清北学堂高联一试模拟题(8)答案.pdf
FOEABCDOO清北学堂高联一试模拟题(八)1522a.由22220500 xxxaax，可知1a，且在区间(2,1)上220 510()xax只有一个整数解1x，即2224axx在区间(2,1)上只有一个整数解1x，由二次函数224yxx图像可知522a，经验证522a满足条件.2384.1，2，3,20 中 3 的倍数 6 个，除以 3 余 1 的数 7 个，除以 3 余 2 的数 7 个，故满足条件的取法3336776 7 7384CCC 种 3.13 136 过A作BC平行线AE，且使AEBC，则四边形ABCE为矩形.由,BAAD BAAE可知ABADE面，所以DECE.设O为四面体ABCD外接球球心，易知点E也在外接球上.过O作面ABCD和面ADE的投影，分别记为,OO.易知,O O分别为矩形ABCD和ADE的外心，所以221312sin3022DEAO，11.22OOFOAB 故外接球半径为22132OAAOO O.所以外接球的体积为3413 13.36OA 4.1,2)一方面，熟知222abcabbcca且当abc时取到等号.更多数学、物理竞赛资料(视频、文档)请加QQ咨询：360 2 2 77341 另一方面，当1,abc时，22222122()2abcccabbccacc.还需证明对任意三角形的三边长,a b c，均有2222()abcabbcca.事实上，不妨设abcab.注意到()式等价于222()()0cab cab，于是只需证明c在两个端点,b ab处取值时上式成立即可.当cab时，222()()40cab cabab 成立；当cb时，222()()(4)0cab caba ab亦成立.故22212abcabbcca.5.18 外角也构成等差数列，设度数分别为,(1)k kdknd，其中,k d是正整数.由外角和为360得，2(1)720knd n，这说明n是720的约数.注意到2(1)kndn，因此n的可能值从大至小为：24,20,18,.易验证24,20n 时无解，当18n 时2,3dk.6.50515049.注意到111111m nmnm nmn ，故101 100 994 350509998 972 1所求+1所求-1，于是50515049所求=.7.2n 设 012nnniiif nC，则(0)1f，11111001111(1)222nnniiinin in iiiiiiif nCCC 111121111()22ninninn iif nCC 112210111()2 22nninnin iif nCC 更多数学、物理竞赛资料(视频、文档)请加QQ咨询：360 2 2 77341 xyPNMO 112f nf n 即 12.f nf n 所以 2.nf n 8.221516425xyx 设00,P x y，则00:44MNx xy y，由MN与O相切，可知 22004216xy，化简得2200164xy，即所求方程为22164xy.又直线MN与曲线C交于两点，可知00040,2xxy.结合方程，可算得51.52x 9(1)tantansin3cos3tan()3cos3sin1tantan3AAAAAAA,故7,.3124AA(2)由于3222BC,故3sin22cossin(2)2coscos22BCCCC 221332cos1 2cos2cos2(cos)222CCCC ,当3C时取等.10.显然0 x 不是方程的解，两边同除以2x得2210axaxbxx.令1yxx得到关于y的一元二次方程2(2)0yayb.因为x是模长为1的复数，故12Reyxxx是 2,2中的实数.反过来，如果1xx是 2,2中的实数，可设12cos(0,2)xx，则cossinxi是模长为1的复数.这样，问题转化成求正整数组(,)a b使得关于y的方程2(2)0yayb的两个实根都在2与2之间.更多数学、物理竞赛资料(视频、文档)请加QQ咨询：360 2 2 77341 令2()(2)f yyayb，则易知2(2)220(2)2202224(2)0fabfabaab .对1,2,3,4a 分别讨论知，满足要求的正整数组有(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,4),(4,6)，共6组.11.本题使用调和点列的思想去证明，使用解析几何的知识。证明：设PC与AB交于点K.首先证明：,P D K C为调和点列，即PDKDPCKC.设00,P x y，则直线AB方程为00221x xy yab.设,P D K C为调和点列，且PDK DPCK C.设112233,A x yB x yKx y，则12012011xxxyyy，12123311xxxyyy.故1212121203032222211xxxxyyyyx xy yabab 22222112222222111xyxyabab.所以K在直线AB上，即,K K重合，结论成立.下面证明原题：由梅涅劳斯定理可知1CNMA PKNMAPKC，又由12AMAP，可知2CNKCNMPK（1）.由直线上托勒密定理可知CD KPCK PDCP DK.由,P D K C四点调和可知，CK PDCP DK.故2CD KPCK PD，即2CDCKPDKP（2）.结合（1），（2）可知，.CNCDNMPD 故/.NDPM 又N为AB中点，所以Q为PB中点.
