2024年初二上册数学期末考试专项复习19勾股定理（提高）知识讲解.doc

2024年初二上册数学期末考试专项复习勾股定理（提高）【学习目标】1掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题【要点梳理】【高清课堂 勾股定理 知识要点】要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系 （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的（3）理解勾股定理的一些变式：， 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形 图（1）中，所以 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形 图（2）中，所以方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形 ，所以要点三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题；3 与勾股定理有关的面积计算；4勾股定理在实际生活中的应用【典型例题】类型一、与勾股定理有关的证明1、在ABC中，AB=AC，D是BC延长线上的点，求证：【答案与解析】证明：作等腰三角形底边上的高AE AB=AC，AEBCBE=EC,AEB=AEC=90° 【总结升华】解决带有平方关系的问题，关键是找出直角三角形，利用勾股定理进行转化，若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再利用勾股定理解题类型二、与勾股定理有关的线段长2、如图，在等腰直角三角形ABC中，ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长【答案与解析】解：连接BD，等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，BDAC（三线合一），BD=CD=AD，ABD=45°，C=45°，ABD=C，又DE丄DF，FDC+BDF=EDB+BDF，FDC=EDB，在EDB与FDC中，EDBFDC（ASA），BE=FC=3，AB=7，则BC=7，BF=4，在RtEBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，EF=5【总结升华】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的长举一反三：【变式】（2015春天津校级期中）如图，C=30°，PAOA于A，PBOB于B，PA=2，PB=11，求OP的长【答案】解：PAOA，C=30°，PC=2PA=4，BC=BP+PC=11+4=15，PBOB，C=30°，设OB=x，则OC=2x，在RtBOC中，由勾股定理得：x+15=（2x），解得，x=5，即OB=5，OP=14类型三、与勾股定理有关的面积计算3、（2015丰台区二模）问题背景：在ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，求这个三角形的面积小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示这样不需要求出ABC的高，借用网格就能计算出它的面积（1）请你直接写出ABC的面积 ；思维拓展：（2）如果MNP三边的长分别为，2，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点MNP，并直接写出MNP的面积【思路点拨】（1）根据图形得出SABC=S矩形MONCSCMASAOBSBNC，根据面积公式求出即可；（2）先画出符合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可【答案与解析】解：（1）ABC的面积是4.5，理由是：SABC=S矩形MONCSCMASAOBSBNC=4×3×4×1×2×1×3×3=4.5，故答案为：4.5；（2）如图2的MNP，SMNP=S矩形MOABSMONSPANSMBP=5×3×5×1×2×4×3×1=7，即MNP的面积是7【总结升华】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出格点三角形，难度不是很大举一反三：【变式】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、3、4，则最大正方形E的面积是（）A17B36C77D94【答案】C类型四、利用勾股定理解决实际问题4、（2016贵阳模拟）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【思路点拨】（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可；（2）利用勾股定理直接得出BC的长，进而得出答案【答案与解析】解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB=24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA=20米，BC=15（米），则：CC=157=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键举一反三：【变式】如图，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(取3)【答案】解：如图所示，由题意可得： ， 在RtAAB中，根据勾股定理得： 则AB15 所以需要爬行的最短路程是15勾股定理的逆定理（提高）【学习目标】1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.【要点梳理】【高清课堂 勾股定理逆定理 知识要点】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如）.（2） 验证与是否具有相等关系.若，则ABC是C90°的直角三角形；若，则ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： 3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理1、（2016春咸丰县月考）如图所示，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，BPQ的面积为多少 cm2.【思路点拨】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形再求出3秒后的BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解【答案与解析】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，3x+4x+5x=36，得x=3，AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形，过3秒时，BP=93×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），SPBQ=BPBQ=×（93）×6=18（cm2）故过3秒时，BPQ的面积为18cm2【总结升华】本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合求解由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键隐含了整体的数学思想和正确运算的能力2、如图，点D是ABC内一点，把ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到CBE，若AD=4，BD=3，CD=5（1）判断DEC的形状，并说明理由；（2）求ADB的度数【思路点拨】把ABD绕点B顺时针方向旋转60°，注意旋转只是三角形的位置变了，三角形的边长和角度并没有变，并且旋转的角度60°，因此出现等边BDE，从而才能更有利的判断三角形的形状和求ADB的度数【答案与解析】解：（1）根据图形的旋转不变性，AD=EC，BD=BE，又DBE=ABC=60°，ABC和DBE均为等边三角形，于是DE=BD=3，EC=AD=4，又CD=5，DE2+EC2=32+42=52=CD2；故DEC为直角三角形（2）DEC为直角三角形，DEC=90°，又BDE为等边三角形，BED=60°，BEC=90°+60°=150°，即ADB=150°【总结升华】此题考查了旋转后图形的不变性、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，是一道好题解答（2）时要注意运用（1）的结论举一反三：【变式】如图所示，在ABC中，已知ACB90°，ACBC，P是ABC内一点，且PA3，PB1，PCCD2，CDCP，求BPC的度数【答案】解：连接BD CDCP，且CDCP2， CPD为等腰直角三角形，即CPD45° ACP+BCPBCP+BCD90°， ACPBCD CACB， CAPCBD(SAS)， DBPA3在RtCPD中，又 PB1，则 ， ， DPB为直角三角形，且DPB90°， CPBCPD+DPB45°+90°135°类型二、勾股定理逆定理的应用3、已知a、b、c是ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索ABC的形状【答案与解析】解：令=ka+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，a=3k4，b=2k3，c=4k8又a+b+c=12，（3k4）+（2k3）+（4k8）=12，k=3a=5，b=3，c=4ABC是直角三角形【总结升华】此题借用设比例系数k的方法，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状举一反三：【变式】（2015春渝中区校级月考）ABC的三边a、b、c满足|a+b50|+（c40）2=0试判断ABC的形状是 【答案】直角三角形解：|a+b50|+（c40）2=0，解得，92+402=412，ABC是直角三角形故答案为直角三角形4、如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？【答案与解析】解： ， ABC为直角三角形 ABC90°又BDAC，可设CD， 得，解得 0.85(h)51(分)所以走私艇最早在10时41分进入我国领海【总结升华】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件勾股定理的逆定理（基础）【学习目标】1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.【要点梳理】【高清课堂 勾股定理逆定理 知识要点】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（3） 首先确定最大边（如）.（4） 验证与是否具有相等关系.若，则ABC是C90°的直角三角形；若，则ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： 3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（n1，是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理1、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形（1）7，24，25；（2），1，；（3），()；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形【答案与解析】解：（1） ， 由线段组成的三角形是直角三角形 （2） ， 由线段组成的三角形不是直角三角形 （3） ， ， 由线段组成的三角形是直角三角形【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证与是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形举一反三：【变式】（2015春安陆市期中）发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25其中能作为直角三角形的三边长的有（）A.1组 B.2组 C.3组 D.4组【答案】C.解：82+152=172，能组成直角三角形；52+122=132，能组成直角三角形；122+152202，不能组成直角三角形；72+242=252，能组成直角三角形故选C2、（2016春丰城市期末）如图，已知四边形ABCD中，B90°，AB3，BC4，CD12，AD13，求四边形ABCD的面积【思路点拨】由AB3，BC4，B90°，应想到连接AC，则在RtABC中即可求出ABC的面积，也可求出线段AC的长所以在ACD中，已知AC，AD，CD三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积【答案与解析】解：连接AC，在ABC中，因为B90°，AB3，BC4，所以，所以AC5，在ACD中，AD13，DC12，AC5，所以，即所以ACD是直角三角形，且ACD90°所以【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解，本题是勾股定理及逆定理的综合考察类型二、勾股定理逆定理的应用3、已知：为的三边且满足，试判断的形状.【答案与解析】解：，ABC是直角三角形.【总结升华】此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把题目中已知的条件等式进行变形，从而得到三角形的三边关系.对条件等式进行变形常用的方法有配方法，因式分解法等.举一反三：【变式】请阅读下列解题过程：已知a、b、c为ABC的三边，且满足a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC的形状解：a2c2b2c2=a4b4， 第一步c2（a2b2）=（a2+b2）（a2b2）， 第二步c2=a2+b2， 第三步ABC为直角三角形 第四步问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：_；（2）错误的原因是：_；（3）本题正确的结论是：_【答案】解：（1）第三步；（2）方程两边同时除以（a2b2）时，没有考虑（a2b2）的值有可能是0；（3）c2（a2b2）=（a2+b2）（a2b2）c2=a2+b2或a2b2=0a2b2=0a+b=0或ab=0a+b0c2=a2+b2或ab=0c2=a2+b2或a=b该三角形是直角三角形或等腰三角形4、（2015秦皇岛校级模拟）如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是第九十四中学，AP=160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？【思路点拨】（1）过点A作AEMN于点E，由点A到铁路MN的距离为80米可知AE=80m，再由火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB=AC=100m，在RtABE中利用勾股定理求出BE的长，进而可得出BC的长，根据火车的速度是180千米/时求出火车经过BC是所用的时间即可【答案与解析】解：（1）会受到影响过点A作AEMN于点E，点A到铁路MN的距离为80米，AE=80m，周围100米以内会受到噪音影响，80100，学校会受到影响；（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB=AC=100m，在RtABE中，AB=100m，AE=80m，BE=60m，BC=2BE=120m，火车的速度是180千米/时=50m/s，t=2.4s答：学校受到影响的时间是2.4秒【总结升华】题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解