2024年中考数学冲刺：创新、开放与探究型问题--巩固练习（基础） .doc

2024年中考数学冲刺：创新、开放与探究型问题巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1若自然数n使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”例如：2不是“连加进位数”，因为2+3+49不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+615产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+63156产生进位现象如果从0，1，2，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是()A0.88 B0.89 C0.90 D0.912如图，点A，B，P在O上，且APB50°，若点M是O上的动点，要使ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有( ) A1个 B2个 C3个 D4个3（2016秋永定区期中）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第个图形有1颗棋子，第个图形一共有6颗棋子，第个图形一共有16颗棋子，则第个图形中棋子的颗数为（）A226 B181 C141 D106二、填空题4（2015秋淮安校级期中）电子跳蚤游戏盘为ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果电子跳蚤开始时在BC边上的P0点，BP0=4第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2 跳回到BC边上P3点，且BP3=BP2；跳蚤按上述规则跳下去，第2015次落点为P2016，则P3与P2016之间的距离为 5下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D，请你按图中箭头所指方向(如ABCDCBABC的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，当数到12时，对应的字母是_；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是_；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是_(用含n的代数式表示)6. (1)如图(a)，ABCDCB，请补充一个条件：_，使ABCDCB(2)如图(b)，12，请补充一个条件：_，使ABCADE三、解答题7如图所示，已知在梯形ABCD中，ADBC，ABDC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点(点E不与B，C两点重合)，EFBD交AC于点F，EGAC交BD于点G(1)求证：四边形EFOG的周长等于2OB；(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，ADBC，ABDC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明8如图所示，平面直角坐标系内有两条直线，直线的解析式为如果将坐标纸折叠，使直线与重合，此时点(-2，0)与点(0，2)也重合(1)求直线的解析式；(2)设直线与相交于点M问：是否存在这样的直线，使得如果将坐标纸沿直线折叠，点M恰好落在x轴上？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由9（2015黄陂区校级模拟）正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A重合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C重合），另一条直角边与边CD的延长线交于点F（1）如图，求证：AE=AF；（2）如图，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边MN与边CD交于G，且点G是斜边MN的中点，连接EG，求证：EG=BE+DG； （3）在（2）的条件下，如果=，那么点G是否一定是边CD的中点？请说明你的理由10. （2016天门）如图，半圆O的直径AB=6，AM和BN是它的两条切线，CP与半圆O相切于点P，并于AM，BN分别相交于C，D两点（1）请直接写出COD的度数；（2）求ACBD的值；（3）如图，连接OP并延长交AM于点Q，连接DQ，试判断PQD能否与ACO相似？若能相似，请求AC：BD的值；若不能相似，请说明理由【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】不是“连加进位数”的有“0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32”共有12个P(取到“连加进位数”)2.【答案】D；【解析】如图，过圆点O作AB的垂线交和于M1，M2以B为圆心AB为半径作弧交圆O于M3以A为圆心，AB为半径弧作弧交圆O于M4则M1，M2，M3，M4都满足要求3.【答案】C；【解析】设第n个图形中棋子的颗数为an（n为正整数），观察，发现规律：a1=1，a2=1+3+2=6，a3=1+3+5+4+3=16，an=1+3+5+（2n1）+（2n2）+n=n2+=n2n+1，当n=8时，a8=×82×8+1=141二、填空题4.【答案】1【解析】BC=10，BP0=4，知CP0=6，CP1=6AC=9，AP2=AP1=3AB=8，BP3=BP2=5CP4=CP3=5，AP4=4AP5=AP4=4，BP5=4BP6=BP5=4此时P6与P0重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点2016÷6=336，即P2016与P0重合，P3与P2016之间的距离为P3P0=1故答案为：15.【答案】B； 603； 6n+3【解析】由题意知ABCDCBABCDCBAB，每隔6个数重复一次“ABCDCB”，所以，当数到12时对应的字母是B；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是201×3603；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是(2n+1)×36n+36.【答案】答案不唯一(1)如图(a)中AD，或ABDC；(2)图(b)中DB，或等 三、解答题7.【答案与解析】 (1)证明：四边形ABCD是梯形，ADBC，ABCD，ABCDCB又BCCB，ABDC，ABCDCB12又 GEAC，2313EGBGEGOC，EFOB，四边形EGOF是平行四边形EGOF，EFOG四边形EGOF的周长2(OG+GE)2(OG+GB)2OB (2)方法1：如图乙，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC上一个动点(点E不与B，C两点重合)，EFBD，交AC于点F，EGAC交BD于点G求证：四边形EFOG的周长等于2OB图略方法2：如图丙，已知正方形ABCD中，其余略8. 【答案与解析】 解：(1)直线与y轴交点的坐标为(0，1)由题意，直线与关于直线对称，直线与x轴交点的坐标为(-1，0)又直线与直线的交点为(-3，3)，直线过点(-1，0)和(3，3)设直线的解析式为ykx+b则有 解得所求直线的解析式为(2)直线与直线互相垂直，且点M(-3，3)在直线上，如果将坐标纸沿直线折叠，要使点M落在x轴上，那么点M必须与坐标原点O重合，此时直线过线段OM的中点将，代入yx+t，解得t3直线l的解析式为yx+39【答案与解析】解：（1）如图，四边形ABCD是正方形，B=BAD=ADC=C=90°，AB=ADEAF=90°，EAF=BAD，EAFEAD=BADEAD，BAE=DAF在ABE和ADF中，ABEADF（ASA）AE=AF；（2）如图，连接AG，MAN=90°，M=45°，N=M=45°，AM=AN点G是斜边MN的中点，EAG=NAG=45°EAB+DAG=45°ABEADF，BAE=DAF，AE=AF，DAF+DAG=45°，即GAF=45°，EAG=FAG在AGE和AGF中，AGEAGF（SAS），EG=GFGF=GD+DF，GF=GD+BE，EG=BE+DG；（3）G不一定是边CD的中点理由：设AB=6k，GF=5k，BE=x，CE=6kx，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，CG=CFGF=k+x，在RtECG中，由勾股定理，得（6kx）2+（k+x）2=（5k）2，解得：x1=2k，x2=3k，CG=4k或3k点G不一定是边CD的中点10【答案与解析】解：（1）COD=90°理由：如图中，AB是直径，AM、BN是切线，AMAB，BNAB，AMBN，CA、CP是切线，ACO=OCP，同理ODP=ODB，ACD+BDC=180°，2OCD+2ODC=180°，OCD+ODC=90°，COD=90°（2）如图中，AB是直径，AM、BN是切线，A=B=90°，ACO+AOC=90°，COD=90°，BOD+AOC=90°，ACO=BOD，RTAOCRTBDO，=，即ACBD=AOBO，AB=6，AO=BO=3，ACBD=9（3）PQD能与ACQ相似CA、CP是O切线，AC=CP，1=2，DB、DP是O切线，DB=DP，B=OPD=90°，OD=OD，RTODBRTODP，3=4，如图中，当PQDACO时，5=1，ACO=BOD，即1=3，5=4，DQ=DO，PDO=PDQ，DCQDCO，DCQ=2，1+2+DCQ=180°，1=60°=3，在RTACO，RTBDO中，分别求得AC=，BD=3，AC：BD=1：3如图中，当PQDAOC时，6=1，2=1，6=2，COQD，1=CQD，6=CQD，CQ=CD，SCDQ=CDPQ=CQAB，PQ=AB=6，COQD，=，即=，AC：BD=1：2中考冲刺：创新、开放与探究型问题巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2016重庆校级二模）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第个图形中一共有1个空心小圆圈，第个图形中一共有6个空心小圆圈，第个图形中一共有13个空心小圆圈，按此规律排列，则第个图形中空心圆圈的个数为（）A61 B63 C76 D782如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；设Pn1Dn2的中点为Dn1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn1重合，折痕与AD交于点Pn（n2），则AP6的长为（） A BC D3下面两个多位数1248624、6248624，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )A495 B497 C501 D503二、填空题4.（2015合肥校级三模）如图，一个3×2的矩形（即长为3，宽为2）可以用两种不同方式分割成3或6个边长是正整数的小正方形，即：小正方形的个数最多是6个，最少是3个（1）一个5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是 个，最少是 个；（2）一个7×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是 个，最少是 个；（3）一个（2n+1）×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是 个；最少是 个（n是正整数）5. 一园林设计师要使用长度为4L的材料建造如图1所示的花圃，该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图2所示，它是以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大 (1)使图花圃面积为最大时Rr的值为 ，以及此时花圃面积为 ，其中R、r分别为大圆和小圆的半径； (2)若L160 m，r10 m，使图面积为最大时的值为 6如图所示，已知ABC的面积，在图(a)中，若，则；在图(b)中，若，则；在图(c)，若，则按此规律，若，则_三、解答题7（2016丹东模拟）已知，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），BAC=90°，AB=AC，DAE=90°，AD=AE，连接CE（l）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BDCE，CE=BCCD；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CE、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点O在线段BC的反向延长线上时，且点A、E分别在直线BC的两侧，点F是DE的中点，连接AF、CF，其他条件不变，请判断ACF的形状，并说明理由8.如图(a)、(b)、(c)，在ABC中，分别以AB，AC为边，向ABC外作正三角形、正四边形、正五边形，BE，CD相交于点O(1)如图(a)，求证：ADCABE； 探究：图(a)中，BOC_；图(b)中，BOC_；图(c)中，BOC_；(2)如图(d)，已知：AB，AD是以AB为边向ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向ABC外所作正n边形的一组邻边BE，CD的延长相交于点O猜想：图(d)中，BOC_；(用含n的式子表示)根据图(d)证明你的猜想9. 如图(a)，梯形ABCD中，ADBC，ABC90°， AD9，BC12，ABa，在线段BC上任取一点P(P不与B，C重合)，连接DP，作射线PEDP，PE与直线AB交于点E (1)试确定CP3时，点E的位置； (2)若设CPx(x0)，BEy(y0)，试写出y关于自变量x的函数关系式；(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的取值范围 10. 点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，在直线n上找一点C，使BCk·AB连接AC，在直线AC上任取一点E，作BEFABC，EF交直线m于点F(1)如图(a)，当k1时，探究线段EF与EB的关系，并加以说明；说明：如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)； 在完成之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为ABC为特殊角)，在图(b)中补全图形，完成证明(2)如图(c)，若ABC90°，kl，探究线段EF与EB的关系，并说明理由【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】第个图形中空心小圆圈个数为：4×13+1×0=1个；第个图形中空心小圆圈个数为：4×24+2×1=6个；第个图形中空心小圆圈个数为：4×35+3×2=13个；第个图形中空心圆圈的个数为：4×79+7×6=61个；2.【答案】A；【解析】由题意得，AD=BC=，AD1=ADDD1=，AD2=，AD3=，ADn=，故AP1=，AP2=，AP3=APn=，故可得AP6=.故选A. 3.【答案】A；【解析】根据题意，当第1位数字是3时，按操作要求得到的数字是3624862486248，从第2位数字起每隔四位数重复一次6248，因为(100-1)被4整除得24余3，所以这个多位数前100位的所有数字之间和是3+(6+2+4)+(6+2+4+8)×24495，答案选A二、填空题4.【答案】（1）4；10；（2）5；14；（3）4n+2；n+2【解析】 （1）一个5×2的矩形最少可分成4个正方形，最多可分成10个正方形；（2）一个7×2的矩形最少可分成5个正方形，最多可分成14个正方形；（3）第一个图形：是一个3×2的矩形，最少可分成1+2个正方形，最多可分成1×4+2个正方形；第二个图形：是一个5×2的矩形，最少可分成2+2个正方形，最多可分成2×4+2个正方形；第三个图形：是一个7×2的矩形，最少可分成3+2个正方形，最多可分成3×4+2个正方形；第n个图形：是一个（2n+1）×2的矩形，最多可分成n×4+2=4n+2个正方形，最少可分成n+2个正方形故答案为：（1）4；10；（2）5；14；（3）4n+2；n+25.【答案】（1）Rr的值为，以及此时花圃面积为； （2）值为【解析】要使花圃面积最大，则必定要求扇环面积最大设扇环的圆心角为，面积为S，根据题意得：，S在时取最大值为花圃面积最大时Rr的值为，最大面积为(2)当时，S取大值，(m)，(m)，6.【答案】【解析】三、解答题7【答案与解析】（1）证明：如图1中，BAC=DAE=90°，BAD=CAE，在ABD和ACE中，ABDACE，ABD=ACE=45°，BD=CE，ACB+ACE=90°ECB=90°，BDCE，CE=BCCD（2）如图2中，结论：CE=BC+CD，理由如下：BAC=DAE=90°，BAD=CAE，在ABD和ACE中，ABDACE，BD=CE，CE=BC+CD（3）如图3中，结论：ACF是等腰三角形理由如下：BAC=DAE=90°，BAD=CAE，在ABD和ACE中，ABDACE，ABD=ACE，ABC=ACB=45°，ACE=ABD=135°，DCE=90°，又点F是DE中点，AF=CF=DE，ACF是等腰三角形8【答案与解析】 (1)证法一：ABD与ACE均为等边三角形，ADAB，ACAE，且BADCAE60°BAD+BACCAE+BAC，即DACBAEADCABE证法二：ABD与ACE均为等边三角形，ADAB，ACAE，且BADCAE60°ADC可由ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到ABEADC120°，90°，72°(2)证法一：依题意，知BAD和CAE都是正n边形的内角，ABAD，AEAC，BADCAEBADDAECAEDAE，即BAEDACABEADCABEADCADC+ODA180°，ABO+ODA180°ABO+ODA+DAB+BOC360°BOC+DAB180°BOC180°DAB证法二：延长BA交CO于F，证BOCDAF180°-BAD证法三：连接CE证BOC180°CAE9【答案与解析】 解：(1)作DFBC，F为垂足 当CP3时，四边形ADFB是矩形，则CF3 点P与点F重合又BFFD，此时点E与点B重合 (2)(i)当点P在BF上(不与B，F重合)时，(见图(a)EPB+DPF90°，EPB+PEB90°，DPFPEB RtPEBARtDPF 又 BEy，BP12-x，FPx-3，FDa，代入式，得，整理，得 (ii)当点P在CF上（不与C，F重合）时，（见上图(b)同理可求得由FP3-x得 (3)解法一：当点E与A重合时，yEBa，此时点P在线段BF上由式得整理得 在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件， 方程有两个不相等的正实根 (-15)24×(36+a2)0 解得又a0， 解法二：当点E与A重合时，APD90°，点P在以AD为直径的圆上设圆心为M，则M为AD的中点 在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件， 线段BC与M相交即圆心M到BC的距离d满足 又ADBC，da由式得10【答案与解析】解：(1)EFEB证明：如图(d)，以E为圆心，EA为半径画弧交直线m于点M，连接EMEMEA，EMAEAMBCk·AB，k1，BCABCABACBmn，MACACB，FABABCMACCABCABEMABEFABC，BEFFABAHFEHB，AFEABE AEBMEF EFEB探索思路：如上图(a)，BCk·AB，k1，BCABCABACBmn，MACACB添加条件：ABC90°证明：如图(e)，在直线m上截取AMAB，连接ME BCk·AB，k1， BCAB ABC90°， CABACB45° mn， MAEACBCAB45°，FAB90° AEAE，MAEBAE EMEB，AMEABE BEFABC90°， FAB+BEF180°又 ABE+EFA180°， EMFEFA EMEF EFEB (2)EFEB说明：如图(f)，过点E作EMm，ENAB，垂足为M，N EMFENAENB90° mn，ABC90°， MAB90° 四边形MENA为矩形 MENA，MEN90°BEFABC90°MEFNEBMEFNEB，在RtANE和RtABC中，中考冲刺：创新、开放与探究型问题知识讲解（基础）【中考展望】所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法 由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年中考命题的一个热点通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方案设计、命题组合型、问题开放型等【方法点拨】由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑： 1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律2反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致3分类讨论法当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果4类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用【典型例题】类型一、探究规律1观察下列各式：，想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设n表示正整数，用关于n的等式表示这个规律【思路点拨】 所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1，分子与整数相等，因此得出规律.【答案与解析】所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1，分子与整数相等，因此得到规律：(n为正整数)【总结升华】这个规律是否正确呢？可将等式左右两边分别化简，即能得出结论对于“数字规律”的观察，要善于发现其中的变量与不变量，以及变量与项数之间的关系，将规律用代数式表示出来举一反三：【变式】（2015秋日照期中）如图，把一条绳子折成3折，用剪刀从中剪断，如果剪一刀得到4条绳子，如果剪两刀得到7条绳子，如果剪三刀得到10条绳子，依照这种方法把绳子剪n刀，得到的绳子的条数为（）AnB4n+5C3n+1D3n+4【答案】C【解析】解：设段数为x则依题意得：n=0时，x=1，n=1，x=4，n=2，x=7，n=3，x=10，所以当n=n时，x=3n+1故选：C类型二、条件开放型2如图所示，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F是对角线AC上的点 (1)若_，则DECBFA(请你填上能使结论成立的一个条件)；(2)证明你的结论【思路点拨】（1）已知了一边AD=BC，和一角（ADBC，DAC=BCA）相等根据全等三角形的判定AAS、SAS、ASA等，只要符合这些条件的都可以（2）按照（1）中的条件根据全等三角形的判定进行证明即可【答案与解析】解：(1)AECF；(OEOF；DEAC，BFAC；DEBF等等)(2)以AECF为例 四边形ABCD是矩形，ABCD，ABCD，DCEBAF又AECFACAEACCFAFCE，DEGBAF【总结升华】 这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的一般方法是：从结论出发，由果寻因，逆向推理，探寻出使结论成立的条件；有时也采取把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析考察举一反三：【高清课堂：创新、开放与探究型问题 例1】【变式】如图，飞机沿水平方向（A，B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个求距离MN的方案，要求：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用测出的数据写出求距离MN的步骤【答案】解：此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理，可参照给分如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为，测出飞机在B处对山顶的俯角为，测出AB的距离为d，连接AM，BM第一步，在中， ；第二步，在中， ；其中，解得 类型三、结论开放型3已知：如图(a)，RtABCRtADE，ABCADE90°，试以图中标有字母的点为端点，连接两条线段，如果你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证明 【思路点拨】此题需分三种情况讨论：第一种相等CD=BE，第二种垂直AFBD，第三种是平行DBCE首先利用全等三角形的性质，再利用三角形全等的判定定理分别进行证明即可【答案与解析】解：可以写出的结论有：CDBE，DBCE，AFBD，AFCE等(1)如图(b)，连接CD，BE，得CDBE证明：ABCADE，ABAD，ACAE又CABEAD，CADE1ABADCABECDBE(2)如图(c)，连接DB，CE，得DBCE证明：ABCADE，ADABADBABDABCADE，BDFFBD由ACAE可得ACEAECACBAED，FCEFECBDF+FBDFCE+FEC，FCEDBFDBCE (3)如图(d)，连接DB，AF，得AFBDABCADE，ADAB，ABCADE90°又AFAF，ADFABFDAFBAFAFBD(4)如图(e)，连接CE、AF，得AFCE同(3)得DAFBAF可得CAFEAFAFBD【总结升华】本题考查了全等三角形的判定及性质；要对全等三角形的性质及三角形全等的判断定理进行熟练掌握、反复利用，达到举一反三举一反三：【高清课堂：创新、开放与探究型问题 例2】【变式】数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，P为边延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N.当CP=6时，EM与EN的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，分别于F，G，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得EM与EN的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由. 【答案】（1）解：过作直线平行于交，分别于点， 则，.，. ，. （2）证明：作交于点，则，.，.，. 类型四、动态探究型4（2016平南县二模）已知：在AOB与COD中，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=90°（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM，则线段AD与OM之间的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，将图1中的COD绕点O逆时针旋转，旋转角为（0°90°）连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将图1中的COD绕点O逆时针旋转到使COD的一边OD恰好与AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点请你判断（1）中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明【思路点拨】（1）AD与OM之间的数量关系为AD=2OM，位置关系是ADOM；（2）（1）中的两个结论仍然成立，利用中位线定理得到FC=2OM，利用SAS得到三角形AOD与三角形FOC全等，利用全等三角形的对应边相等得到FC=AD，等量代换得到AD=2OM；由OM为三角形BCF的中位线，利用中位线定理得到OM与CF平行，利用两直线平行同位角相等得到BOM=F，由全等三角形的对应角相等得到F=OAD，等量代换得到BOM=OAD，根据BOM与AOM互余，得到OAD与AOM互余，即可确定出OM与AD垂直，得证；（3）（1）中线段AD与OM之间的数量关系没有发生变化，理由为：如图3所示，延长DC交AB于E，连结ME，过点E作ENAD于N，由三角形COD与三角形AOB都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到四个角为45度，进而得到三角形MCE与三角形AED为等腰直角三角形，根据EN为直角三角形ADE斜边上的中线得到AD=2EN，再利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形OMEN为矩形，可得出EN=OM，等量代换得到AD=2OM【答案与解析】解：（1）线段AD与OM之间的数量关系是AD=2OM，位置关系是ADOM；（2）（1）的两个结论仍然成立，理由为：证明：如图2，延长BO到F，使FO=BO，连结CF，M为BC中点，O为BF中点，MO为BCF的中位线，FC=2OM，AOB=AOF=COD=90°，AOB+BOD=AOF+AOC，即AOD=FOC，在AOD和FOC中，AODFOC（SAS），FC=AD，AD=2OM，MO为BCF的中位线，MOCF，MOB=F，又AODFOC，DAO=F，MOB+AOM=9