2024年初二下册数学期末考试专项复习二次根式（提高）知识讲解.doc

2024年初二下册数学期末考试专项复习二次根式（提高）知识讲解【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： 0，（0），（0），（0），并利用它们进行计算和化简【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，式子(a0)叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数要点诠释：二次根式的两个要素：根指数为2；被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a，a+b，ab，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.要点二、二次根式的性质1.0，（0）；2. （0）；3.要点诠释：1.二次根式(a0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即.2.与要注意区别与联系：（1）的取值范围不同，中0，中为任意值.（2）0时，=；<0时，无意义，=.【典型例题】类型一、二次根式的概念 1（2015启东）若x、y为实数，且，求的值【答案与解析】y=，x24=0，x+20，解得：x=2，y=，【总结升华】主要考查了二次根式有意义的条件，得出x，y的值是解题关键举一反三：【变式】方程，当时，的取值范围是（ ）.A B.2 C. D.2【答案】C类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x的取值范围： (1)； (2). 【答案与解析】解：(1) (2) 【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【高清课堂：二次根式及其乘除法（上）例1(1)(2)】【变式1】x取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）y=,_；（2）y=，_. 【答案】（2）【变式2】问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2） 【答案】解：（1） = =；（2） = =3.（2016春濮阳期末）先阅读，后解答：（1）由根式的性质计算下列式子得：=3，=，=，=5，=0由上述计算，请写出的结果（a为任意实数）（2）利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果：= ；化简：（x2）= （3）应用：若+=3，则x的取值范围是 【思路点拨】（1）将a分为正数、0、负数三种情况得出结果；（2）当a=3，140时，根据（1）中的结论可知，得其相反数a，即得3.14；先将被开方数化为完全平方式，再根据公式得结果；（3）根据（1）式得：+=|x5|+|x8|，然后分三种情况讨论：当x5时，当5x8时，当x8时，分别计算，哪一个结果为3，哪一个就是它的取值【答案与解析】解：（1）=|a|=；（2）=|3.14|=3.14，（x2），=，=|x2|，x2，x20，=2x；故答案为：3.14，2x；（3）+=|x5|+|x8|，当x5时，x50，x80，所以原式=5x+8x=132x当5x8时，x50，x80所以原式=x5+8x=3，当x8时，x50，x80，所以原式=x5+x8=2x13+=3，所以x的取值范围是5x8，故答案为：5x8【总结升华】本题考查了二次根式的性质和化简，明确二次根式的两个性质：（）2=a （a0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）；=|a|=；尤其是第2个性质的运用，注意被开方数是完全平方式时，如第（3）小题，要分情况进行讨论【高清课堂：二次根式及其乘除法（上）例4】4.已知为三角形的三边，则= 【思路点拨】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边【答案】【解析】为三角形的三边, 即原式=【总结升华】重点考查二次根式的性质：的同时，复习了三角形三边的性质.二次根式（提高）巩固练习 【巩固练习】一.选择题1.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( ) . Ax0 Bx0 Cx 0 Dx0且x 12.使式子有意义的未知数x有( )个.A0 B1 C2 D无数3.（2016春岳池县期末）下列各式中，二次根式的个数共有（）A1个 B2个 C3个 D4个4. 已知a,b,c在数轴上的位置如右图所示，则代数式 ( ) . A. B. C. D. 5.（2015成都）已知a、b都是实数，且b，化简1的结果是（）.A2 B2 C1 D36.将中的移到根号内，结果是（ ）.A B. C. D.二.填空题7.当x_时，式子没有意义.8.若，则_；若，则_.9.已知，求的值为_.10.若，则化简的结果是_.11. 观察下列各式：，,请你探究其中规律,并将第n(n1)个等式写出来_.12.（2015合肥）已知0a1，化简=_三解答题13. 已知，求的值.14.（2016秋娄星区期末）先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号例如：=|1+|=1+解决问题： 在括号内填上适当的数：=| |= 根据上述思路，试将予以化简15.（2015春武昌区期中）已知a、b、c满足+|ac+1|=+，求a+b+c的平方根【答案与解析】一、选择题1【答案】D.【解析】由二次根式和分式的性质可知：被开方数要大于等于0，分母不等于0，即x0，所以选D.2【答案】B.3【答案】A.【解析】解：是二次根式，只有x0时是二次根式，只有x0时是二次根式，不是二次根式，不是二次根式，故二次根式的个数共有，一共有1个故选：A4【答案】D.5【答案】D.【解析】 与有意义，a=2，b1，1b0，原式=+1=（b1）+1=2+1=3故选D6【答案】B. 二、填空题7.【答案】或x<1.【解析】因为x-10才有意义，所以x<1时无意义；因为，所以，即无意义时x=10.8.【答案】m0；.9.【答案】.【解析】 即 ，即原式=.10.【答案】3【解析】因为原式=.11【答案】 12【答案】2；【解析】0a1，原式=（）=2三、解答题13.【答案与解析】解：因为，所以2x-10,1-2x0，即x=，y=，则.14.【答案与解析】 解：=|3+|=3+，故答案为：3，3+，3+；=|5|=5 15.【答案与解析】解：由题意得，bc0且cb0，bc且cb，b=c，等式可变为+|ab+1|=0，由非负数的性质得，解得，c=2，a+b+c=1+2+2=5，a+b+c的平方根是±二次根式的乘除（基础）知识讲解【学习目标】1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2.了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】要点一、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：（0，0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释： (1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：0，0，.0）. (3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根:（0，0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足0，0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)与都是的算术平方根；(3)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.要点二、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，0，>0，因为b在分母上，故b不能为0；(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根:（0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：与都是的算术平方根.要点三、最简二次根式（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含有分母； （3）分母中不含有根号. 满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除法1(1)×； (2)×； (3)； (4). 【答案与解析】解：(1)×=；(2)×=；(3)=2； (4)=×2=2.【总结升华】直接利用，计算即可举一反三：【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)； (2)×=4××=4×=4=8.【答案】解：(1)不正确改正：=×=2×3=6；(2)不正确改正：×=×=4.2.（2016春德州校级月考）计算：【思路点拨】直接利用二次根式乘除运算法则直接求出即可【答案与解析】解：=3×（）×2=×5=【总结升华】此题主要考查了二次根式的乘除运算，熟练应用运算法则是解题关键类型二、最简二次根式3. 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).【思路点拨】最简二次根式要满足三个条件：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含有分母；（3）分母中不含有根号.【答案与解析】解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的三个条件，不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.举一反三：【变式1】化简：（1）； 【高清课堂：二次根式及其乘除法（下）例6（12）】（2）.【答案】(1)原式=； （2） 原式=.【变式2】（2015春河北月考）在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简（1）；（2） ；（3） ；（4）；（5）【答案】解：（1）=，含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式（2）=，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；（3），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它不是最简二次根式；（4）=，在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式；（5）=，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式4.已知0<<,化简.【答案与解析】解：原式 【总结升华】成立的条件是>0；若<0,则.二次根式的乘除（基础）巩固练习【巩固练习】一. 选择题1.计算的结果是（ ）.A B. C. D.2.当<0, <0时，化简得（ ）.A B.- C. D. 3.在中，最简二次根式有（ ）.A1个 B.2个 C.3个 D.4个 4. 化简二次根式的正确结果是（ ） A B C D5.（2016富顺县校级模拟）下列根式中，属于最简二次根式的是（）A B C D6. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ）.A. B. C. D. 二. 填空题7.计算：=_.8.（2015齐河县二模）化简：= 9计算：(1)=_； (2)=_.10.化简：（1）=_,(2)=_. 11.若=0，则=_.12.有如下判断：（1） (2)=1 (3)(4) （5） （6）成立的条件是同号。其中正确的有_个.三解答题13.已知长方体的体积V=，长cm，宽cm，求长方体的高.14. （2016春潮南区月考）化简：4x215.先化简，再求值：，其中.【答案与解析】一、选择题1【答案】C2【答案】C【解析】原式=.3【答案】A 4【答案】A【解析】.5【答案】B；【解析】解：A、被开方数中包含分母，不属于最简二次根式，不符合题意；B、被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，属于最简二次根式，符合题意；C、被开方数能继续开方，不属于最简二次根式，不符合题意；D、被开方数中包含分母，不属于最简二次根式，不符合题意；故选B6【答案】D 【解析】 因为，是被开方数，所以y<0,x<0. 所以原式=.二、填空题7.【答案】 【解析】原式=.8.【答案】32；【解析】解：=32，故答案为329.【答案】 （1）；（2）610.【答案】 (1) ;(2) 【解析】（1）原式=; (2)原式=.11.【答案】 -1【解析】因为=0，所以2-x0，x-20，所以x=2;则原式=.12【答案】 2个【解析】只有（1），（3）正确.三、解答题13.【解析】解：因为 V=，所以= = .14.【解析】 解：4x2=4x2÷12×3=x2=xy15.【解析】解： 原式=. 当时，原式=.