2024届吉林省长春市东北师范大学附属中学高三下第五次模拟考试数学试题含答案.pdf

数学试卷 第 1 页（共 6 页）数学试卷 第 2 页（共 6 页）20232024 学年下学期学年下学期 东北师大附中东北师大附中 高三年级（数学）科试卷高三年级（数学）科试卷 第第五五次模拟考试次模拟考试 满分：150 分 考试时长：120 分钟 注意事项：1答题前考生需将姓名、班级填写在答题卡指定位置上，并粘贴好条形码。2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。3回答非选择题时，请使用 0.5 毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试卷上书写的答案无效。4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、一、单选单选题：本题共题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1在复平面内，2i33izz+=+，其中i是虚数单位，z是z的共轭复数，则复数z的对应点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2已知直线m平面，直线n平面，则“mn”是“”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知两个向量，a b满足|1=a bb，|3=ab，则|=aA1 B2 C3D24ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，3,1ab=，2AB=，则c=A2B3C2D1 5已知函数()sin()f xx=+，如图,A B是直线12y=与曲线()yf x=的两个交点，6AB=，13()124f=，则5()6f=A 0 B12C32 D326 过抛物线22(0)ypx p=焦点的直线l交抛物线于,A B两点，已知|8AB=，线段AB的垂直平分线交x轴于点(6,0)M，则p=A2 B4 C6 D8 7如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为1S、2S、3S，则它们的大小关系为 A123SSSB321SSSC312SSSD231SSS8已知0.1e1a=，221b=，ln1.1c=，则 Abac Bcab Ccba D bca 二、二、多选多选题：本题共题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得分，部分选对的得部分部分分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9若集合ABBC=，则一定有 ACB BBC CBA D AB 10已知函数12()21xxf x=+，则下列说法正确的是 A函数()f x单调递增 B函数()f x值域为(0,2)C函数()f x的图象关于(0,1)对称 D函数()f x的图象关于(1,1)对称 11 已知1F，2F分别为双曲线的左、右焦点，过1F的直线交双曲线左、右两支于,A B两点，若2ABF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为A 21+B 3C52 2+D 52 2数学试卷 第 3 页（共 6 页）数学试卷 第 4 页（共 6 页）三三、填空题：本题共、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12已知直线:21l ykxk=与圆22:5C xy+=相切，则k=13春暖花开季节，小王、小李、小张、小刘四人计划“五一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖、净月、莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为 14 记,max()xa bf x表示()f x在区间,a b上的最大值，则20,1max|xxxc+取得最小值时，c=四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤分解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤15（本小题满分 13 分）如图，在正三棱柱111ABCABC中，12AAAB=，M为1BB中点，点N在棱11AB上，112ANNB=（1）证明：MC平面1NAC；（2）求锐二面角1MACN的余弦值 16（本小题满分 15 分）某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了 20 名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表 1：（1）数学 120 分及以上记为优秀，物理 80 分及以上记为优秀 （i）完成如下列联表；（ii）依据0.01=的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？（2）从这 20 名同学中抽取 5 名同学的成绩作为样本，如表 2：表 2：数学成绩 130 110 100 85 75物理成绩 90 69 67 70 54 如图所示：以横轴表示数学成绩、纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表 2 中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关（i）求样本相关系数r；（ii）建立物理成绩y关于数学成绩x的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩 120 的同学物理成绩大约为多少？(四舍五入取整数)参考公式：（1）样本相关系数12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy=（2）经验回归方程yabx=+:121()()()niiiniixxyybxx=，aybx=（3）22()()()()()n adbcab cd ac bd=+，其中nabcd=+临界值表：数学成绩 物理成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 不优秀 合计 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A BC A1 B1C1N M 数学试卷 第 5 页（共 6 页）数学试卷 第 6 页（共 6 页）17（本小题满分 15 分）已知1a，函数()ln1af xaxxx=+（1）当1a=时，求()f x的最小值；（2）若1x 时，()0f x 恒成立，求a的取值范围18（本小题满分 17 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点(2,1)M，离心率为32不过原点的直线:l ykxm=+交椭圆C于,A B两点，记直线MA的斜率为1k，直线MB的斜率为2k，且1214k k=（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线l的斜率k为定值；（3）求MAB面积的最大值19（本小题满分 17 分）对于数列na，称na为数列na的一阶差分数列，其中1nnnaaa+=（nN）.对正整数k（2k），称kna为数列na的k阶差分数列，其中1()kknnaa=111kknnaa+.已知数列na的首项11a=，且12 nnnaa+为na的二阶差分数列（1）求数列na的通项公式；（2）设21(2)2nbnn=+，nx为数列 nb的一阶差分数列，对nN，是否都有1Cniinnixa=成立？并说明理由；（其中Cin为组合数）（3）对于（2）中的数列nx，令2nnxxntty+=，其中122t.证明：2122nnniiy=-第1页-（共 3 页）高高三三年级年级第第五五次模拟考试次模拟考试数学参考答案数学参考答案 一一、单项单项选择题选择题 二二、多项多项选择题选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 D A D A C B B D 三三、填空题填空题 1221323 14 18四四、解答题解答题 15.（本小题满分 13 分）【解析】方法 1：（1）设11ACACD=，则D为1AC中点，1AMANE=，连DE，延长AN交1BB延长线于F，由112ANNB=得112AAB F=，1AAMF=，1AEEM=，E为1AM中点，MCDE，DE 平面1NAC，MC 平面1NAC，MC平面1NAC，（2）因为1AC 平面1MAC，1ACDE，1ACDM，所以MDE即为二面角1MACN的平面角，1522DEMC=，3DM=，11522EMAM=，15cos5MDE=，二面角1MACN的余弦值为155 解法 2：（1）取AC中点O，取11AC中点1O，连OB，1OO，以O为坐标原点，1,OB OC OO所在直线分别为,x y z轴，建系如图，则1(0,1,0),(0,1,2)AC，(0,1,0),(3,0,1)CM，2 31(,2)33N，1(0,2,2),(3,1,1)ACCM=，12 34(,0)33C N=，(3,1,1)AM=，设平面1NAC的一个法向量为(,)nx y z=，则112202 34033n ACyzn C Nxy=+=，令3y=，则2x=，3z=，(2,3,3)n=，0n CM=，MC平面1NAC（2）设平面1MAC的一个法向量为(,)ma b c=，则122030m ACbcm AMabc=+=+=，令1b=，则1,0ca=，(0,1,1)m=，2 315cos,5|102m nm nm n=，所以锐二面角1MACN的余弦值为155 9 10 11 AC ABD BC A B C A1 B1C1 N M x y z O A B C A1 B1 C1 N M D E F-第2页-（共 3 页）16.（本小题满分 15 分）【解析】（1）（i）（ii）零假设0:H数学成绩与物理成绩相互独立，即数学成绩与物理成绩无关联 2220.01()20(3 14 1 2)206.6676.635()()()()4 16 5 153n adbcab cd ac bd=+，依据0.01=的独立性检验，推断0H不成立，即认为数学成绩与物理成绩有关联（2）（i）100 x=，70y=，222222222230 20 10(1)0(3)(15)0(25)(16)30100(15)(25)20(1)(3)0(16)r+=+99033371850 666=（ii）2222230 20 10(1)0(3)(15)0(25)(16)9909930100(15)(25)1850185b+=+996107010018537aybx=，经验回归方程为9961018537yx=+，120 x=，99610298612080.7811853737y=+=，物理成绩约为 81 分 17.（本小题满分 15 分）【解析】（1）当1a=时，()ln1f xxxx=+，()1 ln1lnfxxx=+=，(0,1)x，()0fx，()f x单调递减；(1,)x+，()0fx，()f x单调递增；min()(1)0f xf=（2）11()(1 ln)(1 ln)aafxaxaxaxx=+=+，设1()1 lnag xxx=+，21()(1)ag xaxx=，若1a=，由（1）知()(1)0f xf=，不合题意；若12a，2111()(1)1(1)aag xaxaxxx=，设1()1(1)ah xax=，22()(1)0ah xax=，()h x单调递减，(1)1(1)20haa=，令100()1(1)0ah xax=，110(1)axa=，0(1,)xx，()0h x，()0g x，()g x单调递增，()(1)0g xg=，()0fx，()f x单调递增，()(1)0f xf=，不合题意；2a，(1,)x+，21()(1)0ag xaxx=，()g x单调递减，()(1)0g xg=，()0fx，()f x单调递减，()(1)0f xf=；综上，2a 18.（本小题满分 17 分）【解析】（1）依题意2222232411caabbac=+=，解得228,2ab=，22182xy+=（2）设直线l方程为,0ykxm m=+，1122(,),(,)A x yB xy，由22182ykxmxy=+=得222(41)8480kxkmxm+=，2216(82)0km=+,122841kmxxk+=+，21224841mx xk=+，数学成绩 物理成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 3 1 4 不优秀 2 14 16 合计 5 15 20-第3页-（共 3 页）121212121211(1)(1)22(2)(2)yykxmkxmk kxxxx+=222222212122121222488(1)(1)(1)()(1)414148162()444141mkmkk mmk x xk mxxmkkmkmx xxxkk+=+22224(1)1 214(144)4(12)4kmmkmmkkmk+=+，解得12k=（3）由（2）得1,02yxm m=+，222240 xmxm+=，221640,4mm=，22,0mm，2212|1|5 4ABkxxm=+=，|2|2 5(2)552mhm=，MAB的面积231|(2)4(2)(2)2SAB hmmmm=+，3()(2)(2)f mmm=+，232()3(2)(2)(2)(2)(44)f mmmmmm=+=，当1m=时，取到最大值(1)27f=，MAB的面积max3 3S=【也可用多项均值不等式】19（本小题满分 17 分）【解析】（1）解：因为12 nnnaa+为na的二阶差分数列，所以212nnnnaaa+=，将21nnnaaa+=，代入得112nnnnnaaaa+=，整理得2nnnaa=，即122nnnaa+=，所以111222nnnnaa+=.故数列2nna是首项为12，公差为12的等差数列，因此，11(1)222nnan=+，即12nnan=.（2）解：因为nx为数列 nb的一阶差分数列，所以1nnnxbbn+=，故 1niinnixCa=成立，即为12122nnnnnCCnCn+=.当1n=时，式成立；当2n时，因为110111112(1 1)()nnnnnnnnn CCC=+=+，且11kknnnCkC=，所以成立.故对nN都有1niinnixCa=成立.【倒序相加01202nnnnnSCCCnC=+，012(1)(2)0nnnnnSnCnCnCC=+，相加得012()2nnnnnSn CCCn=+=，12122nnnnnCCnCn+=也可以】（3）证明：2nnntty+=，因为122t，所以(2)1nt，2nnt，故1(22)()(2)(2)10(2)nnnnnnnnttttt+=，即22nnnntt+，所以11111(1)111 2(21)22()(22)12222 112nnnnniiiiiiiiytt=+=+21111(21)(1)2(1 2)222222222nnnnnnnn=+=+=.