2023～2024 学年福州市高三年级4月份质量检测--详细答案4月9日(1).pdf

参考答案第 1 页共 16页20232024 学年福州市高三年级 4 月份质量检测参考答案一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.1.已知集合101Mxx，则M RA.1x x B.1x xC.1x x D.1x x【答案】D【解析】由101x 得1x ，故1Mx xR，选择 D.2.设,a bR，则“0ab”是“0abab+=”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若0ab，则,a b异号，aa与bb互为相反数，显然有0abab+=；若0abab+=则有0abab=-，则0ab，故选 C.3.等轴双曲线经过点(3,1)，则其焦点到渐近线的距离为A2 2B2C4D2【答案】A【解析】依题意，设等轴双曲线方程为22xy，则223(1)8，所以等轴双曲线22188xy渐近线为0 xy，焦点为(4,0)，所求距离42 22d，故选 A4.若1sin()44，则sin2A158B158C78D78【答案】C【解析】法 一：由1sin()44得21(sincos)24，即2sincos4，两 边 平 方 得11sin28，从而7sin28，故选 C.参考答案第 2 页共 16页法二：217sin2cos(2)2sin()12124168 ，故选 C.5.已知非零复数z满足1izz，则zzA1B1CiDi【答案】D【解析】法一：设i(,0)zab a ba bR，由1izz得，222211abab，解得ab，故i,izaa zaa，从而21ii1i2i=ii1i1i 1i2zaazaa，故选 D.法二：在复平面内，设1,0,0,1AB，利用复数的几何意义知z对应的点的轨迹为线段 AB的中垂线，即直线yx（除去原点），故可设i(0)zaa a，从而izaa，故i1i=ii1izaazaa，故选 D.6.54(1)(12)xx的展开式中2x的系数为A14B6C34D74【答案】B【解析】由二项式定理可得2x项为0 502 221 411 312 320 505454551()1(2)1()1(2)1()1(2)Cx CxCx CxCx Cx=26x，故2x的系数为6，故选 B.7.数列 na共有 5 项，前三项成等差数列，且公差为d，后三项成等比数列，且公比为q.若第 2 项等于 2，第 1 项与第 4 项的和等于 10，第 3 项与第 5 项的和等于 30，则dqA1B2C3D4【答案】B【解析】依题意数列 na的前三项为2,2,2dd，所以48ad，528ad，由后三项成等比数列得2(8)(28)(2)ddd，所以1,3,dq或4,2,dq所以2dq，选择 B.8.四棱锥EABCD的顶点均在球O的球面上，四边形ABCD为矩形，平面BEC 平面ABCD，5BC，1CDCE，2BE，则O到平面ADE的距离为参考答案第 3 页共 16页A13B14C24D58【答案】A【解析】依题意知，球心O为矩形ABCD的中心.外接球半径22161522ROA.在ADE中，由余弦定理得222(5)(5)(2)4cos5255EAD，则3sin5EAD，从而由正弦定理得ADE外接圆直径25 223sin35DErEAD，5 26r.故O到平面ADE的距离222265 21263dRr，故选 A.二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，分，部分选对的得部分分，有选错的得有选错的得 0 分分.9.在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是甲乙87909691869086928795A甲选手射击环数的极差大于乙选手射击环数的极差B甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数C甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差D甲选手射击环数的第 75 百分位数大于乙选手射击环数的第 75 百分位数【答案】ABC【解析】法一：根据表格整理甲、乙两名选手射击环数的数据分别为甲：86,87,90,91,96，乙：86,87,90,92,95，比较两组数据发现：甲、乙两名选手前三个数据一样，后两个数据和相等，可知甲选手射击环数的极差大于乙选手射击环数的极差，选项 A 正确；根据数据分布特点，平均数相同，甲选手射击环数的方差更大，故选项 B，C 都正确；由5 75%3.75可知第 75 百分位数均为第 4 个数据，可知甲的第 75 百分位数小于乙的第 75 百分位数，故选项 D 错误.参考答案第 4 页共 16页法二：对于选项 A，甲选手射击环数的极差为 10，乙选手射击环数的极差为 9，故 A 选项正确；对于选项 B，甲选手射击环数的平均数为 90，乙选手射击环数的平均值为 90，两者的 平 均 数 相 等，所 以 B 选 项 正 确；对 于 选 项 C，甲 选 手 射 击 的 方 差 为2222162(8790)(9690)(91 90)(8690)55，以 选 手 射 击 环 数 的 方 差 为2222154(8690)(9290)(8790)(9590)55，所以甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差，故选项 C 正确；对于选项 D，将甲选手射击环数按从小到大排列后为86,87,90,91,96，由5 75%3.75，知其第 75 百分位数为 91，乙选手射击环数按从小到大排列后为 86,87,90,92,95，其第 75 百分位数为 92，因为9192，故 D 选项错误.10.已知函数 sin 2fxx满足33fxfx，且()()2ff，则A1sin2B1sin2 C yfx的图象关于点13(,0)12对称D fx在区间(,)2单调递减【答案】BC【解析】由33fxfx，得3x 是()f x的一条对称轴，所以2()32kkZ，可得6k.因为()sin()sin()sin(2)sin2ff，故sin0，所以2 6k，所以()sin(2)6f xx.由2 6k，故1sin2 成立，A 选项错误，B 选项正确；由26xk得122kx，令2k 得1312x，故 fx的图象关于点13(,0)12对称，C 选项正确；当(,)2x时，5 112(,)666tx，因为sinyt在区间5 11(,)66不单调，所以 D 选项错误.11.已知函数()(ee)eexxxxf xax恰有三个零点123,x x x，且123xxx，则A1230 xxxB实数a的取值范围为(0,1C110ax D31axa【答案】ACD参考答案第 5 页共 16页【解析】由()0f x，得ee0eexxxxax，记ee()eexxxxg xax，则()g x为奇函数，且123,x x x为()g x的三个零点，因为(0)0g，所以13xx 且20 x，故 A 选项正确；当1a 时，ee()eexxxxg xx，2ee()()0eexxxxg x，所以()g x在R上单调递增，此时()g x至多一个零点，与题设条件矛盾，故1a，B 选项错误；由1()0g x，得11111eeeexxxxax，所以11111111ee2e110eeeexxxxxxxax ，故 C 选项正确；由3()0g x，30 x，得33333eeeexxxxax，所以33333ee(ee)xxxxax，31axa等价于3(1)1a x，即333333ee(1)1(ee)xxxxxx，亦即323e12xx.令2()e12xh xx（0 x），则2()2(e1)0 xh x，所以函数()h x在(0,)上单调递增，得()(0)0h xh，所以323e120 xx，故 D 选项正确.三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.若向量(3,4)a在向量 b(2,1)上的投影向量为b，则等于_.【答案】2【解 析】因 为5|b|，3(2)(4)110 a b，a在b上 的 投 影 向 量 为22|a bbbbb，所以2 13.倾斜角为3的直线经过抛物线C：212yx的焦点 F，且与 C 交于 A，B 两点，Q 为线段 AB 的中点，P 为 C 上一点，则PFPQ的最小值为_.【答案】8【解析】由212yx，得焦点(3,0)F，准线方程为3x ，则直线方程为3(3)yx.设11(,)A x y，22(,)B xy，由212,3(3),yxyx得2330270 xx，则1210 xx，所 以121()52Qxxx.过P作直线垂直于抛物线C的准线，垂足为D，则PFPD，当DPQ，三点共线时，PFPQ取得最小值5(3)8PDPQDQ 参考答案第 6 页共 16页14.如图，六面体111ABCDAC D的一个面ABCD是边长为 2 的正方形，111,AA CC DD均垂直于平面ABCD，且11AA，12CC，则该六面体的体积等于_，表面积等于_.【答案】6，22【解析】因为11,AA CC均垂直于平面ABCD，所以11AACC，又1AA 平面11BCC CC,平面1BCC，所以1AA平面1BCC；在正方形ABCD中ADBC，又AD 平面1BCC BC,平面1BCC，所以AD平面1BCC，因为1AAADA，又1,AA AD 平面1 1ADD A，所以平面1 1ADD A平 面1BCC.因 为 平 面111ABC D 平 面1 111ADD AAD，平 面111ABC D 平 面11BCCBC，所 以111ADBC.同 理 可 证111ABDC，所 以 平 面111ABC D是 平 行 四 边 形.所 以1115DCAB，作12C C垂直1DD于2C，则122C C，所以121DC，所以1=3DD.法一：该几何体可以看作是底面边长为 2，高为 3 的正四棱柱的一半，所以体积为122 362 法二：该六面体的体积1 11111111322232263232B ADD AB DCC DVVV 四棱锥四棱锥.又22222221111125,222 2,2213A BBCAC.2221152 2310cos10252 2A BC，故211103sin1101010A BC，从而111352 210610A BC DS=Y，该六面体的表面积11116222 122132232222222S .参考答案第 7 页共 16页四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤.15.（13 分）已知数列na满足12a，12nnaan（2n）.（1）求数列na的通项公式；（2）记数列1na的前n项和为nS，证明：1nS.【考查意图】本小题主要考查递推数列与数列求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等；考查分类与整合、化归与转化等思想方法；考查数学运算、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性.满分 13 分.解：（1）因为12,2nnaan n，所以12nnaan，1 分当2n时，112211()()()nnnnnaaaaaaaa，所以22242nann，3 分所以(22),22nnnan，所以2,2nann n，4 分又因为12a，5 分所以2*,nann nN.6 分（2）由（1）可知2*(1),nannn nnN，7 分所以111111nan nnn，9 分所以11111 223(1)(1)nSnnn n1111111122311nnnn，11 分所以111nSn，12 分又因为1n，所以1nS.13 分16.（15 分）甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X服从正态分布2(0,0.2)N，规定(0.2,0.2)X 的零件为优等品，(0.6,0.6)X 的零件为合格品（1）从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数（精确到整数）；（2）乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：参考答案第 8 页共 16页从这批零件中任取 2 个作检测，若这 2 个零件都是优等品，则通过检测；若这 2 个零件中恰有 1 个为优等品，1 个为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取 1 个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测.求这批零件通过检测时，检测了 2 个零件的概率（精确到0.01）.（附：若随机变量2(,)N，则()0.6827P，(22)0.9545P，(33)0.9973P）【考查意图】本小题主要考查正态分布、全概率公式、条件概率等基础知识，考查数学建模能力、逻辑思维能力和运算求解能力等，考查分类与整合思想、概率与统计思想等，考查数学建模、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和应用性满分 15 分.解：（1）依题意得，0,0.2，1 分所以零件为合格品的概率为(0.60.6)(33)0.9973PXPX，2 分零件为优等品的概率为(0.20.2)()0.6827PXPX，3 分所以零件为合格品但非优等品的概率为0.99730.68270.3146P，5 分所以从该生产线上随机抽取 100 个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数为100 0.314631.6 分（2）设从这批零件中任取 2 个作检测，2 个零件中有 2 个优等品为事件A，恰有 1 个优等品，1 个为合格品但非优等品为事件B，从这批零件中任取 1 个检测是优等品为事件C，这批产品通过检测为事件D，8 分则DABC，且A与BC互斥，9 分所以()()()P DP AP BC10 分()()(|)P AP B P C B11 分221220.68270.68270.31460.6827CC21.62920.6827，12 分所以这批零件通过检测时，检测了 2 个零件的概率为()(|)()P ADP A DP D13 分220.68271.62920.682711.62920.61.15 分参考答案第 9 页共 16页答：这批零件通过检测时，检测了 2 个零件的概率约为0.61.17.（15 分）如图，以正方形ABCD的边AB所在直线为旋转轴，其余三边旋转120形成的面围成一个几何体ADFBCE设P是CE上的一点，G，H分别为线段AP，EF的中点.（1）证明：GH平面BCE；（2）若BPAE，求平面BPD与平面BPA夹角的余弦值.【考查意图】本小题主要考查直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定与性质定理、平面与平面的夹角、空间向量、三角函数的概念等基础知识，考査直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等,考查数形结合思想、化归与转化思想等，考査直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分 15 分.解法一：（1）在正方形ABEF中，连接AH并延长，交BE的延长线于点K，连接PK.2 分因为,G H分别为线段,AP EF中点，所以HFHE，所以RtAFHRtKEH，所以AHKH，4 分所以GHPK.5 分又因为,GHBCE PKBCE面面，所以GHBCE面.7 分（2）依题意得，ABBCE 面，又因为BPBCE 面，所以ABBP.又因为BPAE,ABAEA,AB AEABEF 面，所以BPABEF 面，8 分又BEABEF 面，所以BPBE，9 分所以,BP BE BA两两垂直.以B为原点，,BP BE BA所在直线分别为,x y z轴建立空间直角坐标系，如图所示.10 分参考答案第 10 页共 16页不妨设1AB,则31(1,0,0),(,1)22PD，31=1,0,0,122BPBD ，11 分设平面BPD的法向量为,x y zm，则0,0,BPBD mm即0,310,22xxyz取2y，得0,1xz，所以平面BPD的一个法向量是0,2,1m，13 分又平面BPA的一个法向量为0,1,0n.14 分设平面BPD与平面BPA的夹角为，则22 5coscos,55 1 m nm nm n.所以平面DBP与平面BPA夹角的余弦值为2 55.15 分解法二：（1）证明：取BP的中点Q，连接,GQ EQ.1 分因为,G H分别为线段,AP EF的中点，所以GQAB，12GQAB，2 分又因为,ABEF ABEF，所以,GQHE GQHE，3 分所以四边形GQEH是平行四边形，4 分所以GHQE，5 分又因为,GHBCE QEBCE面面，所以GHBCE面.7 分（2）同解法一.15 分解法三：（1）证明：取AB的中点I，连接,GI HI.1 分因为,G H分别为线段,AP EF的中点，所以,GIBP HIEB，又因为,GIBCE BPBCE面面，所以GIBCE面.3 分因为,HIBCE BEBCE面面，参考答案第 11 页共 16页所以HIBCE面.5 分又因为,GIHII GIGIH HIGIH面面，所以GIHBCE面面，6 分又因为GHGIH 面，所以GHBCE面.7 分（2）同解法一.15 分18.（17 分）点 P 是椭圆 E：22221(0)xyabab上（左、右端点除外）的一个动点，1(,0)Fc，2(,0)F c分别是 E 的左、右焦点（1）设点 P 到直线2:al xc的距离为 d，证明2|PFd为定值，并求出这个定值；（2）12PFF的重心与内心（内切圆的圆心）分别为 G，I，已知直线 IG 垂直于 x 轴（）求椭圆 E 的离心率；（）若椭圆 E 的长轴长为 6，求12PFF被直线 IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围【考查意图】本小题主要考查圆、椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考査直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等,考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考査直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性.满分 17 分.解法一：（1）依题意，222bca 1 分设00(,)P xy，则2200221xyab，0axa，所以222222222020000022|()()(1)(1)2xbPFxcyxcbxcxbcaa，所以22220002|2|ccPFxcxaxaaa，3 分又ac，所以0caxa，20axc，所以20|cPFaxa，20adxc所以0220|caxPFcaadaxc，即2|PFd为定值，且这个定值为ca4 分（2）（）依题意，00(,)33xyG，参考答案第 12 页共 16页设直线 IG 与 x 轴交于点 C，因为 IGx 轴，所以0(,0)3xC，5 分所以001202|()()333xxFCF Cccx，6 分因为PF1F2的内切圆与 x 轴切于点 C，所以121202|3PFPFFCF Cx，7 分又因为12|2PFPFa，解得02|3xPFa，8 分由（1）得20|cPFaxa，所以003xcaxaa，所以椭圆 E 的离心率13cea10 分（）由26a，得3a，又13ca，所以1c，2228bac，所以椭圆 E 的方程为22198xy11 分根据椭圆对称性，不妨设点 P 在第一象限或 y 轴正半轴上，即003x，002 2y，又1(1,0)F，2(1,0)F，所以直线 PF1的方程为00(1)1yyxx，设直线 IG 与 PF1交于点 D，因为03Dxx，所以000(3)3(1)Dyxyx，F1CD 的面积1S与PF1F2的面积S之比为000200100(3)1(1)2 33(1)(3)118(1)22xy xxxSSxy，13 分令2(3)()18(1)xf xx（03x），则2(3)(1)(1)(18xxxfx，当0,1)x，()0fx，当(1,3)x，()0fx，所以函数()f x在0,1)单调递减，在(1,3)单调递增.又因为1(0)2f，4(1)9f，1(3)2f，所以()f x的值域是4 1,9 2，所以14192SS，15 分所以11415SSS，16 分根据对称性，PF1F2被直线 IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围是4 5,5 4 17 分解法二：（1）同解法一 4 分参考答案第 13 页共 16页（2）（）依题意，00(,)33xyG，设直线 IG 与 x 轴交于点 C，因为 IGx 轴，所以0(,0)3xC，5 分所以001202|()()333xxFCF Cccx，6 分因为PF1F2的内切圆与 x 轴切于点 C，所以121202|3PFPFFCF Cx，7 分又因为12|2PFPFa，得0102|,3|.3xPFaxPFa 8 分所以2200022000(),3(),3xxcyaxxcya两式平方后取差，得00443cxax对任意0 x成立，所以椭圆 E 的离心率13cea10 分（）同解法一17 分解法三：（1）同解法一 4 分（2）（）依题意，00(,)33xyG，因为 IGx 轴，设点I坐标为0(,)3xt.5 分可求直线1PF方程为00()yyxcxc，则点I到直线1PF的距离0002200()()3|()xyct xctyxc，6 分即222200000()()()3xyct xctyxc，化简得22000002()()()033xxy ttc xcyc，同理，由点I到直线2PF的距离等于|t，可得22000002()()()033xxy ttc xcyc，7 分将式式，得00084233tcxycx，则04yt.8 分将04yt 代入式，得2200001()()()016233yxxc xcc，化简得220022198xycc，得229ca，所以椭圆 E 的离心率13cea10 分（）同解法一17 分参考答案第 14 页共 16页19.（17 分）记集合(),000()()|,()(),()()f x x DLl xkxb xxD f xl xxD f xl x R且，集合(),000()()|,()(),()()f x x DTl xkxb xxD f xl xxD f xl x R且.若(),()f x x Dl xL，则称直线()yl x为函数()f x在D上的“最佳上界线”；若(),()f x x Dl xT，则称直线()yl x为函数()f x在D上的“最佳下界线”.（1）已知函数2()f xxx，0()1lxkx.若0(),()f x xlxLR，求k的值；（2）已知()e1xg x.（）证明：直线()yl x是曲线()yg x的一条切线的充要条件是直线()yl x是函数()g x在R上的“最佳下界线”；（）若()ln(1)h xx，直接写出集合(),(1,)(),h x xg x xLTRI中元素的个数（无需证明）.【考查意图】本小题主要考查集合、导数、不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性.满分 17 分.解：（1）依题意，因为0(),()f x xlxLR，所以2,1xxxkx R，且0 xR$，20001xxkx，1 分令2()(1)1xxk x，214k，则()0 x，且0()0 x，所以0,0,所以0，3 分即2140k，解得3k 或1.4 分（2）（）先证必要性.若直线 yl x是曲线 yg x的切线，设切点为00,e1xx，因为()exg x，所以切线方程为000e1e()xxyxx，参考答案第 15 页共 16页即 000e(1)e1xxl xxx（*）.5 分一方面，00g xl x，所以000,()()xg xl xR，6 分另一方面，令 000ee(1)exxxG xg xl xxx，则00G x，因为 0eexxGx，所以当0 xx时，0Gx，G x在0,x单调递减，当0 xx时，0Gx，G x在0,x 单调递增，所以 00G xG x，所以 g xl x.7 分即,()()xg xl x R，所以(),g x xl xTR，即()l x是函数()g x在R上的“最佳下界线”.8 分再证充分性.若()l x是函数()g x在R上的“最佳下界线”，不妨设()l xkxb，由“最佳下界线”的定义，,xg xl x R，且000,xg xl xR，9 分令 e1xH xg xl xkxb，则 0H x 且00H x，所以 min0H x.10 分因为 exHxk，若0k，则 0Hx，所以 H x在R上单调递增，所以10 xx，使得100H xH x，故0k 不符合题意.11 分若0k，令 0Hx，得lnxk，当,lnxk 时，0Hx，得 H x在,lnk单调递减，当ln,xk时，0H x，得 H x在ln,k 单调递增，所以，当且仅当lnxk时，H x取得最小值lnHk.12 分又由 H x在0 x处取得最小值，min0H x，所以0ln,(ln)0,xkHk13 分参考答案第 16 页共 16页即000e,e10,xxkkxb 解得0exk，001e1xbx，14 分所以 000e(1)e1xxl xxx，由（*）式知直线()yl x是曲线()yg x在点00,e1xx处的切线.15 分综上所述，直线()yl x是曲线()yg x的一条切线的充要条件是直线()yl x是函数()g x在R上的“最佳下界线”.（）集合(),(1,)(),h x xg x xLTRI元素个数为 2 个.17 分