解析几何基础知识汇总.pdf
1解析几何基础知识解析几何基础知识1.平行与垂直平行与垂直若直线 l1和 l2有斜截式方程 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则：(1)直线 l1l2的充要条件是：k1k2且 b1b2(2)直线 l1l2的充要条件是：k1k212三种距离三种距离(1)两点间的距离平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|.特别地，x1x22y1y22原点(0,0)与任意一点 P(x，y)的距离|OP|.x2y2(2)点到直线的距离：点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax0By0C|A2B2(3)两条平行线的距离两条平行线 AxByC10 与 AxByC20 间的距离 d|C1C2|A2B23、圆的方程的两种形式、圆的方程的两种形式圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，方程表示圆心为(a，b)，半径为 r 的圆圆的一般方程对于方程 x2y2DxEyF0(1)当 D2E24F0 时，表示圆心为，半径为的圆；(D2，E2)12 D2E24F(2)当 D2E24F0 时，表示一个点；(D2，E2)(3)当 D2E24F0 时，它不表示任何图形4、直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交判断直线与圆的位置关系常见的有：几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系 dr相交；dr相切；dr相离直线与圆相交直线与圆相交时，若 l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则有 r2d22，即 l2，求弦长或(l2)r2d2已知弦长求解问题，一般用此公式5、两圆位置关系的判断、两圆位置关系的判断两圆(xa1)2(yb1)2r(r0)，(xa2)2(yb2)2r(r20)的圆心距为 d，则2 12 21dr1r2两圆外离；2dr1r2两圆外切；QQ37428923623|r1r2|dr1r2(r1r2)两圆相交_；4d|r1r2|(r1r2)两圆内切；50d|r1r2|(r1r2)两圆内含6.6.椭圆椭圆一、椭圆的定义和方程1椭圆的定义平面内到两定点 F1、F2的距离的和等于常数 2a(大于|F1F2|=2c)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦点.定义中特别要注意条件 2a2c，否则轨迹不是椭圆；当 2a2c 时，动点的轨迹是线段；当 2a2c时，动点的轨迹不存在。2椭圆的方程(1)焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程：1(ab0)x2a2y2b2(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程：1(ab0)y2a2x2b2二、椭圆的简单几何性质(a2b2c2)标准方程1(ab0)x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b2图形范围axabybbxbaya对称性对称轴：x 轴，y 轴对称中心：坐标原点性质顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴 A1A2的长为 2a 短轴 B1B2的长为 2b 焦距|F1F2|2c性质离心率e(0,1)caQQ3742892363a，b，c的关系c2a2b27.双曲选双曲选一、双曲线的定义平面内与两个定点 F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线两个定点 F1、F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做双曲线的焦距.二、双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b2图形范围xa 或 xa_ ya 或 ya对称性对称轴：x 轴、y 轴对称中心：坐标原点对称轴：x 轴，y 轴对称中心：坐标原点性质顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线y xbay xab离心率e，e(1，)其中 ccaa2b2性质实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的实半轴，b 叫做双曲线的虚半轴a、b、c关系c2a2b2(ca0，cb0)QQ37428923648抛物线抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点不在定直线 l 上)。定点FF叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。方程叫做抛物线的标准方程。F022ppxy注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是；2p2px（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以pxy22pyx22pyx22及准线方程如下表：一次项的字母定轴（对称轴），一次项的符号定方向（开口方向）标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp 22(0)xpyp22(0)xpyp 图形焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px 2px 2py 2py 范围0 x 0 x 0y 0y 对称性轴x轴x轴y轴y顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率1e 1e 1e 1e 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：p是焦点到准线的距离。2.焦点弦(以抛物线 y22px(p0)为例)设 AB 是过焦点 F 的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p；|AB|min2p；x1x2；y1y2p；|AF|x1,|BF|x2.p24p2p2oFxyloxyFlxyoFlQQ374289236
