概率论与数理统计课后习题标准答案(浙大第四版).pdf

概率论与数理统计作业习题解答（浙大第四版）第一章第一章第一章第一章 概率的基本概念概率的基本概念概率的基本概念概率的基本概念 习题解析习题解析习题解析习题解析 第第第第 1 1 1 1、2 2 2 2 题题题题 随机试验随机试验随机试验随机试验、样本空间样本空间样本空间样本空间、随机事件随机事件随机事件随机事件 -1写出下列随机试验的样本空间：（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出 2 个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。解解解解 （1）高该小班有 n 个人，每个人数学考试的分数的可能取值为 0，1，2，100，n个人分数这和的可能取值为 0，1，2，100n，平均分数的可能取值为0 1100,.,nnnn则样本空间为 S=0,1,2,100kknn=（2）样本空间 S=10，11，S 中含有可数无限多个样本点。（3）设 1 表示正品，0 有示次品，则样本空间为 S=（0，0），（1，0，0），（0，1，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，1，1），（0，1，1，1），（1，1，0，1），（1，1，1，0），（1，1，1，1）例如（1，1，0，0）表示第一次与第二次检查到正品，而第三次与第四次检查到次品。（4）设任取一点的坐标为（x，y），则样本空间为 S=22(,)1x y xy+-2设 A，B，C 为三个事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。（1）A 发生，B 与 C 不发生；（2）A 与 B 都发生，而 C 不发生；（3）A，B，C 中至少有一个发生；（4）A，B，C 都发生；（5）A，B，C 都不发生；（6）A，B，C 中不多于一个发生；（7）A，B，C 中不多于两个发生；（8）A，B，C 中至少有两个发生。解解解解 此题关键词：“与，”“而”，“都”表示事件的“交”；“至少”表示事件的“并”；“不多于”表示“交”和“并”的联合运算。（1）ABC。（2）ABC或 ABC。（3）ABC。（4）ABC。（5）ABC。（6）A，B，C中 不 多 于 一 个 发 生 为 仅 有 一 个 发 生 或 都 不 发 生，即ABCABCABCABC，A，B，C 中不多于一个发生，也表明,A B C中至少有两个发生，即ABBCACABC。（7）A，B，C 中不多于两个发生，为仅有两个发生或仅有一个发生，或都不发生，即表示为 ABCABCABCABCABCABCABC 而 ABC 表示三个事件都发生，其对立事件为不多于两个事件发生，因此又可以表示为ABC=ABC。（8）A，B，C 中至少有两个发生为 A，B，C 中仅有两个发生或都发生，即为 ABCABCABCABC 也可以表示为 ABBCAC。第第第第 3 3 3 3.（1 1 1 1）、）、）、）、6 6 6 6、8 8 8 8、9 9 9 9、10101010 题题题题 概率的定义概率的定义概率的定义概率的定义、概率的性质概率的性质概率的性质概率的性质、古典概型古典概型古典概型古典概型 -3（1）设 A，B，C 是三件，且11()()(),()()0,(),48P AP BP CP ABP BCP AC=求 A，B，C 至少有一个生的概率。解解解解 利用概率的加法公式 315()()()()()()()()488P ABCP AP AP CP ABP BCP ACP ABC=+=其中由()()0,P ABP BC=而ABCAB得()0P ABC=。-6在房间里有 10 个人，分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章，任选 3 人记录其纪念章的号码。求（1）最小号码为 5 的概率；（2）最大号码为 5 的概率。解解解解 利用组合法计数基本事件数。从 10 人中任取 3 人组合数为310C，即样本空间S=310120C=个基本事件。（1）令事件 A=最小号码为 5。最小号码为 5，意味着其余号码是从 6，7，8，9，10 的 5个号码中取出的，有25C种取法，故 A=2510C=个基本事件，所求概率为 253105!1012!3!()10!120123!7!CP AC=（2）令事件 B=最大号码为 5，最大号码为 5，其余两个号码是从 1，2，3，4 的 4 个号码中取出的，有24C种取法，即 B=24C 个基本事件，则 243104!612!2!()10!120203!7!CP BC=-8在 1 500 个产品中有 400 个次品，1 100 个正品。从中任取 200 个。求（1）恰有 90 个次品的概率；（2）至少有 2 个次品的概率。解解解解 （1）利用组合法计数基本事件数。令事件 A=恰有 90 个次品，则 9011040011002001500()CCP AC=（2）利用概率的性质。令事件 B=至少有 2 个次品，A=恰有i个次品，则 23200,BAAAAiAiij=()所求概率为 200232002()(,()iiP BP AAAP A=）显然，这种解法太麻烦，用对立事件求解就很简单。令事件B=恰有 0 个次品或恰有1 个次品，即01BAA=，而 200119911004001100010120020015001500()()()()CCCP BP AAP AP ACC=+=+故 20011991100400110020020015001500()1()1CCCP BP BCC=-9 从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，问这 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？解解解解 令事件 A=4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双。用 3 种方法求 P（A）。A 的对立事件A=4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双，从 5 又鞋中任取 4 只，即从 10 只鞋中任取 4 只，所有可能组合数为410C，样本空间 S=410C个基本事件，现考虑有利于A的基本事件数。从 5 双鞋中任取 4 双，再从每双中任取一只，有4452C种取法，即A=4452C个基本事件，则 444541025 213()1()1121021CP AP AC=4 只鞋是不放回的一只接一只的取出，所有可能的排列数为410A，即样本空间 S=410A个基本事件。现考虑有利于A的基本事件，从 10 只鞋中任取一只，与它配成双的一只不取，从其余 8 只鞋中任取一只，与它配成双的一只不取，依此类推，则A=10864个基本事件。于是 41010 8 6 410 8 6 4813()1()11110 9 8 72121P AP AA =利用组合法计数基本事件数。考虑有利于事件 A 的基本事件数，任取的 4 只鞋配成一双的取法有12225242C C C种，能配成两双的取法有2252C C种，于是 A=（12225242C C C+2252C C）个基本事件，则 12222252452410213013()21021C C CC CP AC+=此题的第 1 种方法和第 2 种方法是利用概率性质：()P A+()P A=1 首先求()P A，然后求()P A。第 3 种方法是直接求()P A。读者还可以用更多方法求()P A。-10在 11 张卡片上分别写上 Probability 这 11 个字母，从中任意连抽 7 张，求其排列结果为ability 的概率。解解解解 令事件 A=排列结果为 ability，利用排列法计数基本事件数。不放回的从中一次抽 1张的连抽 7 张，要排成单词，因此用排列法。样本空间=711A个基本事件。排列结果 为 ability，实际收入字母 b 的卡片有两张，写字母 i 的卡片有两张，取 b 有12C种取法，取 i 有12C种取法，其余字母都只有 1 种取法，故1122AC C=个基本事件，于是 11227114()0 000002411 10 9 8 7 6 5C CP AA=这是个小概率事件。第第第第 1 1 1 14.4.4.4.（2 2 2 2）、）、）、）、1 1 1 15 5 5 5、19191919、18181818 题题题题 条件概率条件概率条件概率条件概率、概率的加法公式和乘法公式概率的加法公式和乘法公式概率的加法公式和乘法公式概率的加法公式和乘法公式-14（2）已知111()(),(),()432P AP B AP A BP AB=，求。解解解解 利用概率加法公式和概率乘法公式。()()()()P ABP AP BP AB=+解此题的关键是求()()P BP AB和。由概率乘法公式，得 111()()()4312P ABP A P B A=又()()()P ABP B P A B=，解得 1()112()1()62P ABP BP A B=于是所求概率为 1111()46123P AB=+=此题的关键是利用()()()()P A P B AP B P A B=，求出()P AB和()P B，再 求()P AB就迎刃而解了。-15掷两颗骰子，已知两颗骰子点数和为 7，求其中有一颗为 1 点的概率（用两种方法）。解解解解 令事件 A=两颗骰子点数之和为 7，B=有一颗为 1 点。此题是求条件概率()P B A。两种方法如下：考虑整个样本空间。随机试验：掷两颗骰子，每颗骰子可能出现的点数都是 6 个，即样本空间 S=26个基本事件。事件 AB=两颗骰子点数之间和为 7，且有一颗为 1 点，两颗骰子点数之和为 7 的可能结果为 6 个，即 A=（1，6），（2，5），（3，4），（6，1），（5，2），（4，3）而 AB=（1，6），（6，1）。由条件概率公式，得 2()2136()6()6336P ABP B AP A=已知事件 A 发生后，将 A 作为样本空间，其中有两个结果（1，6）和（6，1）只有一颗骰子出现 1 点，则在缩减的样本空间中求事件 B 发生的条件概率为 21()63P B A=-18某人忘记了电话号码的最后一个数，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解解解解 利用概率性质(有限可加性)和概率乘法公式。令事件Ai=第 i 次拨通电话，“到第 i 次拨通电话”这个事件为121iiA AA A（i=1，2，3）。事件 B=不超过三次而拨通电话，则 B=112123AA AA A A 该事件表示第一次拨通电话，或者第一次未拨通，第二拨通电话（到第二次拨通电话），或者第一、二次未拨通，第三次拨通电话（到第三次拨通电话）。右端是互不相容事件的并事件，所以用有限可加性计算，得 1121231121231121121312()()()()()()()()()()()191981310109109810P BP AA AA A AP AP A AP A A AP AP A P A AP A P A A P A A A=+=+=+=拨号是从 0，1，2，9 的 10 个数字中任取一个，有 10 种取法，第一次拨通的概率是110；第一次未拨通的概率为910，第二次拨号时，是从其余 9 个数字中任取一个，所以拨通的概率为19，到第二次拨通的概率为91110910=，依此类推，到第 n 次拨通电话的概率都是110，与顺序无关。已知最后一个数字是奇数时，令事件 C=拨号不超过三次而接通电话。拨号是从 1，3，5，7，9 的五个数字中任取一个，有 5 种取法，第一次拨通的概率为15，到第二次拨通的概率为411545=，到第三次拨通的概率为43115435=，与上述分析方法和用的概率公式相同，所以 1414313()5545435P C=+=第第第第 21212121、22222222、35353535、38383838 题题题题 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式、贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯公式、事件的独立性事件的独立性事件的独立性事件的独立性 -21已知男人中有005是色盲患者，女人中有000.25是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解解解解 令事件 A=随机地选一人是女性，对立事件A=随机地选一人是男性。因为人群中男女人数相等，所以1()()2P AP A=，且 A，A是样本空间的一个划分。事件 C=随机地挑选一人恰好是色盲。已知 0.255(),()100100P C AP C A=由全概率公式，得 ()()()()()10.25150.0262521002100P CP A P C AP A P C A=+=+=由贝叶斯公式，得 15()()()2100()0.9524()()0.02625P A P C AP ACP A CP CP C=-22一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为 P，若第一次及格则第二次及格的概率也为 P；若第一次不及格则第二次及格的概率为2p。（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解解解解 令事件 Ai=一学生第 i 次考试及格（i=1，2），已知 112121(),()1,()()2PP AP P AP P A A P A A=（1）由概率加法公式，得 12121212121()()()()()()()()P AAP AP AP A AP AP AP A P A A=+=+利用对立事件求概率 1212121211122()1()1()1()()1()1()311(1)(1)222P AAP AAP A AP A P A AP AP A APPPP=显然用后者求解简单。（2）利用条件概率公式。12112212222()()()()()()2(1)12P A P A AP A AP A AP AP APPPPPP=+-35如果一危险情况 C 发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性，在 C 发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的开关联联接，它们每个具有 0.96 的可靠性（即在情况 C 发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率），是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999 的系统,则至少需要用多少只开关并联?设各开关闭合与否是相互独立的。解解解解 利用事件的独立性。令事件iA=第 i 只开关闭合。已知12()()0.96P AP A=。令事件 B=电路闭合。两只开关并联联接，则12BAA=，即至少有一只开关闭合，电路就闭合。而12AA与相互独立，所以电路闭合的概率为 12121212122()()()()()()()()()0.960.96(0.96)0.9984P BP AAP AP AP A AP AP AP A P A=+=+=+=这种解题思路是读者容易想到的.另一种解法是利用对立事件,计算此较简单.121212122()()1()1()1()()1 0.040.9984P BP AAP AAP A AP A P A=设需要 n 只开关并联,才保证系统可靠性为 0.9999。令事件iA=第 i 只开关闭合（i=1，2，n）。令事件 C=电路闭合，则12nCAAA=。如果用概率加法公式表示()PC=将是相当麻烦的，不妨表示为 112111112233()()()()()(1)()0.96(0.96)(0.96)(1)(0.96)nnnnniijijKiiij nij k ninnnP CP AAAP AP A AP A A APAnCC=+=+已知()0.9999P C=，解 n 实际上是很难办到的。如果用对立事件表示()P C，显然比较简单，即 121212()1()1()1()()()1(0.04)nnnnP CP AAAP A AAP A P AP A=已 知1 0.040.9999n，即1 0.040.0001n，两 边 取 以 e 为 底 的 对 数，得1(0.04)1(0.0001)nnn，则 1(0.0001)9.21032.861(0.04)3.2189nnn=故至少需要 3 只开关并联联接。此题表明对立事件及德莫根律对解决实际问题有多么重要。-36三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1 5,1 3,1 4。问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解解解解 令事件Ai=第 i 人能译出密码（i=1，2，3），且11()5P A=，21()3P A=，31()4P A=，B=三人中至少有一人能译出密码与事件“密码被译出”是相等事件。又123,A A A相互独立。利用概率的加法公式和事件的独立性。123123121323123()()()()()()()()()1111111111110.6534535434534P BP AAAP AP AP AP A AP A AP A AP A A A=+=+=利用对立事件和事件的独立性。123123123123()()1()1()1()()()11131(1)(1)(1)0.65345P BP AAAP AAAP A A AP A P AP A=-38袋中装 m 只正品硬币、n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一只，将它投掷 r 次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？解解解解 令事件 A=任取一只硬币是正品,对立事件A=任取一只硬币是次品,且(),()mnP AP Amnmn=+，B=把硬币投掷 r 次，每次都得到国徽面，令事件iB=把硬币投掷 i 次，有 i 次得到国徽（i=1，2，r）。如果硬币是正品，则投掷一次出现任何一面的概率都是12；如果硬币是次品，则投掷一次出现国徽面的概率是 1。于是 111222()()()()()112()()()()()111 1221()12iiiP BP A P B AP A P B AmnmnmnP BP A P B AP A P B AmnmnmnmnP Bmnmn=+=+=+=+=+则 1()()1212rrrrmnP BP Bmnmnmnmnmn=+=+所求概率为 ()()()()()()12122rrrP A P B AP ABP A BP AP Bmmmnmnmnmnmn=+=+第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布 习题解析习题解析习题解析习题解析 第第第第 2.2.2.2.（1 1 1 1）、）、）、）、3 3 3 3、6 6 6 6、7 7 7 7、12121212、17171717 题题题题 离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律 -2（1）一袋中装有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5。在袋中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3只球中的最大号码，现实性出随机变量 X 的分布律。解解解解 随机变量 X 的所有可能取值为 3，4，5，求取各个值的概率用古典概型。2235233524351135!103!2!3!32!1!45!103!2!4!32!2!55!53!2!CP XCCP XCCP XC=则随机变量 X 的分布律为 X 3 4 5 kP 110 310 35 如果用概率函数表示，则为 2135kCP XkC=(3,4,5)k=-3 设在 15 只同类型的零件中有 2 只是次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样。以 X 表示取出的次品的只数。（1）求 X 的分布律；（2）画出分布律的图型。解解解解 随机变量 X 的所有可能值为 0，1，2，求取各个值的概率用古典概型。（1）X 取各个值的概率分别为 03213315122133152121331513!223!10!015!353!12!13!2122!11!115!353!12!131215!353!12!C CP XCC CP XCC CP XC=则 X 的分布律为 X 0 1 2 kP 2235 1235 135 因为1kP=,所以只要求出0,1P XP X=则2101P XP XP X=。X 的分布律用概率函数表示为 3213315kkC CP XkC=(0,1,2)k=-6 一大楼装有 5 个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻 t 每个设备被使用的概率为 0.1，问在同一时刻 （1）恰有 2 个设备被使用的概率是多少？（2）至少有 3 个设备被使用的概率是多少？（3）至多有 3 个设备被使用的概率是多少？（4）至多有 1 个设备被使用的概率是多少？解解解解 5 个同类型的供水设备，在任一时刻是否被使用相互独立，而在同一时刻被使用的个数 X 服从二项分布 b（5，0，1），故用二项分布求解 X 取各个值，或在某个范围内取值的概率。（1）因为 X 服从二项分布 b（5，0，1），分布律为 5(0.1)(0.9)kkkP XkC=（k=0，1，2，3，4，5）于是 225 252(0.1)(0.9)10 0.01 0.7290.0729P XC=（2）5553335 3445 4555 55553(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.5)(0.9)10 0.001 0.81 5 0.0001 0.90.000010.00856kkkkP XCCCC=+=+=（3）35500051422333255553(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.590490328050.07290.00810.99954kkkkP XCCCCC=+=+=或用对立事件求解。55544455505545313141(0.1)(0.9)1(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)1 5 0.10.90.1 1 0.000450.00010.99954kkkkP XP XP XCCC=+=+=+=后者计算比前者简单。（4）55511(0.1)(0.9)kkkkP XC=，显然计算过程比较麻烦，但用对立事件求解相当简单。00555111101(0.1)(0.9)1 0.91 0.590490.40951P XP XP XC=-17（1）设 X 服从（0-1）分布，其分布律为1(1),0kKP XkPPk=，1，求 X 的分布函数，并作出其图形；（2）求第 1 题中的随机变量的分布函数。解解解解 （1）X 的分布函数为 1()(1)0,11,kKk xF xP XxPPP=001xxx （2）第 1 题中随机变量 X 的分布律为 X 3 4 5 kP 110 310 35 X 的分布函数为()F xP Xx=，求法如下。当3x时，则 ()0F xP Xx=当34x时，则 ()30.1F xP XxP X=当45x时，则 ()340.10.30.4F xP XxP XP X=+=+=当5x 时，则 ()3451F xP XxP XP XP X=+=+=综合表示为 0,1,10()134,1010101331,10105F x=+=+=334455xxxx 第第第第 1 1 1 19 9 9 9、21212121、27272727、34343434、35353535、36363636 题题题题 随机变量的分布函数随机变量的分布函数随机变量的分布函数随机变量的分布函数、连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 -19以 X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），X 的分布函数是 0.41,()0,xeFx x=00 xx 求下述概率：（1）P至多 3 分钟；（2）P至少 4 分钟；（3）P3 分钟至 4 分钟之间；（4）P至多 3 分钟或至少 4 分钟；（5）P恰好 2.5 分钟。解解解解 （1）0.4 31.23(3)110.6988xP XPee=（2）0.4 44141(4)0.2019XP XP XFe=（3）0.4 40.4 33443(4)(3)1(1)0.0993XXPXP XP XFFee=（4）0.4 30.4 4341(1)0.69880.20190.9007P XP Xee+=+=+=（5）0.250P X=。-21设随机变量 X 的概率密度为 （1）22(1 1),()0,xf x=12x其它 （2）,()2,0,xf xx=0112xx其它 求X的分布函数()F x，并画出（2）中的()f x及()F x的图形。解解解解 （1）当1x 时，F（x）=0；当12x时，则 1211211()()02(1)112(1)2()224xxxxF xf t dtdtdttdttttxx=+=+=+当2x 时，F（x）=1。综合表示为 0,2()24,1,F xxx=+1122xxx（2）当0 x 时，F（x）=0；当01x时，则 0201()()02xxF xf t dtdttdtx=+=当12x时，则 01011210122()()0(2)11(2)(2)22111122212222xxxxF xf t dtdttdtt dttdtt dtttxxxx=+=+=+=+=+当2x 时，F（x）=1。综合表示为 220,1,2()12121,xF xxx=+001122xxxx -27某地区 18 岁女青年的血压（收缩压，以 mmHg 计）服从 N（110，212）。在该地区任选一 18 岁的女青年，测量她的血压 X。（1）求105,100120P XPX。解 设女青年的血压为 X，则2(110,12)XN，由此得 110(0,1)12XN（1）110105 110105121255()1()12121(0.4167)1 0.66280.3372XP XP=100 110110120 11010012012121251105()6126555()()2()16662(0.833)12 0.7967 10.5934XPXPXP=，用对立事件得 10.05,0.951101100.951212P XxP XxXxP 查表得1101.64512x，解出129.74x，则 x 的最小值为 129.74。第第第第 33333333、题题题题 随机变量的函数分布随机变量的函数分布随机变量的函数分布随机变量的函数分布 -33设随机变量 X 的分布律为 X-2 -1 0 1 3 kP 15 16 15 115 1130 求2YX=的分布律。解 2YX=的所有可能取值为 0，1，4，9，取各个值的概率分别为 2222100051111117615304421125993311330P YP XP XP YP XP XP XP YP XP XP XP XP YP XP XP XP X=+=+=+=+=于是 Y 的分布律为 Y 0 1 4 9 kP 15 730 15 1130 此题 Y 与 X 不一一对应，X 取值为-1，1 对应 Y 取值为 1，这时1P Y=等于11P XP X=与之和。用表格表示 Y 在的分布律时，通常 Y 取值从小到大排序，看起来比较整齐。-34 设随机变量 X 在（0，1）上服人均匀分布。（1）求XYe=的概率密度；（2）求21YnX=的概率密度。解 X 的概率密度为 1,()0,Xfx 01x其它 首先求 Y 的分布函数，然后求 Y 的概率密度。（1）设()YFy为 Y 的分布函数，()YFy为Y 的概率密度。当1y时，()YFy=0；当1ye时，则 10()11nyXYFyP YyeyP Xnydxny=当ye时，()YFy=1。综合表示为 0,()ln,1,YFyy=11yyeye 于是 Y 的概率密度为 1,()()0,YYdFyyfydy=1ye其它（2）当0y时，()YFy=0；当0y 时，则 2212()211yYyyeFyP YyPnXyP Xedxe=综合表示为 20,()1yYFye=00yy 由此可见，Y 服从参数为12的指数分布。直接求 Y 的概率密度()YFy。（1）因为XYe=对应的函数xye=是严格单调增加函数，可以应用教材中的定理求解。xye=的反函数为1xny=，又1dxdyy=，当1ye时，则 1()(1)YXdxfyfnydyy=综合表示为 1,()0,Yyfy=1ye其它 随机变量 Y 的取值范围根据 X 的取值范围（01x）和函数xye=来确定。当ay-35 设 XN（0，1）。（1）求XYe=的概率密度；（2）求221YX=+的概率密度；（3）YX=的概率密度。解 X 的概率密度为 221()2xYfye=()x （2）当1y 时，()YFy=0；当1y时，则 2222112222102()21112211222YyyxxyFyP YyPXyyyP XP Xedxedx=+=于是 Y 的概率密度为 141,()()2(1)0,yYYedFyfyydy=11yy（3）当0y时，()0YFy=；当0y 时，则 22220()11222YxxyyyFyP YyP Xyedxedx=于是 Y 的概率密度为 222(),()0,yYYdFyefydy=00yy 直接求 Y 的概率密度()Yfy。（1）XYe=对应的函数xye=是严格单调增加函数，其反函数为1xny=，又1dxdyy=，则Y 的概率密度为 2(1)21,()20,nyYefyy=00yy（2）221YX=+对应的函数221yx=+是非单调函数，分成两个单调区间，当0 x时，则12yx=，当0 x时，12yx=。于是当1y 时，有 11441411()()()2211112222112(1)YXXyyyyydxfyffdyeeyey=+=+=当1y 时，()Yfy=0。综合表示为 141,()2(1)0,yYefyy=11yy (3)YX=对应的函数yx=是非单调函数,分成两个单调区间,其反函数xy=,又1dxdy=，当0y 时，()0Yfy=；当0y时，则 222222()12yyYfyee=综合表示为 222,()0,yYefy=00yy-36（1）设随机变量 X 的概率密谋为()f x，x。求3YX=的概率密度。（2）设随机变量 X 的概率密度为 ,()0,xef x=0 x其他 求2YX=的概率密度。解 设 Y 的分布函数为()YFy，概率密度为()Yfy。首先求()YFy，然后求()Yfy。（1）333()()YyFyP YyP XyPXyf x dx=()y +则 Y 的概率密度为 233()1()()3YdF yfyfyydy=(0)y （2）当0y 时，()YFy=0；当0y 时，则 200()0()1YyyyxxFyP YyP XyPXye dxee=综合表示为 0,()1YyFye=00yy 直接求 Y 的概率密度()Yfy。（1）3YX=对应的函数3yx=是严格单调增加函数，其反函数3xy=，又2313dxydy=，则 2331()()3Yfyfyy=(0)y （2）3YX=对应的函数2yx=是非单调函数，便当0 x时，2yx=是严格单调增加函数，其反函数xy，又12dxdyy=，当0y 时，()Yfy=0；当0y 时，则 11()()22yYfyfyeyy=综合表示为 1,2()0,yYeyfy=00yy 第三章第三章第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题解析习题解析习题解析习题解析 第第第第 1 1 1 1、2.2.2.2.（1 1 1 1）、）、）、）、3 3 3 3、7 7 7 7、8 8 8 8、9 9 9 9、10101010、13131313、18181818、22222222 题题题题 二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量（X X X X，Y Y Y Y）的联合分布的联合分布的联合分布的联合分布、边缘边缘边缘边缘分布分布分布分布、随机变量的独立性随机变量的独立性随机变量的独立性随机变量的独立性 -1在一箱子中装有 12 只开关，其中 2 只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。我们定义随机变量 X，Y 如下：0,1,X=若第一次取出的是正品若第一次取出的是次品 0,1,Y=若第二次取出的是正品若第二次取出的是次品 试分别就（1）、（2）两种情况，写出 X 和 Y 的联合分布律。解（1）放回抽样。X 的分布律为1020,11212P XP X=，而两次试验的结果互不影响，所以 Y 的分布律为1020,11212P YP Y=。二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）。（X，Y）取各个值的概率用古典概型计算，得 2222210250,0123610 250,112362 1051,012362 211,11236P XYP XYP XYP XY=求二维离散型随机变量（X，Y）的颁布律就是求积事件发生的概率。如0,0XY=是表示(0)(1)XY=，为简单起见，将符号“”用“，”代替，是表示事件0X=与0Y=同时发生。因为是放回抽样，所以事件(,0,1)XiYji j=与，是相互独立的，故也可以利用事件的独立性计算。如 1010250,00 0121236P XYP XP Y=其他类似。于是二维随机变量（X，Y）的分布律为 X Y 0 1 0 1 2536 536 536 136 （2）不放回抽样。用古典概型计算，则得 21021211102212112102122221210 9450,012 116610 2100,112 11662 10101,012 1166211,112 1166PP XYPP PP XYPP PP XYPPP XYP=因为是不放回抽样，第一次试验结果影响第二度验结果发生的概率。也可以用概率的乘法公式，则得 109450,00 00121166P XYP XP YX=其他类似，于是（X，Y）的分布律为 X Y 0 1 0 1 4566 1066 1066 166 -2（1）盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取 4 只球。以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到红球的只数。求 X 和 Y 的联合分布律。解 用古典概型。则（X，Y）的分布律为 4()32247,(0,1,2,3;0,1,2;24)ijijC C CP Xi YjCijij+=+其中 022322471033224711232247121322472013224721132247230,000,1010,2351,0061,13561,23532,035122,1352,2P XYP XYC C CP XYCC C CP XYCC C CP XYCC C CP XYCC C CP XYCC C CP XYCC CP XY=202247301322473103224733523,03523,1353,30CCC C CP XYCC C CP XYCP XY=二维随机变量（X，Y）的分布律为 X Y 0 1 2 3 0 1 2 0 0 335 235 0 635 1235 235 135 635 335 0-3设随机变量（X，Y）的概率密度为(6),(,)0,Ykxyfx y=02,24xy其他 （1）确定常数 k；（2）求1,3P XY；（3）求1.5P X；（4）求4P XY+。解 （1）利用概率密度性质；(,)1f x y dxdy+=。有 2402(6)1dxkxy dy=等式左端为 242224202002201(6)(6)(62)21(62)28dxkxy dykyxyydxkx dxkxxk=由 8k=1，得常数 k=18。（2）1302112320021011,3(6)81117(6)()82821 71163()8 22828P XYdxxy dyyxyydxx dxxx=（3）1.54021.5011.5(6)81