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1高等数学上册重要知识点高等数学上册重要知识点第 1 章 函数与极限一.函数的概念1 两个无穷小的比较设且0)(lim,0)(limxgxflxgxf)()(lim（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0，称g(x)是比f(x)(xg低阶的无穷小。（2）l 0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l=1，称，称f(x)与与g(x)是等价无穷小，记以是等价无穷小，记以f(x)g(x)2 常见的等价无穷小当x 0时sin x x，tan x x，x，xxarcsinxarccos1 cos x ，1 x，x，2/2xxe)1ln(x1)1(xx二 求极限的方法求极限的方法1两个准则准则 1单调有界数列极限一定存在准则2（夹逼定理夹逼定理）设g(x)f(x)h(x)放缩求极限若，则AxhAxg)(lim,)(limAxf)(lim2两个重要公式公式 11sinlim0 xxx公式 2exxx/10)1(lim3用无穷小重要性质和等价无穷小代换4 4用泰勒公式用泰勒公式当时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次x0)()!12()1(.!5!3sin)(!.!3!2112125332nnnnnxxonxxxxxxonxxxxe)(!2)1(.!4!21cos2242nnnxonxxxxQQ3742892362)()1(.32)1ln(132nnnxonxxxxx)(!)1().(1(.!2)1(1)1(2nnxoxnnxxx)(12)1(.53arctan1212153nnnxonxxxxx5 5洛必达法则洛必达法则定理定理 1 1 设函数、满足下列条件：)(xf)(xF（1），；0)(lim0 xfxx0)(lim0 xFxx（2）与在的某一去心邻域内可导，且；)(xf)(xF0 x0)(xF（3）存在（或为无穷大），则 )()(lim0 xFxfxx这个定理说明：当存在时，也存在且等于；)()(lim0 xFxfxx)()(lim0 xFxfxx)()(lim0 xFxfxx当为无穷大时，也是无穷大)()(lim0 xFxfxx)()(lim0 xFxfxx这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（洛必达（ospital）法则）法则.HL例例 1 计算极限.0e1limxxx解解 该极限属于“”型不定式，于是由洛必达法则，得00.0e1limxxx0elim11xx例例 2 2 计算极限0sinlimsinxaxbx解解 该极限属于“”型不定式，于是由洛必达法则，得0000sincoslimlimsincosxxaxaaxabxbbxb注 若仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即(),()fx g x()()()limlimlim()()()xaxaxaf xfxfxg xg xgx二、二、型未定式型未定式定理定理 2 2 设函数、满足下列条件：)(xf)(xF（1），；)(lim0 xfxx)(lim0 xFxx（2）与在的某一去心邻域内可导，且；)(xf)(xF0 x0)(xF)()(lim)()(lim00 xFxfxFxfxxxxQQ3742892363（3）存在（或为无穷大），则 )()(lim0 xFxfxx注：上述关于时未定式型的洛必达法则，对于时未定式0 xx x型同样适用例例 3 3 计算极限lim(0)nxxxne解解 所求问题是型未定式，连续次施行洛必达法则，有nlimenxxx1limenxxnx2(1)limenxxn nx!lim0exxn使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“”和“”型的未定式，其它的未定式须00先化简变形成“”或“”型才能运用该法则；00（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在 7 7利用导数定义求极限基本公式(如果存在）)()()(lim0000 xfxxfxxfx8利用定积分定义求极限 基本格式（如果存在）101)()(1limdxxfnkfnnkn3函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设 是函数y=f(x)的间断点。如果f(x)在间断点处的左、右极限都存在，0 x0 x则称是f(x)的第一类间断点。0 x第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。4闭区间上连续函数的性质 在闭区间a,b上连续的函数f(x)，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。定理1（有界定理）如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)必在a,b上有界。)()(lim)()(lim00 xFxfxFxfxxxxQQ3742892364定理2（最大值和最小值定理）如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m。定理3（介值定理）如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，且其最大值和最小值分别为M 和m，则对于介于m和M 之间的任何实数c，在a,b上至少存在一个，使得f()=c推论：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一个点，使得f()=0这个推论也称为零点定理第二章第二章 导数与微分导数与微分1.复合函数运算法则设y=f(u)，u=(x)，如果(x)在x处可导，f(u)在对应点u处可导，则复合函数y=f (x)在x处可导，且有)()(xxfdxdududydxdy对应地，由于公式不管u 是自变量或dxxxfduufdy)()()(duufdy)(中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。2.由参数方程确定函数的运算法则设x=(t)，y=确定函数y=y(x)，其中存在，且 0，则)(t)(),(tt)(t)()(ttdxdy二阶导数3)()()()()(22tttttdxdtdtdxdyddxdxdyddxyd3.反函数求导法则反函数求导法则设y=f(x)的反函数x=g(y)，两者皆可导，且f(x)0则)0)()(1)(1)(xfygfxfyg4 隐函数运算法则（可以按照复合函数理解）隐函数运算法则（可以按照复合函数理解）设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定，求y的方法如下：把F(x,y)=0两边的各项对x求导，把y 看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y 的表达式（允许出现y 变量）5 对数求导法则对数求导法则 （指数类型（指数类型 如如）xxysin先两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y。对数求导法主要用于：幂指函数求导数多个函数连乘除或开方求导数（注注QQ3742892365意定义域意定义域 P106P106 例例6 6）关于幂指函数y=f(x)g(x)常用的一种方法,y=这样就可以直接用)(ln)(xfxge复合函数运算法则进行。6 可微与可导的关系f(x)在处可微 f(x)在 处可导。0 x0 x7 求n阶导数（n 2，正整数）先求出 y,y,总结出规律性，然后写出y(n)，最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n 阶导数公式（1）xnxeyey)(,（2）nxnxaayay)(ln,)(（3）,xysin)2sin()(nxyn（4）,xycos)2cos()(nxyn(5),xylnnnnxny)!1()1(1)(QQ3742892366第第 3 章章 微分中值定理与导数应用微分中值定理与导数应用一 罗尔定理设函数 f(x)满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）f(a)=f(b)则存在 (a,b)，使得 f()=0二 拉格朗日中值定理（证明不等式拉格朗日中值定理（证明不等式 P134P134 9 9、1010）设函数 f(x)满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；则存在 (a,b)，使得)()()(fabafbf推论1若f(x)在(a,b)内可导，且f(x)0，则f(x)在(a,b)内为常数。推论2若f(x)，g(x)在(a,b)内皆可导，且f(x)g(x)，则在(a,b)内f(x)=g(x)+c，其中c为一个常数。三 柯西中值定理设函数f(x)和g(x)满足：（1）在闭区间a,b上皆连续；（2）在开区间(a,b)内皆可导；且g(x)0则存在(a,b)使得)()()()()()(gfagbgafbf)(ba（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g(x)=x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）四 泰勒公式（泰勒公式（估值估值 求极限（麦克劳林）求极限（麦克劳林）P145P145 T10T10）定理 1（皮亚诺余项的n 阶泰勒公式）设f(x)在0 x 处有n 阶导数，则有公式，称为皮亚诺余项对常用的初等函数如,sin x,cos x,ln(1+x)和（为实常数）等的n阶xe)1(x泰勒公式都要熟记。定理2（拉格朗日余项的n 阶泰勒公式）设f(x)在包含0 x 的区间(a,b)内有n+1阶导数，在a,b上有n阶连续导数，则对xa,b，有公式 ，,称为拉格朗日余项上面展开式称为以0 x 为中心的n 阶泰勒公式。当=0 时，也称为n阶麦克劳麦克劳0 xQQ3742892367林林公式。导数的应用一 基本知识设函数f(x)在处可导，且为f(x)的一个极值点，则。0 x0 x0)(0 xf我们称x 满足的 称为的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，0)(0 xf0 x)(xf反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。极值点判断方法极值点判断方法 第一充分条件 在的邻域内可导，且，则若当时,)(xf0 x0)(0 xf0 xx，当时，则为极大值点；若当时，0)(xf0 xx 0)(xf0 x0 xx，当时，则为极小值点；若在的两侧0)(xf0 xx 0)(xf0 x0 x不变号，则不是极值点.)(xf 0 x 第二充分条件在在处二阶可导，且处二阶可导，且，则，则若若，)(xf0 x0)(0 xf0)(0 xf0)(0 xf则则为极大值点；为极大值点；若若，则，则为极小值点为极小值点.0 x0)(0 xf0 x二 凹凸性与拐点1凹凸的定义设f(x)在区间I 上连续，若对任意不同的两点1 2 x,x，恒有则称f(x)在I 上是凸（凹）的。在几何上，曲线y=f(x)上任意两点的割线在曲线下（上）面，则y=f(x)是凸（凹）的。如果曲线y=f(x)有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下）则y=f(x)是凸（凹）的。2 拐点的定义曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。3 凹凸性的判别和拐点的求法QQ3742892368设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，)(xf如果在(a,b)内的每一点x，恒有 0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的；)(xf如果在(a,b)内的每一点x，恒有 0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的。)(xf求曲线y=f(x)的拐点的方法步骤是：第一步：求出二阶导数；)(xf第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点；kxxx,.2,1第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标；第四步：求出拐点的纵坐标。四 渐近线的求法五 曲率QQ3742892369第四章 不定积分一基本积分表：一基本积分表：CaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020QQ37428923610二二 换元积分法和分部积分法换元积分法（1 1）第一类换元法（凑微分）：）第一类换元法（凑微分）：)()(d)()(xuduufxxxf（2 2）第二类换元法（变量代换）：）第二类换元法（变量代换）：)(1d)()()(xttttfdxxf分部积分法分部积分法vduuvudv使用分部积分法时被积函数中谁看作谁看作有一定规律。)(xu)(xv记住口诀，反对幂指三为记住口诀，反对幂指三为，靠前就为，例如，应该是)(xu)(xuxdxexarcsin为，因为反三角函数排在指数函数之前，同理可以推出其他。xarcsin)(xu三 有理函数积分有理函数积分 有理函数：)()()(xQxPxf 其中是多项式。)()(xQxP和和 简单有理函数：21)()(,1)()(xxPxfxxPxf )()()(bxaxxPxf baxxPxf 2)()()(1、“拆拆”；2、变变量代量代换换（三角代（三角代换换、倒代、倒代换换、根式代、根式代换换等）等）.QQ37428923611第五章 定积分一概念与性一概念与性质质1、定定义义：niiibaxfdxxf10)(lim)(2 2、性质：（性质：（1010 条）条）（3 3）QQ374289236123 基本定理变上限积分：设变上限积分：设，则，则推广：推广：xadttfx)()()()(xfx)()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxxN NL L 公式：若公式：若为为的一个原函数，则的一个原函数，则)(xF)(xf)()()(aFbFdxxfba4 定积分的换元积分法和分部积分法QQ37428923613QQ37428923614第 6 章 定积分的应用、平面平面图图形的面形的面积积1、直角坐直角坐标标：badxxfxfA)()(12 2、极坐极坐标标：dA)()(212122、体体积积1、旋旋转转体体体体积积：a)曲曲边边梯形梯形轴轴，绕绕轴轴旋旋转转而成的旋而成的旋转转xbxaxxfy,),(x体的体体的体积积：baxdxxfV)(2 b)曲曲边边梯形梯形轴轴，绕绕轴轴旋旋转转而成的旋而成的旋转转xbxaxxfy,),(yQQ37428923615体的体体的体积积：（柱壳法）（柱壳法）baydxxxfV)(22、平行截面面平行截面面积积已知的立体：已知的立体：badxxAV)(、弧弧长长1、直角坐直角坐标标：badxxfs2)(12、参数方程：参数方程：dttts22)()(极坐极坐标标：ds22)()(QQ37428923616第第 7 章章 微分方程微分方程、概念概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.、变变量可分离的方程量可分离的方程，两，两边积边积分分dxxfdyyg)()(dxxfdyyg)()(、齐齐次型方程次型方程，设设，则则；)(xydxdyxyu dxduxudxdy或或，设设，则则)(yxdydxyxv dydvyvdydx、一一阶线阶线性微分方程性微分方程)()(xQyxPdxdy用常数用常数变变易法或用公式：易法或用公式：QQ37428923617 CdxexQeydxxPdxxP)()()(、可降可降阶阶的高的高阶阶微分方程微分方程1、，两，两边积边积分分 次；次；)()(xfynn2、（不（不显显含有含有），令），令，则则；),(yxfy ypy py 3、（不（不显显含有含有），令），令，则则),(yyfy xpy dydppy 、线线性微分方程解的性微分方程解的结结构构1、是是齐齐次次线线性方程的解，性方程的解，则则也是；也是；21,yy2211yCyC2、是是齐齐次次线线性方程的性方程的线线性无关的特解，性无关的特解，则则是是21,yy2211yCyC方程的通解；方程的通解；3、为为非非齐齐次方程的通解，其中次方程的通解，其中为对为对*2211yyCyCy21,yy应齐应齐次方程的次方程的线线性无关的解，性无关的解，非非齐齐次方程的特解次方程的特解.*y、常系数常系数齐齐次次线线性微分方程性微分方程二二阶阶常系数常系数齐齐次次线线性方程：性方程：0 qyypy特征方程：特征方程：，特征根：，特征根：02qprr21,rr特征根特征根通通 解解实实根根 21rr xrxreCeCy2121221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyxQQ37428923618、常系数非常系数非齐齐次次线线性微分方程性微分方程 )(xfqyypy 1、)()(xPexfmx设设特解特解，其中，其中)(*xQexymxk是重根是一个单根不是特征根,k2102、xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(设设特解特解，xxRxxRexymmxksin)(cos)()2()1(*其中其中，,maxnlm 是是特特征征根根不不是是特特征征根根iik ,1 ,0QQ374289236