2024届福建省宁德市普通高中毕业班五月质量检测数学试题含答案.pdf
学科网（北京）股份有限公司2024 届福建省宁德市普通高中毕业班五月质量检测数学试题届福建省宁德市普通高中毕业班五月质量检测数学试题注意事项注意事项:1.答题前,学生务必在练习卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名。学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本练习卷上无效。3.答题结束后,学生必须将练习卷和答题卡一并交回。一、选择题一、选择题:本题共本题共 8 小题小题,每题每题 5 分分,共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.1.样本数据 2,2,3,3,3,4,4,5,5,6 的中位数和众数分别为A.3 和 3B.3.5 和 3C.4 和 3D.3.5 和 2,3,4,52.已知集合 2,0,2,4,|3ABxxm=-=-.若ABA=,则m的取值范围是A.(1,)+B.1,)+C.(5,)+D.5,)+3.设,m n表示两条不同的直线,a表示平面,则以下结论正确的是A.若/,/mnaa,则/mnB.若,mmna,则/naC.若/,mmna,则naD.若,mnaa,则mn4.记nT为等比数列 na的前n项积.设命题12:1:p T 命题67:1q aa,则p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.2024 海峓两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕.海峡两岸各民族同胞齐聚于此,与当地群众共同欢庆“三月三”,畅叙两岸情.在活动现场,为了解不同时段的入口游客人流量,从上午 10 点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量,以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前 5 次的数据,ti y,其中1,2,3,4,5,iiy=为第i次入口人流量数据(单位:百人),由此得到y关于i的回归方程2log(1)5ybi=+.已知9y=,根据回归方程(参考数据:22log 31.6,log 52.3),可顶测下午 4 点时入口游客的人流量为A.9.6B.11.0C.11.4D.12.06.已知圆台12OO的上底半径为 3,下底半径为 6,母线长为 6,则以下结论错误的是A.圆台侧面积为54pB.圆台外接球的半径为 6C.圆台的体积为126pD.圆台侧面上的点到下底圆心2O的最短距离为3 37.已知抛物线24xy=的焦点为1122,F A x yB xy是抛物线上的两个动点.若学科网（北京）股份有限公司122|22AByy=+,则AFB的最大值为A.34pB.23pC.2pD.4p8.函数()lnxf xx=,若关于x的不等式2()()0()f xaf xa-R有且仅有三个整数解,则a的取值范围是A.25,ln2 ln5B.25,ln2 ln5C.35,ln3 ln5D.5,ln5e二、选择题二、选择题:本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 6 分分,共共 18 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分分,部分选对的得部分分部分选对的得部分分,有选错的得有选错的得 0 分分.9.已知12,z z是两个复数,下列结论中正确的是A.若12zz=,则1 2z z RB.若12zz+为实数,则12zz=C.若12,z z均为纯虚数,则12zz为实数D.若12zz为实数,则12,z z均为纯虚数10.函数3()(2)cosf xxxw=-.若存在aR,使得()f xa+为奇函数,则实数w的值可以是A.4p-B.2pC.34pD.p11.若定义在R上的函数()f x满足()()()()()f xyf x f yf xf y=+,且值域为 1,)-+,则以下结论正确的是A.(0)1f=-B.(1)0f-=C.()f x为偶函数D.()f x的图象关于(1,0)中心对称三、填空题三、填空题:本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 15 分分.12.已知12,e e是两个单位向量,若1e在2e上的投影向量为212e,则1e与12ee-的夹角为_.13.中国古代历法是中国劳动人民智慧的结晶,尚书尧典记载“期三百有六旬有六日,以闰月定四时成岁”,指出闰年有 366 天.元代郭守敬创造了中国古代最精密的历法授时历,规定一年为 365.2425 天,和现行公历格里高利历是一样的,但比它早了 300 多年.现行公历闰年是如下确定的:能被 4 整除,但不能被 100整除;能被 400 整除,满足以上两个条件之一的年份均为闰年,则公元1011年,距上一个闰年的年数为_.14.已知曲线ex ay+=和圆222xy+=有 2 个交点,则实数a的取值范围是_.四、解答题四、解答题:本题共本题共 5 小题小题,共共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13 分)在ABCV中,角,A B C的对边分别为,a b c.已知2292cosacacB+=+,且sin3sinsinBAC=.(1)若BDAC,垂足为D,求 BD 的长;学科网（北京）股份有限公司(2)若3BA BC=uuu r uuu r,求ac+的长.16.(15 分)在平行四边形 ABCD 中,60,1,3DCDAC=.将ABCV沿 AC 翻折到APCV的位置,使得5PD=.(1)证明;CD 平面 APC;(2)在线段 AD 上是否存在点M,使得二面角MPCA-的余弦值为2 3913?若存在,求出|AMMD的值;若不存在,请说明理由.17.(15 分)已知函数1()cose()xf xaxa+=-R的图象在0 x=处的切线过点(1,2)-.(1)求()f x在0,p上的最小值;(2)判断()f x在2,03p-内零点的个数,并说明理由.18.(17 分)桌上有除颜色外其他没有任何区别的 7 个黑球和 7 个白球,现将 3 个黑球和 4 个白球装入不透明的袋中.第一次从袋中任取一个球,若取出的是黑球则放入一个白球,若取出的是白球则放入一个黑球,本次操作完成.第二次起每次取球、放球的规则和第一次相同.(1)求第 2 次取出黑球的概率;(2)记操作完成n次后袋中黑球的个数为变量nX.(i)求2X的概率分布列及数学期望2E X;(ii)求nX的数学期望nE X.19.(17 分)坐标平面xOy上的点(,)P x y也可表示为(cos,sin)P rrqq,其中|,rOPq=为x轴非负半轴绕原点O逆时针旋转到与 OP 重合的旋转角.将点P绕原点O逆时针旋转a后得到点,Px y,这个过程称之为旋转变换.学科网（北京）股份有限公司(1)证明旋转变换公式:cossin,sincos,xxyyxyaaaa=-=+并利用该公式,求点(3,0)P绕原点O逆时针旋转4p后的点P的坐标;(2)旋转变换建立了平面上的每个点P到P的对应关系.利用旋转变换,可将曲线通过旋转转化为我们熟悉的曲线进行研究.(i)求将曲线33:32C yxx=-+绕原点O顺时针旋转6p后得到的曲线方程,并求该曲线的离心率;(ii)已知曲线22:5568xyxyG+-=,点66,22F,直线 AB 交曲线G于A,B两点,作AFB的外角平分线交直线 AB 于点M,求|FM|的最小值.学科网（北京）股份有限公司2024 届宁德市普通高中毕业班五月份质量检查届宁德市普通高中毕业班五月份质量检查数学试题参考答案及评分标准数学试题参考答案及评分标准说明：1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4.解答题只给整数分数，填空题不给中间分一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分分，满分 40 分分1B2D3D4B5B6C7C8A二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9AC10BD11ABC11.解法一：对于选项A,令0 xy=,得2(0)(0)(0)fff=+,所以(0)0f=或(0)1f=-.令0y=,得(0)()(0)()(0)ff x ff xf=+,由()f x的值域为 1,)-+,所以当(0)0f=时,得()0f x,不合题意,所以(0)1f=-.A正确.对于选项B,令1xy=,得2(1)(1)2(1)fff=+,所以(1)0f=或(1)1f=-.令1y=,得()()(1)()(1)f xf x ff xf=+,得(1)()10ff x+=，因为()f x的值域为 1,)-+,所以(1)0f=.令1xy=-,得2(1)(1)2(1)0fff=-+-=,所以(1)0f-=或(1)2f-=-.因为值域为 1,)-+,所以(1)0,fC-=正确.对于选项C,令1y=-,得()()(1)()(1)fxf x ff xf-=-+-,因为(1)0f-=,则()()fxf x-=,所以函数()f x为偶函数,图像关于0 x=对称,C正确.对于选项D,由值域 1,)-+和偶函数,D错误.选ABC.解法二:由()()()()()f xyf x f yf xf y=+,则()1()()()()1f xyf x f yf xf y+=+,得()1()1()1f xyf xf y+=+,学科网（北京）股份有限公司设()()1g xf x=+,得()()()g xyg xg y=+,可设()g xxa=(a为正偶数),()1f xxa=-,不妨设2()1f xx=-,可判断ABC正确,D错误.选ABC.三、填空题三、填空题:本题考查基础知识和基本运算本题考查基础知识和基本运算,每小题每小题 5 分分,满分满分 20 分分.12.3p13.514.(,1)-四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15.本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性满分 13 分解:(1)由2292cosacacB+=+及余弦定理,得2222cos9,bacacB=+-=3.b=.2 分由sin3sinsinBAC=及正弦定理,得3 sinbaC=,.4 分因为ABCV的面积11sin22Sb BDabC=所以3sin33BDaC=.6 分(2)由3BA BC=uuu r uuu r得cos3acABC=,.7 分因为11sin3322ABCSacABC=V,所以sin3 3acABC=,8 分由得tan3ABC=,9 分又(0,)ABCp,故3ABCp=,.10 分从而2216,926152acac=+=+=.11 分得222()227acacac+=+=,12 分所以3 3ac+=.13 分16.本小题主要考查空间解三角形、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,空间角的计算等基础知识,考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等,考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养,体现基础性与综合性.满分 15 分.学科网（北京）股份有限公司解:(1)证明:翻折前,因为四边形 ABCD 为平行四边形,60,3,1DACCD=,在三角形 ACD 中,由正弦定理可得31,sinsinsin60sinACCDADCCADCAD=.1 分1sin2CAD=,又ACCD,故30CAD=.2 分所以90ACD=,即CDAC,.3 分因为5,2,1PDPCCD=,所以222PCCDPD+=,则有CDPC.5 分,PCACC AC PC=平面 APC,所以CD 平面 APC,.6 分(2)由(1)CD平面 APC,且CD 平面 ADC,所以平面ADC 平面 APC.在平行四边形 ABCD 中,BAAC,即PAAC,故PA平面 ADC.7 分以点C为坐标原点,CD CA APuuu r uuu r uuu r、的方向分别为xyz、轴的正方向建立空间直角坐标系,则(0,0,0),(1,0,0),(0,3,1),(0,3,0)CDPA,8 分设(1,3,0)(,3,0)AMADllll=-=-uuuu ruuur，其中01l，则(0,3,0)(,3,0)(,33,0),(0,3,1)CMCAAMCPllll=+=+-=-=uuuu ruuruuuu ruuu r,.9 分设平面 MCP 的法向量为(,)x y z=m,则30(33)0CPyzCMxyll=+=+-=uuu ruuuu rmm,取yl=,则3,3(1)zxll=-=-,所以,(3(1),3)lll=-m,11 分易知平面 CPA 的一个法向量为(1,0,0)=n,12 分则222|3(1)|2 39|cos,|133(1)3llll-=-+m nm nmn,整理可得215210ll+-=,学科网（北京）股份有限公司因为01l,解得15l=,14 分因此,线段 PC 上存在点M,使二面角MABC-的余弦值为2 3913,且|1|4AMMD=.15 分17.本小题主要考查导数及其应用、函数的零点和不等式等基础知识,考查逻辑推理能力、运算求解能力等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想,考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养,体现基础性与综合性.满分 15 分.解法一:(1)1()sine,(0)exfxaxf+=-=-,.2 分又(0)efa=-,所以切线方程为eeyxa=-+，.3 分又切线过点(1,2)-,得2eea=-+,所以2a=.4 分所以11()2cose,()2sinexxf xxfxx+=-=-,当0,xp时,()0fx在2,34pp-单调递增;当,04xp-时,()0,()g xg x在,04p-单调递减.12 分321321e20,1,(0)133eeegggpppp-=-=-+)学科网（北京）股份有限公司所以2,03xp-时,方程()1g x=有 2 根,所以()f x在2,03p-有 2 个零点.15 分解法二:(1)1()sine,(0)exfxaxf+=-=-，.2 分所以切线方程为ee2yx=-+,.3 分因此切点为(0,2)e-,得2eea-=-,所以2a=,.4 分所以11()2cose,()2sinexxf xxfxx+=-=-,当0,xp时,()0fx-=-,当0,0 xx时,()0h x-=-=-,即()0fx,此时()f x单调递增;学科网（北京）股份有限公司当1,0 xx时,()0h x,即()0fx,此时()f x单调递减.13 分又因为211133221e0,e0,1e0,(0)2e0323ffffpppppp-=-=-=-,所以()f x在,23pp-上有一个零点,在,03p-上有一个零点.14 分综上,()f x在2,03p-有且只有 2 个零点.15 分18.本小题主要考查全概率公式、概率的分布列及期望、递推数列及等比数列等基础知识,考查数学建模能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查或然与必然思想、化归与转化思想,考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析和数学运算等核心素养,体现基础性、综合性与创新性.满分 17 分.(1)记第i次取出的球是黑球为事件*,iA iN,则21212AA AA A=,1 分根据全概率公式得 21211212324437777616224494949P AP AP AAP AP A A=+=+=+=分分分所以第 2 次取出黑球的概率为2249.(2)(i)由题知得2X的可能取值为:1,3,5.5 分则3263544314312(1);(3);(5)77497777497749P XP XP X=+=;8 分故2X的分布列为:2X135P64931491249所以26311215913549494949E X=+=.9 分(ii)设第1n-次完成操作后袋中黑球数为(0,1,2,7)k k=L则学科网（北京）股份有限公司7107(1)(1)77nnkkkE XkkP Xk-=-=-+=710517nkkP Xk-=+=77110057nnkkkP XkP Xk-=+=151,7nE X-=+13 分(也可以按如下方法得出递推关系:111111177nnnnnE XE XE XE XE X-=-+-+151.7nE X-=+(若通过特殊性入手得出递推关系得分)即1517nnE XE X-=+,由此得1757272nnE XE X-=-,15 分又因为00713,22E XE X=-=-,16 分所以715227nnE X-=-,即157272nnE X=-+.17 分19.本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、双曲线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查逻辑推理能力、运算求解能力和创新能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养,体现基础性、综合性与创新性,满分 17 分.(1)证明：设,P x y,由题意可知|cos()coscossinsincossin,xOPrrxyqaqaqaaa=+=-=-|sin()sincoscos sinsincos,yOPrrxyqaqaqaaa=+=+=+所以cossin,sincos.xxyyxyaaaa=-=+.2 分故当3,0 xy=,且4pa=时,学科网（北京）股份有限公司63cos,4263sin.42xypp=所以66,22P.4 分(2)(i)设曲线C上的任一点(,)P x y绕原点O顺时针旋转6p后得到的点为,P x y,可视为,P x y绕原点O逆时针旋转6p后得到的点(,)P x y,所以31cossin,662213sincos.6622xxyxyyxyxypppp=-=-=+=+.6 分由点(,)P x y在曲线33:32C yxx=-+上,所以133313,2232231222xyxyxy+=-+-整理得2213yx-=,.8 分即曲线C绕原点O顺时针旋转6p后得到的曲线方程为2213yx-=,该曲线为双曲线,离心率为 2.9 分(ii)由曲线22:5568xyxyG+-=,可知当点(,)x y满足曲线方程时,点(,),(,)y xyx-也满足该曲线方程,故曲线G关于直线yx=和yx=-对称,10 分设曲线G上任一点(,)P x y绕原点O顺时针旋转4p后得到的点为,P x y,则2cossin,4422sincos.442xxyxyyxyxypppp=-=-=+=+.11 分由点(,)P x y在曲线22:5568xyxyG+-=上,所以22288xy+=,即旋转4p后得到的曲线方程为椭圆:2214xy+=,其右焦点坐标为(3,0),12 分学科网（北京）股份有限公司(1)可知,其为点66,22绕原点O顺时针旋转4p后得到的点,故点66,22F为原椭圆G的右焦点.由 FM 为ABFV的外角平分线，所以sinsinAFMBFM=,故1|sin21|sin2FAMFBMMFFAAFMSMAFASMBFBMFFBBFM=VV13 分设22111221,14xA x yB xyy+=，222211111|32 314xFAxyxx=-+=-+-2111332 342,42xXx=-+=-同理23|22FBx=-,14 分设00,M xy,显然M在线段 AB 的延长线或反向延长线上,所以101022322322XMAxXMBxXX-=-,.15 分所以10212332222xxxX X-+20112332222xxxX X=-+,21021322xxxxx-=-,得04 33x=16 分所以点P的轨迹为直线4 33x=,故F到P的最短距离为4 33333-=17 分
