2024年2月28日武汉二调数学试题.pdf

武汉市2024届高中毕业生二月调研考试数学试卷武汉市教育科学研究院命制2024.2.28本试题卷共本试题卷共4 4页页,1919题题,全卷满分全卷满分150150分。考试用时分。考试用时120120分钟。分钟。祝考试顺利祝考试顺利 注意事项注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题一、选择题:本题共本题共8 8小题小题,每小题每小题5 5分分,共共4040分。在每小题给出的四个选项中分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要求的。求的。1.已知集合A=x|2x2+x-1ax,其中a0且a1,求实数a的值.数学试卷第4页（共4页）武汉市武汉市 2022024 4 届届高高中毕业生二月中毕业生二月调研调研考试考试 数学试卷参考答案及评分标准数学试卷参考答案及评分标准 选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C D A A C B A ACD AC BCD 填空题：12.3 13.107 14.1013 解答题：15.（13 分）解：（1）由题意，1223111111.12nnna aa aa aa+=，1223112211111.12nnnnna aa aa aaaa+=.两式相减得：12121111()2nnnnaaaa+=，化简得：212nnaa+=.即数列na是从第 2 项起公差为 2 的等差数列.若数列na是等差数列，则满足212aa=.令1n=，有1221112a aa=，即21112aa=+.所以111122aa+=+，解得12a=或112a=.由2120aa=+，所以112a=.7 分（2）211132aa=+=.由（1），数列na是从第 2 项起公差为 2 的等差数列.所以2n时，22(2)27naann=+=.此时，21231(1)()(1)(327)2(.)272nnnnaannSaaaaa+=+=+=+.整理得：23367nSnn=+(2)n.又1127Sa=也满足上式，所以，23367nSnn=+.13 分 16.（15 分）解：（1）取PE中点G，连接,DG FG.由2DADB=，2AB=，有DAB是等腰直角三角形.此时1DE=，又1PD=，所以PEDG.因为PAPB=，所以PEAB.由FGEB，所以PEFG.此时，CDABFG，有,C D G F四点共面，FGDGG=，直线PE 平面CDGF.由CF 平面CDGF，所以CFPE.7 分（2）由ABPE，ABDE，且PEDEE=，所以直线AB 平面PDE 由1PEDEPD=，所以PDE是等边三角形.以E为原点，,EB ED所在直线分别为x轴、y轴，过点E且与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.31(0,)22P，(0,1,0)D，(1,0,0)B，(2,1,0)C,31 1(,)2 44F 31(0,)22DP=，(1,1,0)DB=，设平面PBD的法向量(,)nx y z=，由00n DPn DB=，即310220yzxy+=，取1z=，得到平面PBD的一个法向量(3,3,1)n=.又33 3(,)2 44FC=.设直线CF与平面PBD所成角的大小为，则|2 32 7sin|cos,|7|73n FCn FCnFC=.所以直线CF与平面PBD所成角的正弦值为2 77.15 分 17.（15 分）解：（1）由已知可得1 2345615.425.435.485.4 155.4 195.43.5,85.466xy+=.又()622222221(1 3.5)(23.5)(3 3.5)(43.5)(53.5)(63.5)17.5iixx=+=，所以()()66211270,20 702iiiixxyy=，则样本相关系数()()6166221162463.46 85.4 3.56700.967007020 702iiiiiiix yxyrxxyy=8 分（2）设y关于x的经验回归方程为ybxa=+，其中()61622162463.46 3.5 85.42687702iiiiix yxybxx=，26885.43.548.67aybx=，所以y关于x的经验回归方程为26848.67yx=.把7x=代入得219.4y=（万元）.所以预测 2024 年 2 月份该公司的直播销售金额为 219.4 万元.15 分 18.（17 分）解：（1）设双曲线的半焦距为c，则右准线的方程为2:al xc=.由题意，2232abccc=.在方程22221yxab=中，令xc=，解得：2bya=，所以226ba=.联立解得：221,3ab=.所以双曲线E的标准方程为：2213yx=.5 分（2）当直线AB与x轴不重合时，设其方程为2xmy=+.与双曲线方程联立：22132yxxmy=+，22(31)1290mymy+=.设1122(,),(,)A x yB x y，有1221221231931myymy ym+=.直线1AF的方程为：11(2)2yyxx=+.令12x=，得到P点坐标1151(,)2 2(2)yx+.所以直线PB的方程为：12222151()()()()22(2)yxyyyxxx=+.令0y=，得到直线PB与x轴交点的横坐标：2212212211212211()52252542(2)yxx yx yyxxyx yyyyx+=+122121212(2)5(2)22(2)54myymyyymyyyy+=+1212121221212121224104410()1425825()13my yyymy yyyymy yyymy yyyy+=+222222223612014(31)8414(31)1413186013(31)7813(31)mmmymmymmmymmy+=+.所以直线PB过点14(,0)13.当直线AB与x轴重合时，直线PB也与x轴重合，也过点14(,0)13.综上所述，直线PB过定点14(,0)13.17 分 19.（17 分）解：（1）2(1)1()xxefxx+=.(1)1f=，(1)1fe=.故切线方程为：2yxe=+.3 分（2）()f x定义域为(,0)(0,)+.令()(1)1xg xxe=+，则()xg xxe=，令()0g x=，得0 x=.当0 x时，()0g x，()g x单调递减，()(0)0g xg=，所以()0fx，()f x单调递增；当0 x 时，()0g x，()g x单调递增，()(0)0g xg=，所以()0fx，()f x单调递增.所以()f x在(,0)和(0,)+上都是增函数.令()1xxex=，()1xxe=，令()0 x=，得0 x=.当0 x时，()0 x，()x单调递减；当0 x 时，()0 x，()x单调递增.0 x时，()(0)0 x=，10 xex，所以1()1xef xx=.0 x 时，()(0)0 x=，10 xex，所以1()1xef xx=.综上所述，()f x是定义域(,0)(0,)+上的增函数.8 分（3）由（2）可知，0 x时，()1f x，所以1xa，故1a.记kae=，其中0k.令(1)()k xkxF xeex=.由题意，0 x时，()0F x；0 x 时，()0F x.若1k，则当1x 时，(1)()10k xkxkxF xeexex=，不满足条件.所以01k.(1)()(1)1k xkxF xk eke=+.令()()G xF x=，2(1)222()(1)(1)k xkxkxxG xk ek eek ek=.令()0G x=，得2ln1kxk=.()F x在(,2ln)1kk单调递减，在(2ln,)1kk+单调递增.若2ln01kk，则当2ln01kxk时，()(0)0F xF=，()F x单调递减，此时()(0)0F xF=，不满足题意；若2ln01kk，则当02ln1kxk时，()(0)0F xF=，()F x单调递减，此时()(0)0F xF=，不满足题意；若2ln01kk=，则0 x时，()(0)0F xF=，()F x单调增，()(0)0F xF=，且0 x 时，()(0)0F xF=，()F x单调增，()(0)0F xF=，满足题意.所以2ln01kk=，解得：12k=.综上所述：ae=17 分