 cos2g xax 令()1 2 cos2h aax，则()h a在1(0,2上是单调函数，而1(0)1,()1 cos202hhx 故()0h a，即()0g x，于是()g x在0,)单调递增，又(0)0g，可知()0g x 于是()f x在0,)单调递增，又(0)0f，可知()0f x.1111 分分（法法 2 2）注意到22()2 sinf xaxx 是偶函数，故只需证明当0,)x时，()0f x 当0a 时，显然()0f x#QQABIYSAggAIAIBAARgCQQnQCEGQkAEAAIoGwBAMsAIAyQFABCA=#第页5 5当102a时，2222()2 sinsinf xaxxxx 而22sin0sin0 xxxx当1x 时，上式显然成立；当01x时，上式等价于sin0 xx令()sinxxx，则()1 cos0 xx，即()x在(0,1)单调递增；()(0)0 x（III）题设可化为：2cos(2sin)cosxax对x R恒成立令2sin xt，则22t ，条件进一步化为：对任意22t 有2cos(1)4tta恒成立.1212 分分注意到0t 时，1a.1313 分分另一方面，当1a 时，22(1)cos1cos44ttatt，记2()1cos,(22)4tr ttt ，显然函数()r t为偶函数，故考虑02t 时情形()sin2tr tt，1()cos2r tt，令()0r t 得3t于是()r t在(0,)3上单调递增，在(,2)3上单调递减；而(0)0,()0,(2)1 sin203rrr ，故必然存在实数0(,2)3t使得：当0(0,)tt时，()0r t，当0(,2)tt时，()0r t 于是()r t在0(0,)t上单调递增，在0(,2)t上单调递减；验证(0)0,(2)cos20rr 知：对任意02t，()0r t 恒成立。因此2(1)cos04tat，即2cos(1)4tta综上，实数a的取值范围为1,).1717 分分（法 2）题设可化为：2cos(2sin)cosxax对x R恒成立令2sin xt，则22t ，条件进一步化为：对任意22t 2cos(1)4tta（*）恒成立注意到cosyt与214ty 都是偶函数，故只需考虑0,2t情形即可。当$t=2$时，结论显然。当0,2)t时，（*）化为24cos4tat#QQABIYSAggAIAIBAARgCQQnQCEGQkAEAAIoGwBAMsAIAyQFABCA=#第页6 6令24cos()4tm tt，则2224(4)sin2 cos()(4)ttttm tt令2()(4)sin2 coss ttttt，则2()(2)coss ttt(i)当,2)2t时，有240,sin0,cos0ttt,于是()0s t(ii)当0,)2t时，有0,2)t，()0s t，()s t单调递减；(2,)2t，()0s t，()s t单调递增.而2(0)0,()4024ss，故()0s t进一步，()0m t,()m t在0,2)上单调递减，于是得到：max()(0)1am tm即为a的取值范围。#QQABIYSAggAIAIBAARgCQQnQCEGQkAEAAIoGwBAMsAIAyQFABCA=#