江苏省南京市2024届高三年级第二次模拟考试数学试题含答案.pdf

高三数学试卷 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页(共 6 页)南京市 2024 届高三年级第二次模拟考试 数 学 2024.05 注意事项：1本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷 2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分 3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知向量 a(1，2)，b(x，x3)若 ab，则 x A6 B2 C3 D6 2“0r2”是“过点(1，0)有两条直线与圆 C：x2y2r2(r0)相切”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3为了得到函数 ysin(2x3)的图象，只要把函数 ysin2x 图象上所有的点 A向左平移6个单位 B向左平移3个单位 C向右平移6个单位 D向右平移3个单位 4我们把各项均为 0 或 1 的数列称为 01 数列，01 数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用把佩尔数列Pn(P10，P21，Pn22Pn1Pn，nN*)中的奇数换成 0，偶数换成 1，得到 01 数列an记an的前 n 项和为 Sn，则 S20 A16 B12 C10 D8 高三数学试卷 学科网（北京）股份有限公司 第 2 页(共 6 页)5已知 P(A)35，P(AB)15，P(A|B)12，则 P(B)A15 B25 C35 D45 6在圆 O1O2中，圆 O2的半径是圆 O1半径的 2 倍，且 O2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为 A3：4 B1：2 C3：8 D3：10 7 已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，下顶点为 A，直线 AF1交 C 于另一点 B，ABF2的内切圆与 BF2相切于点 P若 BPF1F2，则 C 的离心率为 A13 B12 C23 D34 8在斜ABC 中，若 sinAcosB，则 3tanBtanC 的最小值为 A 2 B 5 C 6 D4 3 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得 0 分 9已知 z1，z2为共轭复数，则 Az12z22 B|z1|z2|Cz1z2R Dz1z2R 10已知函数 f(x)满足 f(x)f(y)f(xy)|x|y|，则 Af(0)1 Bf(1)1 Cf(x)是偶函数 Df(x)是奇函数 11已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2，A1ABA1ADBAD60，点P 在A1BD 内，则 AA1P平面 B1CD1 BA1PAC1 CPC1 6AP DAPPC12 6 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12已知集合 A1，2，4，B(x，y)|xA，yA，xyA，则集合 B 的元素个数为 高三数学试卷 学科网（北京）股份有限公司 第 3 页(共 6 页)13 在平面四边形 ABCD 中，A135，BD90，AB2，AD 2，则四边形 ABCD的面积为 14已知函数 f(x)x3ax1(aR)的两个极值点为 x1，x2(x1x2)，记 A(x1，f(x1)，C(x2，f(x2)点 B，D 在 f(x)的图象上，满足 AB，CD 均垂直于 y 轴 若四边形 ABCD 为菱形，则 a 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15(本小题满分 13 分)某地 5 家超市春节期间的广告支出 x(万元)与销售额 y(万元)的数据如下：超市 A B C D E 广告支出 x 2 4 5 6 8 销售额 y 30 40 60 60 70(1)从 A，B，C，D，E 这 5 家超市中随机抽取 3 家，记销售额不少于 60 万元的超市个数为X，求随机变量 X 的分布列及期望 E(X)；(2)利用最小二乘法求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测广告支出为 10 万元时的销售额 附：线性回归方程ybxa中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：bni1xiyin-x-yni1xi2n-x2E，AEaE AAEyEAAEbEAAExEA 高三数学试卷 学科网（北京）股份有限公司 第 4 页(共 6 页)16(本小题满分 15 分)已知函数 f(x)x2axaex，其中 aR(1)当 a0 时，求曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)当 a0 时，若 f(x)在区间0，a上的最小值为1e，求 a 的值 17(本小题满分 15 分)在五面体 ABCDEF 中，CD平面 ADE，EF平面 ADE 高三数学试卷 学科网（北京）股份有限公司 第 5 页(共 6 页)(1)求证：ABCD；(2)若 AB2AD2EF2，ADECBF90，点 D 到平面 ABFE 的距离为22，求二面角 ABFC 的大小 (第 17 题图)18(本小题满分 17 分)已知抛物线 C：y22px(p0)与双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)有公共的焦点 F，且p4b过 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，与 E 的两条渐近线交于 P，Q 两点(均位于 y 轴右侧)(1)求 E 的渐近线方程；(2)若实数 满足(1|OP|1|OQ|)|1|AF|1|BF|，求 的取值范围 高三数学试卷 学科网（北京）股份有限公司 第 6 页(共 6 页)19(本小题满分 17 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn若对每一个 nN*，有且仅有一个 mN*，使得 SmanSm1，则称an为“X 数列”记 bnSm1an，nN*，称数列bn为an的“余项数列”(1)若an的前四项依次为 0，1，1，1，试判断an是否为“X 数列”，并说明理由；(2)若 Sn2n，证明an为“X 数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；(3)已知正项数列an为“X 数列”，且an的“余项数列”为等差数列，证明：Sn(12n2EA)a1 高三数学试卷第 1 页(共 8 页)南京市 2024 届高三年级第二次模拟考试数学2024.05注意事项：1本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知向量 a(1，2)，b(x，x3)若 ab，则 xA6B2C3D62“0r2”是“过点(1，0)有两条直线与圆 C：x2y2r2(r0)相切”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3为了得到函数 ysin(2x3)的图象，只要把函数 ysin2x 图象上所有的点A向左平移6个单位B向左平移3个单位C向右平移6个单位D向右平移3个单位4我们把各项均为 0 或 1 的数列称为 01 数列，01 数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用把佩尔数列Pn(P10，P21，Pn22Pn1Pn，nN*)中的奇数换成 0，偶数换成 1，得到 01 数列an记an的前 n 项和为 Sn，则 S20A16B12C10D8#QQABbYQAoggIAJJAARgCQQFgCEEQkBCACIoOwFAIIAAACQNABCA=#高三数学试卷第 2 页(共 8 页)5已知 P(A)35，P(AB)15，P(A|B)12，则 P(B)A15B25C35D456在圆 O1O2中，圆 O2的半径是圆 O1半径的 2 倍，且 O2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为A3：4B1：2C3：8D3：107 已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，下顶点为 A，直线 AF1交 C 于另一点 B，ABF2的内切圆与 BF2相切于点 P若 BPF1F2，则 C 的离心率为A13B12C23D348在斜ABC 中，若 sinAcosB，则 3tanBtanC 的最小值为A 2B 5C 6D4 3#QQABbYQAoggIAJJAARgCQQFgCEEQkBCACIoOwFAIIAAACQNABCA=#高三数学试卷第 3 页(共 8 页)二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得 0 分9已知 z1，z2为共轭复数，则Az12z22B|z1|z2|Cz1z2RDz1z2R10已知函数 f(x)满足 f(x)f(y)f(xy)|x|y|，则Af(0)1Bf(1)1Cf(x)是偶函数Df(x)是奇函数11已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2，A1ABA1ADBAD60，点P 在A1BD 内，则AA1P平面 B1CD1BA1PAC1CPC1 6APDAPPC12 6三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分12已知集合 A1，2，4，B(x，y)|xA，yA，xyA，则集合 B 的元素个数为#QQABbYQAoggIAJJAARgCQQFgCEEQkBCACIoOwFAIIAAACQNABCA=#高三数学试卷第 4 页(共 8 页)13 在平面四边形 ABCD 中，A135，BD90，AB2，AD 2，则四边形 ABCD的面积为14已知函数 f(x)x3ax1(aR)的两个极值点为 x1，x2(x1x2)，记 A(x1，f(x1)，C(x2，f(x2)点 B，D 在 f(x)的图象上，满足 AB，CD 均垂直于 y 轴若四边形 ABCD 为菱形，则 a四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15(本小题满分 13 分)某地 5 家超市春节期间的广告支出 x(万元)与销售额 y(万元)的数据如下：#QQABbYQAoggIAJJAARgCQQFgCEEQkBCACIoOwFAIIAAACQNABCA=#高三数学试卷第 5 页(共 8 页)超市ABCDE广告支出 x24568销售额 y3040606070(1)从 A，B，C，D，E 这 5 家超市中随机抽取 3 家，记销售额不少于 60 万元的超市个数为X，求随机变量 X 的分布列及期望 E(X)；(2)利用最小二乘法求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测广告支出为 10 万元时的销售额附：线性回归方程ybxa中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：bni1xiyin-x-yni1xi2n-x2，aybx16(本小题满分 15 分)已知函数 f(x)x2axaex，其中 aR(1)当 a0 时，求曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)当 a0 时，若 f(x)在区间0，a上的最小值为1e，求 a 的值#QQABbYQAoggIAJJAARgCQQFgCEEQkBCACIoOwFAIIAAACQNABCA=#高三数学试卷第 6 页(共 8 页)17(本小题满分 15 分)在五面体 ABCDEF 中，CD平面 ADE，EF平面 ADE(1)求证：ABCD；(2)若 AB2AD2EF2，ADECBF90，点 D 到平面 ABFE 的距离为22，求二面角 ABFC 的大小(第 17 题图)#QQABbYQAoggIAJJAARgCQQFgCEEQkBCACIoOwFAIIAAACQNABCA=#高三数学试卷第 7 页(共 8 页)18(本小题满分 17 分)已知抛物线 C：y22px(p0)与双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)有公共的焦点 F，且p4b 过 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，与 E 的两条渐近线交于 P，Q 两点(均位于 y 轴右侧)(1)求 E 的渐近线方程；(2)若实数满足(1|OP|1|OQ|)|1|AF|1|BF|，求的取值范围#QQABbYQAoggIAJJAARgCQQFgCEEQkBCACIoOwFAIIAAACQNABCA=#高三数学试卷第 8 页(共 8 页)19(本小题满分 17 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn若对每一个 nN*，有且仅有一个 mN*，使得 SmanSm1，则称an为“X 数列”记 bnSm1an，nN*，称数列bn为an的“余项数列”(1)若an的前四项依次为 0，1，1，1，试判断an是否为“X 数列”，并说明理由；(2)若 Sn2n，证明an为“X 数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；(3)已知正项数列an为“X 数列”，且an的“余项数列”为等差数列，证明：Sn(12n2)a1#QQABbYQAoggIAJJAARgCQQFgCEEQkBCACIoOwFAIIAAACQNABCA=#