2024年中考数学冲刺：数形结合问题--巩固练习（基础）.doc

2024年中考数学冲刺：数形结合问题巩固练习（基础）【巩固练习】一、 选择题1（2016枣庄）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下四个结论：abc=0，a+b+c0，ab，4acb20；其中正确的结论有（）A1个 B2个 C3个 D4个2.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）。那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）A 、 B、C、 D、二、 填空题3. 实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的序号为_.b+c0 a+b>a+c acbc abac4.（2016通辽）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（3，0），对称轴为直线x=1，给出以下结论：abc0 b24ac0 4b+c0 若B（，y1）、C（，y2）为函数图象上的两点，则y1y2当3x1时，y0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号） 三、解答题5.某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么2个小时时血液中含药最高,达每毫升6微克(1微克=10-3毫克),接着逐步衰减,10小时时血液中含药量为每毫升3微克,每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示.当成人按规定剂量服药后.(1)分别求出x2和x2时y与x的函数解析式；(2)如果每毫升血液中含量为4微克或4微克以上时,在治疗疾病时是有效的,那么这个有效时间有多长?6图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形 （1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 _； （2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积 _； （3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？（4）运用你所得到的公式，计算若mn=-2，m-n=4，求（m+n）2的值 （5）用完全平方公式和非负数的性质求代数式x2+2x+y2-4y+7的最小值7.为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采取不同的收费方式，其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（min）与通话费y（元）的关系如图所示： （1）分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式； （2）请帮用户计算，在一个月内使用哪一种卡便宜8.（长宁区二模）如图，一次函数y=ax1（a0）的图象与反比例函数y=（ k0）的图象相交于A、B两点且点A的坐标为（ 2，1），点B的坐标（1，n）（1）分别求两个函数的解析式； （2）求AOB的面积9.请同学们仔细阅读如图所示的计算机程序框架图，回答下列问题：（1）如果输入值为2，那么输出值是多少？（2）若要使输入的x的值只经过一次运行就能输出结果，求x的取值范围；（3）若要使开始输入的x的值经过两次运行才能输出结果，那么x的取值范围又是多少？10.观察如图所包含规律（图中三角形均是直角三角形，且一条直角边始终为1，四边形均为正方形S1，S2，S3，Sn依次表示正方形的面积，每个正方形边长与它左边相邻的直角三角形斜边相等），再回答下列问题 （1）填表：直角边A1B1A2B2A3B3A4B4AnBn长度1（2）当s1+s2+s3+s4+sn=465时，求n11.某报社为了了解读者对该报社一种报纸四个版面的认可情况，对读者做了一次问卷凋查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，并将调查结果绘制成如下的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题 （1）在这次活动中一共调查了多少读者？ （2）在扇形统计图中，计算第一版所在扇形的圆心角度数； （3）请你求出喜欢第四版的人数，并将条形统计图补充完整 【答案与解析】一、选择题1【答案】C；【解析】二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，c=0，abc=0正确；x=1时，y0，a+b+c0，不正确；抛物线开口向下，a0，抛物线的对称轴是x=，b0，b=3a，又a0，b0，ab，正确；二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，0，b24ac0，4acb20，正确；综上可得，正确结论有3个：2【答案】D；二、 填空题3【答案】；4【答案】；【解析】由图象可知，a0，b0，c0，abc0，故错误抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，故正确抛物线对称轴为x=1，与x轴交于A（3，0），抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），a+b+c=0，=1，b=2a，c=3a，4b+c=8a3a=5a0，故正确B（，y1）、C（，y2）为函数图象上的两点，点C离对称轴近，y1y2，故错误，由图象可知，3x1时，y0，故正确正确.三、 解答题5【答案与解析】解：（1）当x2时，设y=kx，把（2，6）代入上式，得k=3，x2时，y=3x；当x2时，设y=kx+b，把（2，6），（10，3）代入上式，得k=，b=x2时，y=x+（2）把y=4代入y=3x，得x1=把y=4代入y=x+ 得x2=则x2-x1=6（小时）答：这个有效时间为6小时6【答案与解析】 解：（1）由图可知，阴影部分小正方形的边长为：m-n；（2）根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为（m-n）2，还可以表示为（m+n）2-4mn；（3）根据阴影部分的面积相等，（m-n）2=（m+n）2-4mn；（4）mn=-2，m-n=4， （m+n）2=（m-n）2+4mn=42+4×（-2）=16-8=8；（5）x2+2x+y2-4y+7， =x2+2x+1+y2-4y+4+2， =（x+1）2+（y-2）2+2， （x+1）20，（y-2）20， （x+1）2+（y-2）22， 当x=-1，y=2时，代数式x2+2x+y2-4y+7的最小值是2 故答案为：（1）m-n；（2）（m-n）2，（m+n）2-4mn；（3）（m-n）2=（m+n）2-4mn(4) 8 (5) 最小值是2. 7.【答案与解析】 解：（1）设y1=kx+b，将（0，29），（30，35）代入，解得k=，b=29，y1=x+29，又24×60×30=43200（min）（属于隐含条件）y1=x+29 （0x43200），同样求得y2=x (0x43200)； （2）当y1=y2时，x+29=x，x=； 当y1y2时，x+29x， x 所以，当通话时间等于min时，两种卡的收费一致，当通话时间小于min时，“如意卡便宜”，当通话时间大于min时，“便民卡”便宜 8.【答案与解析】 解：（1）一次函数y=ax1（a0）的图象与反比例函数y=（ k0）的图象相交于A、B两点且点A的坐标为（ 2，1），解得一次函数的解析式是y=x1，反比例函数的解析式是y=；（2）当x=0时，y=1，S三角形AOB=|1|×2+|1|×|1|=1+=9.【答案与解析】 解：（1）依据题中的计算程序列出算式：3×2+1，3×2+1=7，79，应该按照计算程序继续计算，3×7+1=229，如果输入值为2，那么输出值是22（2）依题意，有3x+19，解得x；（3）依题意，有 解得x.10.【答案与解析】 解：(1)，直角边A1B1A2B2A3B3A4B4AnBn长度12 （2）S1=（）2=2，S2=（）2=3，S3=22=4，S4=（）2=5，.Sn=（）2=n+1；由s1+s2+s3+s4+sn=465可得：1+2+3+4+5+n=465，(1+n) ×n=465解得：n=-31（不合题意舍去）或n=30，故：n=3011.【答案与解析】解：（1）这次活动中一共调查了500÷10%=5000（人）；（2）第一版所在扇形的圆心角度数=360°×（1-20%-40%-10%）=108°；（3）喜欢第四版的人数是： 5000×20%=1000（人），如下图所示： 中考冲刺：数形结合问题巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1（2016黄冈模拟）如图1为深50cm的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2为容器顶部离水面的距离y（cm）随时间t（分钟）的变化图象，则（）A注水的速度为每分钟注入cm高水位的水B放人的长方体的高度为30cmC该容器注满水所用的时间为21分钟D此长方体的体积为此容器的体积的2.若用(a)、(b)、(c)、(d)四幅图像分别表示变量之间的关系，请按图像所给顺序，将下面的、对应顺序. 小车从光滑的斜面上滑下(小车的速度与时间的关系) 一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物(弹簧长度与所挂重物的重量的关系) 运动员推出去的铅球(铅球的高度与时间的关系) 小杨从A到B后，停留一段时间，然后按原速度返回(路程与时间的关系)正确的顺序是 ( )A B C D二 填空题3. 如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形ABCDEF，点P沿直线AB从右向左移动，当出现点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时，就会发出警报，则直线 AB上会发出警报的点P有 个. 4.（2015秋江阴市期中）如图1，圆的周长为4个单位在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q如图2，先将圆周上表示p的点与数轴原点重合，然后将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示2014的点与圆周上重合的点对应的字母是 5.（2016鄂州一模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BEEDDC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图（2），当t= 时，ABE与BQP相似三、解答题6.将如图所示的长方体石块（abc）放入一圆柱形水槽内，并向水槽内匀速注水，速度为v cm3/s，直至注满水槽为止石块可以用三种不同的方式完全放入水槽内，如图所示 在这三种情况下，水槽内的水深h （cm）与注水时间 t（ s）的函数关系如上图1-6所示根据图象完成下列问题：（1）请分别将三种放置方式的示意图和与之相对应的函数关系图象用线连接起来；（2）水槽的高h= cm；石块的长a= cm；宽b= cm；高c= cm；（3）求图5中直线CD的函数关系式； （4）求圆柱形水槽的底面积S7.在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图1所示的几何图形（1）请你利用这个几何图形求的值为_；（2）请你利用图2，再设计一个能求的值的几何图形（图1）（图2）8.（2015秋北京校级期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，ABC的顶点B是y轴正半轴上一个定点，D是BO的中点点C在x轴上，A在第一象限，且满足AB=AO，N是x轴负半轴上一点，BCN=BAO=（1）当点C在x轴正半轴上移动时，求BCA；（结果用含的式子表示）（2）当某一时刻A（20，17）时，求OC+BC的值；（3）当点C沿x轴负方向移动且与点O重合时，= ，此时 以AO为斜边在坐标平面内作一个RtAOE（E不与D重合），则AED的度数的所有可能值有 （直接写出结果）9阅读材料，解答问题利用图象法解一元二次不等式：x22x30解：设y=x22x3，则y是x的二次函数a=10，抛物线开口向上又当y=0时，x22x3=0，解得x1=1，x2=3由此得抛物线y=x22x3的大致图象如图所示观察函数图象可知：当x1或x3时，y0x22x30的解集是：x1或x3（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x22x30的解集是_；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x210（画出草图）.10（1）夜晚，小明在路灯下散步已知小明身高1.5米，路灯的灯柱高4.5米如图1，若小明在相距10米的两路灯AB、CD之间行走（不含两端），他前后的两个影子长分别为FM=x米，FN=y米，试求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围？有言道：形影不离其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离但在灯光下，人的速度与影子的速度却不是一样的！如图2，若小明在灯柱PQ前，朝着影子的方向（如图箭头），以0.8米/秒的速度匀速行走，试求他影子的顶端R在地面上移动的速度（2）我们知道，函数图象能直观地刻画因变量与自变量之间的变化关系相信，大家都听说过龟兔赛跑的故事吧现有一新版龟兔赛跑的故事：由于兔子上次比赛过后不服气，于是单挑乌龟再来另一场比赛，不过这次路线由乌龟确定比赛开始，在同一起点出发，按照规定路线，兔子飞驰而出，极速奔跑，直至跑到一条小河边，遥望着河对岸的终点，兔子呆坐在那里，一时不知怎么办过了许久，乌龟一路跚跚而来，跳入河中，以比在陆地上更快的速度游到对岸，抵达终点，再次获胜根据新版龟兔赛跑的故事情节，请在同一坐标系内（如图3），画出乌龟、兔子离开终点的距离s与出发时间t的函数图象示意图（实线表示乌龟，虚线表示兔子）.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】设AB的解析式为y=k1t+b1，BC的解析式为y=k2t+b2，由题意得，解得：，y=，A、当0t3时，注水的速度为每分钟注入cm高水位的水，当3t21时，注水的速度为每分钟注入cm高水位的水；B、由图象知，那样放置在圆柱体容器内的长方体的高为5030=20cm；C、令y=0，则x+35=0，解得：x=21，该容器注满水的时间为21秒D、设每秒钟的注水量为mcm3则下底面中未被长方体覆盖部分的面积是：m÷=（cm2），圆柱体的底面积为：m÷=cm2二者比为：=1：4，长方体底面积：圆柱体底面积=3：4圆柱高：长方体高=20：50=2：5，长方体体积：圆柱体体积=6：20=3：10，圆柱体的体积为长方体容器体积的；故选C2.【答案】A；二、填空题3.【答案】5.【解析】如图，分别以一顶点为定点，连接其与另一顶点的连线，在此图形中根据平行线分线段成比例定理可知，CDBEAF，EDFCAB，EFADBC，ECFB，AEBD，ACFD，根据垂直平分线的性质及正六边形的性质可知，相互平行的一组线段的垂直平分线相等，在这五组平行线段中，AE、BD与AB垂直，其中垂直平分线必与AB平行，故无交点故直线AB上会发出警报的点P有：CD、ED、EF、EC、AC的垂直平分线与直线AB的交点，共五个4【答案】m；【解析】解：由题意可得，q、m、n、p第一次在数轴上对应的点为1、2、3、4，即每四个为一个循环，2014÷4=5032数轴上表示2014的点与圆周上重合的点对应的字母是m故答案为：m5【答案】秒；【解析】由图象可知，BC=BE=5，AB=4，AE=3，DE=2，ABE与BQP相似，点E只有在CD上，且满足=，=，CQ=t=（BE+ED+DQ）÷1=5+2+（4）=三、解答题6【答案与解析】（1）（1）图1与图4相对应，图2与图6相对应，图3与图5相对应；（2）10； a=10； b=9； c=6.（3）由题意可知C点的坐标为（45，9），D点的坐标为（53，10），设直线CD的函数关系式为h=kt+b， 解得 直线CD的函数关系式为h=；（4）石块的体积为abc=540cm3，根据图4和图6可得：.解得S=160（cm2）.7.【答案与解析】（1）设总面积为：1，最后余下的面积为：，故几何图形的值为：的值为.故答案为：. 8.【答案与解析】解：（1）过A分别作AMBC于E，AFx轴于F，则AMB=AFO=90°，设AO与BC交于点P，在ABP和COP中，BAO=BCN，BPA=CPO，ABP=COP，即ABM=AOF，在ABM和AOF中，ABMAOF（AAS），AM=AF，CA平分BCF，BCN=，BCM=180°，；（2）ABMAOF，ACMACF，BM=OF，CM=CF，OC+BC=OC+BM+CM，OC+BC=OC+OF+CF=2OF，A（20，17），OF=20，OC+BC=40；（3）当点C沿x轴负方向移动且与点O重合时，x轴与y轴垂直，=90°，此时 以AO为斜边在坐标平面内作一个RtAOE（E不与D重合），则AED的度数的所有可能值有AED=45°或135°故答案为：90°；45°或135°9【答案与解析】解：（1）-1x3；（2）设y=x2-1，则y是x的二次函数，a=10，抛物线开口向上又当y=0时，x2-1=0，解得x1=-1，x2=1由此得抛物线y=x2-1的大致图象如图所示观察函数图象可知：当x-1或x1时，y0x2-10的解集是：x-1或x110【答案与解析】解：（1）EFAB，MEF=A，MFE=BMEFMAB =，MB=3x BF=3x-x=2x同理，DF=2y BD=10，2x+2y=10，y=-x+5， 当EF接近AB时，影长FM接近0；当EF接近CD时，影长FM接近5，0x ， 如图2所示，设运动时间为t秒，则EE=FF=0.8t,EFPQ,REF=RPQ，RFE=RQP,REFRPQ,EERR,PEE'=PRR'，PEE=PRR,PEEPRR,RR'=1.2t.（2）如图3所示 中考冲刺：数形结合问题知识讲解（基础）【中考展望】1用数形结合的思想解题可分两类: (1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等.2. 热点内容：在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.【方法点拨】数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法. 数形结合解题基本思路:“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观. 特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，a的符号决定抛物线的开口方向,b与a 一起决定抛物线的对称轴的位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线图形的平移，只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的有关变化.在日常的数学学习中应注意养成数形相依的观念，有意识培养数形结合思想，形成数形统一意识，提高解题能力“数缺形时少直观，形缺数时难入微”总之，要把数形结合思想贯穿在数学学习中数与形及其相互关系是数学研究的基本内容【典型例题】类型一、利用数形结合探究数字的变化规律1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是 【思路点拨】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n2+2n【答案与解析】第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（2×3-3）个；第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子（3×4-4）个； 第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子（4×5-5）个； 按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）. 故答案为n（n+2）=n2+2n.【总结升华】这样的试题从最简单的图形入手.找出图形中黑点的个数与第n个图形之间的关系，找规律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律.举一反三：【变式】用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n个图形比第(n-1)个图形多_枚棋子【答案】解：设第n个图形的棋子数为第1个图形，S1=1；第2个图形，S2=1+4；第3个图形，S3=1+4+7；第n个图形，Sn=1+4+3n-2；第（n-1）个图形，Sn-1=1+4+3（n-1）-2；则第n个图形比第（n-1）个图形多（3n-2）枚棋子类型二、 利用数形结合解决数与式的问题 2.已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|的结果是 （）.A.a+c B.-a-2b+c C.a+2b-c D.-a-c【思路点拨】首先从数轴上a、b、c的位置关系可知：ca0；b0且|b|a|，接着可得a+b0，c-b0，然后即可化简|a+b|-|c-b|可得结果 具体步骤为： a,b,c的具体位置，在原点左边的小于0，原点右边的大于0.比较绝对值的大小.|a|c|b|.化简原式中的每一部分，看看绝对值内部（二次根式中的被开方数的底数）的性质，若大于零，直接提出来，若小于零，则取原数的相反数.进行化简计算，得出最后结果.【答案与解析】解：从数轴上a、b、c的位置关系可知：ca0；b0且|b|a|，故a+b0，c-b0，即有|a+b|-|c-b|=a+b+c-b=a+c故选A【总结升华】此题主要考查了利用数形结合的思想和方法来解决绝对值与数轴之间的关系，进而考察了非负数的运用.数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系非负数在初中的范围内，有三种形式：绝对值（|a|），完全平方式(a±b)2，二次根式(.性质：非负数有最小值是0；几个非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0.类型三、利用数形结合解决代数式的恒等变形问题3. 图是一个边长为的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能验证的式子是（ ）A. B. C. D. 【思路点拨】这是完全平方公式的几何背景，用几何图形来分析和理解完全平方公式的实质.是一个很典型的“数形结合”的例子，用图形的变换来帮助理解代数学中的枯燥无味的数学公式.根据图示可知，阴影部分的面积是边长为（m+n）的正方形的面积减去中间白色的小正方形的面积（m2+n2），即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积据此即可解答【答案】B.【解析】（m+n）2-（m2+n2）=2mn故选B【总结升华】本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2-（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式举一反三:【变式】如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个空心正方形（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长是多少？（2）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积；（3）观察图2，你能写出下列三个代数式：（m+n）2、（m-n）2、mn之间的关系吗？ 【答案】解：（1）图中阴影部分的正方形的边长等于（m-n）； （2）（m-n）2；（m+n）2-4mn； （3）（m-n）2=（m+n）2-4mn类型四、利用数形结合思想解决极值问题 4.我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大（小）值问题请你尝试解决一下问题： （1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是 _.（(2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线CD）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你： 作图确定水塔的位置； 求出所需水管的长度（结果用准确值表示）.（3）已知x+y=6，求 的最小值？此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CAAB，DBAB，使得CA= _3DB= _.在AB上取一点P，可设AP= _x，BP= _. 的最小值即为线段_和线段_长度之和的最小值，最小值为 _.【思路点拨】（1）利用二次函数的顶点坐标就可得出函数的极值；（2）延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD于点P，则点P即为所求； 过点A作AFBD，垂足为F，过点E作EGBD，交BD的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形，进而利用勾股定理求出即可；（3）作线段AB=6，分别过点A、B，作CAAB，DBAB，使得CA=3，BD=5， 在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y； 的最小值即为线段 PC和线段 PD长度之和的最小值，最小值利用勾股定理求出即可.【答案与解析】解：（1）抛物线所对应的二次函数的最大值是4；（2）如图所示，点P即为所求（作法：延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD于点P，则 点P即为所求. 说明：不必写作法和证明，但要保留作图痕迹；不连接PA不扣分；（延长BD，同样的方法也可以得到P点的位置） 过点A作AFBD，垂足为F，过点E作EGBD，交BD的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD 都是矩形FD=AC=CE=DG=1，EG=CD=AF AB=3，BD=2，BF=BD-FD=1，BG=BD+DG=3，在RtABF中，AF2=AB2-BF2=8，AF=2 EG=2.在RtBEG中，BE2=EG2+BG2=17，BE=（cm）.PA+PB的最小值为cm.即所用水管的最短长度为cm.（3）图3所示，作线段AB=6，分别过点A、B，作CAAB，DBAB，使得CA=3，BD=5，在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y，的最小值即为线段 PC和线段 PD长度之和的最小值，作C点关于线段AB的对称点C，连接CD，过C点作CEDB，交BD延长线于点E，AC=BE=3，DB=5，AB=CE=6，DE=8，.最小值为10故答案为：4； x，y； PC，PD，10【总结升华】此题主要考查了函数最值问题与利用轴对称求最短路线问题，结合已知画出图象利用数形结合以及勾股定理是解题关键作图题不要求写出作法，但必须保留痕迹.最后点题，即“xx即为所求”.类型五、利用数形结合思想，解决函数问题5.（2016杭州校级自主招生）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：abc0；b2=4ac；4a+2b+c0；3a+c0，其中正确的结论是 （写出正确命题的序号）【思路点拨】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数，以及x=1，x=2对应y值的正负判断即可【答案与解析】解：由二次函数图象开口向上，得到a0；与y轴交于负半轴，得到c0，对称轴在y轴右侧，且=1，即2a+b=0，a与b异号，即b0，abc0，选项正确；二次函数图象与x轴有两个交点，=b24ac0，即b24ac，选项错误；原点O与对称轴的对应点为（2，0），x=2时，y0，即4a+2b+c0，选项错误；x=1时，y0，ab+c0，把b=2a代入得：3a+c0，选项正确，故答案是：【总结升华】此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用举一反三：【变式】（2015黔东南州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下四个结论：abc=0，a+b+c0，ab，4acb20；其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【答案】C.【解析】解：二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，c=0，abc=0正确；x=1时，y0，a+b+c0，不正确；抛物线开口向下，a0，抛物线的对称轴是x=，b0，b=3a，又a0，b0，ab，正确；二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，0，b24ac0，4acb20，正确；综上，可得正确结论有3个：故选：C中考冲刺：数形结合问题知识讲解（提高）【中考展望】1.用数形结合的思想解题可分两类: (1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.2. 热点内容：在初中教材中，数的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数的图象对应着一条直线，二次函数的图象对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容. 特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，数a 决定抛物线的开口方向, b 与a 一起决定抛物线的对称轴位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶