高考培优微专题《隐零点问题》解析版.pdf

高考数学 90个考点90个专题编著：林建彬（晋江二中）微信:fjmath高考数学培优微专题 隐零点问题【考点辨析】【考点辨析】隐零点主要指在研究导数问题中遇到的对于导函数 f(x)=0时,不能够直接运算出来或是不能够估算出来,导致自己知道方程有根存在,但是又不能够找到具体的根是多少,通常都是设 x=x0,使得 f(x)=0成立,这样的x0就称为“隐零点”.【知识储备】【知识储备】针对隐零点问题的解决步骤:(1)求导判定是不是隐零点问题;(2)设x=x0,使得 f(x0)=0成立;(3)得到单调性,并找到最值,将x0代入 f(x),得到 f(x0);(4)再将x0的等式代换,再求解(注意:x0的取值范围).【例题讲解】【例题讲解】类型一：确定函数的隐零点问题类型一：确定函数的隐零点问题1.1.已知函数 f(x)=axex-x-lnx(2)当a=1时，求 f(x)的最小值【解析】【答案】(1)当a=0时，g(x)=-x-lnxx，定义域为 0,+，则g(x)=-1+lnxx2，由g(x)0 xe；g(x)00 x0)，则 h(x)=ex+1x20，所以 h(x)在 0,+单调递增，又 h(1)=e-10，h12=e-2136【解析】【答案】解：(1)f(x)=aex+bx，k=f(1)=ae+b=e-1，又 f(1)=ae=e，解得：a=1，b=-1，2 f(x)=ex-lnx，(2)由(1)知 f(x)=ex-1x，f(x)=ex+1x20在(0,+)上恒成立，f(x)在(0,+)上为增函数，又 f12=e12-20，故存在x012,23使 f(x0)=ex0-1x0，当x0(0,x0)，f(x0)0，f(x)min=f(x0)=ex0-lnx0=x0+1x0，又函数g(x)=x+1x在12,23上单调递减，故x0+1x023+32=136，即 f(x)1363.3.已知函数 f(x)=ax+xlnx(aR)(2)当a=1且kZ时，不等式k(x-1)f(x)在x(1，+)上恒成立，求k的最大值【解析】【解答】解：(2)a=1时，f(x)=x+lnx，kZ时，不等式k(x-1)f(x)在x(1，+)上恒成立，k1)则h(x)=1-1x=x-1x0，h(x)在(1，+)上单增，h(3)=1-ln30，存在x0(3，4)，使 h(x0)=0即当 1xx0时h(x)0 即 g(x)x0时 h(x)0 即 g(x)0g(x)在(1，x0)上单减，在(x0+)上单增令h(x0)=x0-lnx0-2=0，即lnx0=x0-2，g(x)min=g(x0)=x0(1+lnx0)x0-1=x0(1+x0-2)x0-1=x0(3，4)kg(x)min=x0(3，4)，且kZ，kmax=3类型二：含参函数的隐零点类型二：含参函数的隐零点4.4.已知函数 f(x)=ex+(a-e)x-ax2.(2)若函数 f(x)在区间(0，1)内存在零点，求实数a的取值范围.【解析】【解析】(2)由题意得 f(x)=ex-2ax+a-e，3设g(x)=ex-2ax+a-e，则g(x)=ex-2a.若a=0，则 f(x)的最大值 f(1)=0，故由(1)得 f(x)在区间(0，1)内没有零点.若a0，故函数g(x)在区间(0，1)内单调递增.又g(0)=1+a-e0，所以存在x0(0，1)，使g(x0)=0.故当x(0，x0)时，f(x)0，f(x)单调递增.因为 f(0)=1，f(1)=0，所以当a0，由(1)得当x(0，1)时，exex.则 f(x)=ex+(a-e)x-ax2ex+(a-e)x-ax2=a(x-x2)0，此时函数 f(x)在区间(0，1)内没有零点.综上，实数a的取值范围为(-，0).5.5.已知函数 f(x)=ex-a-ln(x+a)(a0).(2)若函数 f(x)在区间(0,+)上的最小值为1,求实数a的值.【解析】(1)证明:因为 f(x)=ex-a-ln(x+a)(a0),所以 f(x)=ex-a-1x+a.因为y=ex-a在区间(0,+)上单调递增,y=1x+a在区间(0,+)上单调递减,所以函数 f(x)在(0,+)上单调递增.又 f(0)=e-a-1a=a-eaaea,令 g(a)=a-ea(a 0),g(a)=1-ea0,则g(a)在(0,+)上单调递减,g(a)g(0)=-1,故 f(0)0,所以函数 f(x)在(0,+)上存在唯一的零点.(2)解:由(1)可知存在唯一的x0(0,+),使得 f(x0)=ex0-a-1x0+a=0,即ex0-a=1x0+a.(*)函数 f(x)=ex-a-1x+a在(0,+)上单调递增,所以当x(0,x0)时,f(x)0,f(x)单调递增.所以 f(x)min=f(x0)=ex0-a-ln(x0+a),由(*)式得 f(x)min=f(x0)=1x0+a-ln(x0+a).所以1x0+a-ln(x0+a)=1,显然x0+a=1是方程的解.又因为y=1x-ln x在定义域上单调递减,方程1x0+a-ln(x0+a)=1有且仅有唯一的解x0+a=1,把x0=1-a代入(*)式,得e1-2a=1,所以a=12,即所求实数a的值为12.6.6.已知函数 f(x)=aln x-1x，aR R.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若关于x的不等式 f(x)x-2e在(0，+)上恒成立，求a的取值范围4【解析】解(1)因为 f(x)=aln x-1x的定义域为(0，+)，且 f(x)=ax+1x2=ax+1x2.若a0，则 f(x)0，所以 f(x)在(0，+)上单调递增若a0；当x-1a，+时，f(x)0，所以其必有两个零点又两个零点之积为-1，所以两个零点一正一负，设其中一个零点x0(0，+)，则x20-ax0-1=0，即a=x0-1x0.此时g(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，+)上单调递减，故g(x0)0，即 x0-1x0ln x0-x0-1x0+2e0.设函数h(x)=x-1xln x-x-1x+2e，则h(x)=1+1x2ln x+1-1x2-1+1x2=1+1x2ln x当x(0,1)时，h(x)0.所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+)上单调递增又h1e=h(e)=0，所以x01e，e.由a=x0-1x0在1e，e上单调递增，得a1e-e，e-1e.【解题策略】【解题策略】_5【教考衔接】【教考衔接】1.1.函数 f(x)=xex-ax+b的图象在x=0处的切线方程为：y=-x+1(1)求a和b的值；(2)若 f(x)满足：当x0时，f(x)lnx-x+m，求实数m的取值范围【解析】【解答】解：(1)f(x)=xex-ax+b，f(x)=(x+1)ex-a，由函数 f(x)的图象在x=0处的切线方程为：y=-x+1，知：f(0)=b=1f(0)=1-a=-1，解得a=2，b=1(2)f(x)满足：当x0时，f(x)lnx-x+m，mxex-x-lnx+1，令g(x)=xex-x-lnx+1，x0，则g(x)=(x+1)ex-1-1x=(x+1)(xex-1)x，设g(x0)=0，x00，则ex0=1x0，从而lnx0=-x0，g(12)=3(e2-1)0，由g(12)-g(1)0，知：x0(12,1)，当x(0，x0)时，g(x)0，函数g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+)上单调递增g(x)min=g(x0)=x0ex0-x0-lnx0=x0ex0-x0-lnx0=x01x0-x0+x0=1mxex-x-lnx+1恒成立mg(x)min，实数m的取值范围是：(-，12.2.已知函数 f(x)=ex-(k+1)ln x+2sin.(1)若函数 f(x)在(0，+)上单调递增，求实数k的取值范围；(2)当k=0时，证明：函数 f(x)无零点【解析】(1)解 f(x)=ex-k+1x，x0，函数 f(x)在(0，+)上单调递增，ex-k+1x0在(0，+)上恒成立，即k+1xex在(0，+)上恒成立，设h(x)=xex，则h(x)=(x+1)ex0在(0，+)上恒成立函数h(x)=xex在(0，+)上单调递增，则h(x)h(0)=0，k+10，即k-1，故实数k的取值范围是(-，-1(2)证明当k=0时，f(x)=ex-1x，x0，6令g(x)=ex-1x，x0，则g(x)=ex+1x20，f(x)在(0，+)上单调递增，且 f12=e-20，存在m12，1，使得 f(m)=0，得em=1m，故m=-ln m，当x(0，m)时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)min=f(m)=em-ln m+2sin=1m+m+2sin 2+2sin 0，函数 f(x)无零点3.3.设函数 f(x)=ex-ax-2.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)a=1,k为整数,且当x0时,(x-k)f(x)+x+10,求k的最大值.【解析】解:(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=ex-a.若a0,则 f(x)0,所以 f(x)在(-,+)上单调递增.若a0,则当x(-,ln a)时,f(x)0,所以 f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增.(2)由于a=1,所以(x-k)f(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.故当x0时,(x-k)f(x)+x+10等价于k0).令g(x)=x+1ex-1+x,则g(x)=ex(ex-x-2)(ex-1)2.由(1)知,函数 h(x)=ex-x-2 在(0,+)上单调递增.而 h(1)0,所以 h(x)在(0,+)上存在唯一的零点.故g(x)在(0,+)上存在唯一的零点.设此零点为,则(1,2).当x(0,)时,g(x)0.所以g(x)在(0,+)上的最小值为g().又由g()=0,可得e=+2,所以g()=+1(2,3).由于式等价于k0时，证明：f(x)g(x)【解析】(1)解g(x)=lnxx+2定义域为(0，+)，g(x)=1-lnxx2，则当x(0，e)时，g(x)0，g(x)在(0，e)上单调递增，当x(e，+)时，g(x)0)，即xex+1-ln x-x-20.7令h(x)=xex+1-ln x-x-2(x0)，h(x)=(x+1)ex+1-1+xx=(x+1)ex+1-1x，令(x)=ex+1-1x，则(x)在(0，+)上单调递增，而110=e1110-10e2-100，故(x)在(0，+)上存在唯一零点x0，且x0110，1，当x(0，x0)时，(x)0，h(x)0，h(x)0，h(x)在(x0，+)上单调递增，故h(x)min=h(x0)=x0ex0+1-ln x0-x0-2，又因为(x0)=0，即ex0+1=1x0，所以h(x0)=-ln x0-x0-1=(x0+1)-x0-1=0，从而h(x)h(x0)=0，即 f(x)g(x)5.5.已知函数 f(x)=acos x+bex(a，bR R)，曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=-x.(1)求实数a，b的值；(2)当x-2，+时，f(x)c(cZ Z)恒成立，求c的最小值【解析】解(1)因为 f(x)=-asin x+bex，所以f(0)=b=-1，f(0)=a+b=0，解得a=1，b=-1.(2)由(1)知 f(x)=cos x-ex，x-2，+，所以 f(x)=-sin x-ex，设g(x)=-sin x-exg(x)=-cos x-ex=-(cos x+ex)当x-2，0时，cos x0，ex0，所以g(x)1，所以g(x)0.所以当x-2，+时，g(x)0，g(x)单调递减，即 f(x)单调递减因为 f(0)=-1e2，所以1e2120，8所以x0-4，0，使得 f(x0)=-sin x0-ex0=0,即ex0=-sin x0.所以当x-2，x0时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(x0，+)时，f(x)0，f(x)单调递减所以 f(x)max=f(x0)=cos x0-ex0=cos x0+sin x0=2sin x0+4.因为x0-4，0，所以x0+4 0，4，所以sin x0+4 0，22，所以 f(x0)(0,1)由题意知，c f(x0)，所以整数c的最小值为1.9