数学（九省新高考新结构卷01）-2024年高考押题预测卷含答案.pdf

2024 年高考押题预测卷 01【新九省卷】数 学（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 58 分）分）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数7+i3+4iz=，则z=（）A1 i+B1 i-C1 i-D1 i-+2为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一高二高三三个年级共抽取 100 人进行各项指标测试.已知高三年级有 500 人，高二年级有 700 人，高一年级有 800 人，则高三年级抽取的人数为（）A30B25C20D153已知,1am=r，31,2bm=-r，若/a brr，则m=（）A1B1-C23D23-4若3sin 4cos0aa-=，则1 cos2a-=（）A725B1825C2725D32255 双曲线2222:1(0,0)xyCabab-=的左、右焦点分别为1212,4F FFF=，且C的一条渐近线与直线:310lxy-+=平行，则双曲线C的标准方程为（）A2213yx-=B2213xy-=C221412xy-=D22134xy-=6我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径 8.4 厘米，底径 2.8 厘米，高 4 厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（）（附：14912.2）A34B27C20D187已知O为坐标原点，直线:3l xmy=+与圆22:680C xyx+-+=相交于A，B两点，则OA OB=uuu r uuu r（）A4B6C8D108在同一平面上有相距 14 公里的,A B两座炮台，A在B的正东方.某次演习时，A向西偏北q方向发射炮弹，B则向东偏北q方向发射炮弹，其中q为锐角，观测回报两炮弹皆命中 18 公里外的同一目标，接着A改向向西偏北2q方向发射炮弹，弹着点为 18 公里外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为（）A7 公里B8 公里C9 公里D10 公里二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分9袋子中有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，则（）A事件A与B是互斥事件B事件A与B是对立事件C事件B与C是互斥事件D事件B与C相互独立10已知函数 tan(0,0)f xAxwjwj=+的一个焦点的坐标为1,0，一条切线的方程为7xy+=，则C的离心率e=.14关于x的不等式eln1(0)axxbxxa+-恒成立，则ba的最小值为 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15（本小题满分 13 分）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动开学后，学校统计了高一年级共 1000 名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为 0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为 3：2：1(1)根据频率分布直方图，估计高一年级 1000 名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于 60 分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取 6 名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的 3 名学生日均阅读时间处于80，100）的人数记为x，求随机变量x的分布列与数学期望16（本小题满分 15 分）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA与1BB的距离为3，12ABACAB=，12 2ACBC=(1)证明：平面11A ABB 平面 ABC；(2)若点 N 在棱11AC上，求直线 AN 与平面11ABC所成角的正弦值的最大值17（本小题满分 15 分）已知函数 2eexxfxax=+-.(1)当3a=时，求 f x的单调区间；(2)讨论 f x极值点的个数.18（本小题满分 17 分）设抛物线2:2(0)C ypx p=，过焦点F的直线与抛物线C交于点11,A x y，22,B xy.当直线AB垂直于x轴时，2AB=.(1)求抛物线C的标准方程.(2)已知点1,0P，直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D.求证：直线CD过定点；求PABV与PCDV面积之和的最小值.19（本小题满分 17 分）给定整数3n，由n元实数集合S定义其相伴数集,Taba bS ab=-，如果 min1T=，则称集合 S 为一个n元规范数集，并定义 S 的范数f为其中所有元素绝对值之和.(1)判断0.1,1.1,2,2.5A=-、1.5,0.5,0.5,1.5B=-哪个是规范数集，并说明理由；(2)任取一个n元规范数集 S，记m、M分别为其中最小数与最大数，求证：minmax1SSn+-；(3)当122023,Sa aa=L遍历所有 2023 元规范数集时，求范数f的最小值.注：min X、max X分别表示数集X中的最小数与最大数.2024 年高考押题预测卷 01【新九省卷】数 学（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 58 分）分）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数7+i3+4iz=，则z=（）A1 i+B1 i-C1 i-D1 i-+2为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一高二高三三个年级共抽取 100人进行各项指标测试.已知高三年级有 500 人，高二年级有 700 人，高一年级有 800 人，则高三年级抽取的人数为（）A30B25C20D153已知,1am=r，31,2bm=-r，若/a brr，则m=（）A1B1-C23D23-4若3sin 4cos0aa-=，则1 cos2a-=（）A725B1825C2725D32255双曲线2222:1(0,0)xyCabab-=的左、右焦点分别为1212,4F FFF=，且C的一条渐近线与直线:310lxy-+=平行，则双曲线C的标准方程为（）A2213yx-=B2213xy-=C221412xy-=D22134xy-=6我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径 8.4 厘米，底径 2.8 厘米，高4 厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（）（附：14912.2）A34B27C20D187已知O为坐标原点，直线:3l xmy=+与圆22:680C xyx+-+=相交于A，B两点，则OA OB=uuu r uuu r（）A4B6C8D108在同一平面上有相距 14 公里的,A B两座炮台，A在B的正东方.某次演习时，A向西偏北q方向发射炮弹，B则向东偏北q方向发射炮弹，其中q为锐角，观测回报两炮弹皆命中 18 公里外的同一目标，接着A改向向西偏北2q方向发射炮弹，弹着点为 18 公里外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为（）A7 公里B8 公里C9 公里D10 公里二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分9袋子中有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，则（）A事件A与B是互斥事件B事件A与B是对立事件C事件B与C是互斥事件D事件B与C相互独立10已知函数 tan(0,0)f xAxwjwj=+的一个焦点的坐标为1,0，一条切线的方程为7xy+=，则C的离心率e=.14关于x的不等式eln1(0)axxbxxa+-恒成立，则ba的最小值为 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15（本小题满分 13 分）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动开学后，学校统计了高一年级共 1000 名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为 0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为 3：2：1(1)根据频率分布直方图，估计高一年级 1000 名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于 60 分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取 6 名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的 3 名学生日均阅读时间处于80，100）的人数记为x，求随机变量x的分布列与数学期望16（本小题满分 15 分）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA与1BB的距离为3，12ABACAB=，12 2ACBC=(1)证明：平面11A ABB 平面 ABC；(2)若点 N 在棱11AC上，求直线 AN 与平面11ABC所成角的正弦值的最大值17（本小题满分 15 分）已知函数 2eexxfxax=+-.(1)当3a=时，求 f x的单调区间；(2)讨论 f x极值点的个数.18（本小题满分 17 分）设抛物线2:2(0)C ypx p=，过焦点F的直线与抛物线C交于点11,A x y，22,B xy.当直线AB垂直于x轴时，2AB=.(1)求抛物线C的标准方程.(2)已知点1,0P，直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D.求证：直线CD过定点；求PABV与PCDV面积之和的最小值.19（本小题满分 17 分）给定整数3n，由n元实数集合S定义其相伴数集,Taba bS ab=-，如果 min1T=，则称集合 S 为一个n元规范数集，并定义 S 的范数f为其中所有元素绝对值之和.(1)判断0.1,1.1,2,2.5A=-、1.5,0.5,0.5,1.5B=-哪个是规范数集，并说明理由；(2)任取一个n元规范数集 S，记m、M分别为其中最小数与最大数，求证：minmax1SSn+-；(3)当122023,Sa aa=L遍历所有 2023 元规范数集时，求范数f的最小值.注：min X、max X分别表示数集X中的最小数与最大数.请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024 年高考押题预测卷 01（新九省卷）数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！一、选择题（每小题 5 分，共 40 分）1 A B C D2 A B C D3 A B C D4 A B C D5 A B C D6 A B C D7 A B C D8 A B C D二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分，共 18 分）9 A B C D 10 A B C D11 A B C D 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分）12_ 13_ 14_ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（13 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！准考证号：姓 名：_贴条形码区此栏考生禁填 缺考 标记1答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5正确填涂 注意事项 16（15 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17（15 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18（17 分）19（17 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！绝密启用前绝密启用前 2024 年高考押题预测卷 01【新九省卷】数 学（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 58 分）分）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数7+i3+4iz=，则z=（）A1 i+B1 i-C1 i-D1 i-+【答案】A【解析】由7+i3+4iz=得7+i3 4i21 28i3i41 i3+4i3 4i25z-+=-，故z=1 i+，故选 A2为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一高二高三三个年级共抽取 100人进行各项指标测试.已知高三年级有 500 人，高二年级有 700 人，高一年级有 800 人，则高三年级抽取的人数为（）A30B25C20D15【答案】B【解析】根据分层抽样的性质可知：高三年级抽取的人数为50010025500700800=+，故选 B3已知,1am=r，31,2bm=-r，若/a brr，则m=（）A1B1-C23D23-【答案】A【解析】因为,1am=r，31,2bm=-r，/a brr，所以2310mm-=，解得1m=，故选 A.4若3sin 4cos0aa-=，则1 cos2a-=（）A725B1825C2725D3225【答案】D【解析】因为3sin 4cos0aa-=，所以3sin4cos0aa-=，所以sin4tancos3aaa=，所以22222221622sin2tan3291 cos211 2sin2sin16sin+costan+12519aaaaaaaa-=-=+.故选：D5双曲线2222:1(0,0)xyCabab-=的左、右焦点分别为1212,4F FFF=，且C的一条渐近线与直线:310lxy-+=平行，则双曲线C的标准方程为（）A2213yx-=B2213xy-=C221412xy-=D22134xy-=【答案】A【解析】由题意知222243cbaabc=+=，解得132abc=，故双曲线C的标准方程为2213yx-=故选 A6我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径 8.4 厘米，底径 2.8 厘米，高4 厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（）（附：14912.2）A34B27C20D18【答案】B【解析】设该圆台的上底面下底面的半径分别为,R r，由题意可知：4.2,1.4Rr=，则圆台的母线长2244.2 1.44 1.49l=+-=，所以其侧面积为4.2 1.44 1.494.2 1.44 1.2227+.故选：B.7已知O为坐标原点，直线:3l xmy=+与圆22:680C xyx+-+=相交于A，B两点，则OA OB=uuu r uuu r（）A4B6C8D10【答案】C【解析】圆22:680C xyx+-+=即2231xy-+=，圆心为3,0C，半径1r=，又直线:3l xmy=+，令0y=，则3x=，即直线l恒过点3,0C，即直线恒过圆心，又直线:3l xmy=+与圆22:680C xyx+-+=相交于A，B两点，所以CACB=-uuu ruuu r，所以 OA OBOCCAOCCBOCCAOCCA=+=+-uuu r uuu ruuuruuu ruuuruuu ruuuruuu ruuuruuu r2222318OCCA=-=-=uuuruuu r.故选：C8在同一平面上有相距 14 公里的,A B两座炮台，A在B的正东方.某次演习时，A向西偏北q方向发射炮弹，B则向东偏北q方向发射炮弹，其中q为锐角，观测回报两炮弹皆命中 18 公里外的同一目标，接着A改向向西偏北2q方向发射炮弹，弹着点为 18 公里外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为（）A7 公里B8 公里C9 公里D10 公里【答案】D【解析】依题意设炮弹第一次命中点为C，则14AB=，18ACBCAM=，CBACABq=，2MABq=，在ABCV中2222cosBCACABAC ABq=+-，即2221814182 14 18cosq=+-，解得7cos18q=，所以27cos2cos1218qq=-=，又q为锐角，解得5cos26q=（负值舍去），在ABMV中2222cos2BMAMABAM ABq=+-22518142 18 141006=+-=，所以10BM=，即B炮台与弹着点M的距离为10公里.故选：D二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分9袋子中有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，则（）A事件A与B是互斥事件B事件A与B是对立事件C事件B与C是互斥事件D事件B与C相互独立【答案】AB【解析】对于 AB：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件A与B是互斥事件，也是对立事件，AB 正确；对于 C：如果取出的数为2,4，则事件B与事件C均发生，不互斥，C 错误；对于 D：22223333222666CCCC4211,C5C5C5P BP CP BC+=-=，则 P B P CP BC，即事件B与C不相互独立，D 错误；故选：AB.10已知函数 tan(0,0)f xAxwjwj=+，综上可知，36sin,33q，故 D 正确，故选：AD.第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 92 分）分）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12已知集合24,11Ax xBx axa=-+，若AB=，则a的取值范围是 .【答案】,33,-+U【解析】由24x，得220 xx-+,解得22x-，所以22Axx=-.因为AB=，所以12a+，解得3a，所以a的取值范围是,33,-+U.13已知椭圆2222:10 xyCabab+=的一个焦点的坐标为1,0，一条切线的方程为7xy+=，则C的离心率e=.【答案】15【解析】联立直线与椭圆方程222217xyabxy+=+=，可得222222214490abxa xaa b+-+-=，由7xy+=为椭圆切线，则有4222221964490aabaa bD=-+-=，化简得42242249a ba ba b+=，又0ab，故2249ab+=，又椭圆的一个焦点的坐标为1,0，故有221ab-=，则225a=，故5a=，则15e=.14关于x的不等式eln1(0)axxbxxa+-恒成立，则ba的最小值为 【答案】1-【解析】令 e1xf xx=-，则 e1xfx=-，当0 x 时，0fx时，0fx，所以函数 f x在,0-上单调递减，在0,+上单调递增，所以 00f xf=，所以e1xx+，由eln1(0)axxbxxa+-，得lneln1(0)axxbxxa+-+，而lnRaxx+，令ln1ln1(0)axxbxxa+-+，则0ab+，所以1ba-，若0ab+=的图象，由函数图象可知，方程ln0axx+=有唯一实数根00,1x，即00ln0axx+=，由eln1(0)axxbxxa+-，得lneln1axxbxx+-+，即lneln1axxaxxab x+-+-+，当0 xx=时，00e01ab x-+，即00ab x+，又0ab+，00,1x，所以00ab x+，所以00ab x+不成立，即当0ab+不恒成立，综上所述，ba的最小值为1-.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15（本小题满分 13 分）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动开学后，学校统计了高一年级共 1000 名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为 0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为 3：2：1(1)根据频率分布直方图，估计高一年级 1000 名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于 60 分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取 6 名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的 3 名学生日均阅读时间处于80，100）的人数记为x，求随机变量x的分布列与数学期望【解】（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，日均阅读时间的平均数为：30 0.1550 0.2570 0.390 0.2 110 0.167+=（分钟）（2）由题意，在60，80），80，100），100，120三组分别抽取 3，2，1 人x的可能取值为：0，1，2则304236C C1(0)C5Px=2142363(1)5C CPCx=1242361(2)5C CPCx=所以x的分布列为：x012P153515 1310121555Ex=+=16（本小题满分 15 分）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA与1BB的距离为3，12ABACAB=，12 2ACBC=(1)证明：平面11A ABB 平面 ABC；(2)若点 N 在棱11AC上，求直线 AN 与平面11ABC所成角的正弦值的最大值【解】（1）取棱1A A中点 D，连接BD，因为1ABAB=，所以1BDAA因为三棱柱111ABCABC-，所以11/AABB，所以1BDBB，所以3BD=因为2AB=，所以1AD=，12AA=；因为2AC=，12 2AC=，所以22211ACAAAC+=，所以1ACAA，同理ACAB，因为1AAABA=I，且1AA，AB平面11A ABB，所以AC 平面11A ABB，因为AC平面ABC，所以平面11A ABB 平面ABC；（2）取AB中点 O，连接1AO，取BC中点 P，连接OP，则/OPAC，由（1）知AC 平面11A ABB，所以OP 平面11A ABB因为1AO平面11A ABB，AB平面11A ABB，所以1OPAO，OPAB，因为11ABA AAB=，则1AOAB以 O 为坐标原点，OP，OB，1OA所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz-，则(0,1,0)A-，1(0,0,3)A，1(0,2,3)B，(2,1,0)C-，可设点,0,3Na=，02a，110,2,0AB=uuuu r，12,1,3AC=-uuur，(,1,3)ANa=uuur，设面11ABC的法向量为(,)nx y z=r，得11102023n AByn ACxyz=-uuuu rruuurr，取3x=，则0y=，2z=，所以(3,0,2)n=r设直线AN与平面11ABC所成角为q，则232sincos,74n ANan ANnANaq+=+uuurruuuuurruuurr2222233444477aaaaa+=+若0a=，则21sin7q=，若0a，则343442sin1144777aaq=+=+，当且仅当4aa=，即2a=时，等号成立，所以直线AN与平面11ABC所成角的正弦值的最大值427.17（本小题满分 15 分）已知函数 2eexxfxax=+-.(1)当3a=时，求 f x的单调区间；(2)讨论 f x极值点的个数.【解】（1）当3a=时，2ee3xxfxx=+-定义域为R，又 22ee3xxfx=+-，所以 2e3e1xxfx=+-，由()0fx，解得0 x，此时 f x单调递增；由 0fx，解得0 x，所以 f x在R上单调递增，即 f x极值点的个数为0个；当0a 时，易知1 80a+，故解关于t的方程220tta+-=得，111 84at-+=，211 84at-+=，所以 122 eexxfxtt=-，又211 81 1044at-+-+=，111 804at-+=时，()0fx，即 f x在2ln,t+上单调递增，当2lnxt时，0fx时，f x极值点的个数为1个.18（本小题满分 17 分）设抛物线2:2(0)C ypx p=，过焦点F的直线与抛物线C交于点11,A x y，22,B xy.当直线AB垂直于x轴时，2AB=.(1)求抛物线C的标准方程.(2)已知点1,0P，直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D.求证：直线CD过定点；求PABV与PCDV面积之和的最小值.【解】（1）由题意，当直线AB垂直于x轴时，12px=，代入抛物线方程得1yp=，则2ABp=，所以22p=，即1p=，所以抛物线2:2C yx=.（2）（i）设33,C xy，44,D xy，直线1:2AB xmy=+，与抛物线2:2C yx=联立，得2210ymy-=，因此122yym+=，121y y=-.设直线:1AC xny=+，与抛物线2:2C yx=联立，得2220yny-=，因此132yyn+=，132y y=-，则312yy-=.同理可得422yy-=.所以34341222343434121222122222CDyyyyy ykyyxxyyyymyy-=-=-+-.因此直线33:2CD xm yyx=-+，由对称性知，定点在x轴上，令0y=得，223333211112124222222ymxmyxmymyyyy-=-+=-+=-+=+1221222211111212122222yyyy yyyyyy+=+=+=+=，所以直线CD过定点2,0Q.（ii）因为12121124PABSPFyyyy=-=-V，12341212121211221122PCDyySPQyyyyyyyyy y-=-=-=-=-V，所以221255554414422PABPCDSSyymm+=-=+=+VV，当且仅当0m=时取到最小值52.19（本小题满分 17 分）给定整数3n，由n元实数集合S定义其相伴数集,Taba bS ab=-，如果 min1T=，则称集合 S 为一个n元规范数集，并定义 S 的范数f为其中所有元素绝对值之和.(1)判断0.1,1.1,2,2.5A=-、1.5,0.5,0.5,1.5B=-哪个是规范数集，并说明理由；(2)任取一个n元规范数集 S，记m、M分别为其中最小数与最大数，求证：minmax1SSn+-；(3)当122023,Sa aa=L遍历所有 2023 元规范数集时，求范数f的最小值.注：min X、max X分别表示数集X中的最小数与最大数.【解】（1）对于集合 A：因为2.520.51-=，所以集合 A 不是规范数集；对于集合 B：因为1.5,0.5,0.5,1.5B=-，又1.5(0.5)1-=，1.50.52-=，1.5 1.53-=，0.50.51-=，0.5 1.52-=，0.5 1.51-=，所以 B 相伴数集1,2,3T=，即 min1T=，故集合 B 是规范数集.（2）不妨设集合 S 中的元素为12nxxxL，即 1min,maxnSxSx=，因为 S 为规范数集，则,11iin*-N，则11iixx+-，且00,11iin*$-N，使得0011iixx+-=，当10 x 时，则 11213211minmax2nnnnSSxxxxxxxxxxx-+=+=+=-+-+-+L1121nxn-+-，当且仅当11iixx+-=且10 x=时，等号成立；当0nx 时，则 1121321minmax2nnnnnSSxxxxxxxxxxx-+=+=-=-+-+-L1 21nnxn-，当且仅当11iixx+-=且0nx=时，等号成立；当10,0nxx时，则 11211minmax1nnnnSSxxxxxxxxn-+=+=-+=-+-L，当且仅当11iixx+-=时，等号成立；综上所述：minmax1SSn+-.（3）法一：不妨设122023aaaL，因为 S 为规范数集，则,12022ii*N，则11iiaa+-，且00,12022ii*$N，使得0011iiaa+-=，当10a 时，则当22023n时，可得 11221111nnnnnaaaaaaaana-=-+-+-+-+L，当且仅当11,11iiaaiin*+-=-N时，等号成立，则范数12202312202311112022faaaaaaaaa=+=+LLL，当且仅当11,12022iiaaii*+-=N时，等号成立，又111112022120221202220231011 202320232aaaaa+=+=+L1011 2023，当且仅当10a=时，等号成立，故1011 2023f，即范数f的最小值1011 2023；当20230a时，则当12022n时，可得 20232022202220211202320232023nnnaaaaaaaana+=-+-+-+-+L，当且仅当11,2022iiaaini*+-=N时，等号成立，则20232023nana-，则范数122023122023faaaaaa=+=-LL2023202320232023202220211aaaa-+-+-+-L，当且仅当11,2022iiaaini*+-=N时，等号成立，又 2023202320232023202320221202220222021120232aaaaa+-+-+-+-=-L20231011 202320231011 2023a=-，当且仅当20230a=时，等号成立，故1011 2023f，即范数f的最小值1011 2023；当,12022mm*$N，使得10mmaa+，且20230a，当202320m-，即20232m，即1011m 时，则当12023mn+时，可得 11221111nnnnnmmmmaaaaaaaanma-+=-+-+-+-+L，当且仅当1,120 2,21iiaiaim*+-=N时，等号成立，则当1nm时，可得 11111mnmmmmnnaaaaaaaamn+-+-=-+-+-+L，当且仅当11,iiaainim*+-=N时，等号成立，则范数 1220231212023mmfaaaaaaaa+=+=-+LLL 111211122023mmmmmmmaaaaaamaaaa+=-+-+-+LL11111112022mmmmmmmaaama+-+-+-+LL11202320222023222mm mmmm a+-=+-2120221011 202320232mmmm a+=-+-220221011 2023mm-+；对于220221011 20231011ymmm=-+，其开口向上，对称轴为1011m=，所以2min10112022 1011 1011 20231012 1011y=-+=，所以范数f的最小值为1012 1011；当202320m-，即1012m 时，则当12023mn+时，可得 1121nmnnnnmmaaaaaaaanm-+-=-+-+-L，当且仅当1,120 2,21iiaiaim*+-=N时，等号成立，则当1nm时，可得 1121nmmmmnnmmaaaaaaaamna-+-=-+-+-L，当且仅当11,1iiaainim*+-=-N时，等号成立，则范数 1220231212023mmfaaaaaaaa+=+=-+LLL 12120232023mmmmmaaaaaaam a+=-+-+-+-LL 1211220232023mmmmmamm a-+-+-+-+-LL1202320242023222mm mmmm a-=+-220241012 202320232mmmm a=-+-220241012 2023mm-+；对于220241012 20231012ymmm=-+，其开口向上，对称轴为1012m=，所以2min10122024 1012 1011 20231012 1011y=-+=，所以范数1012 1011f；综上所述：范数f的最小值1012 1011.法二：不妨设122023aaaL，因为 S 为规范数集，则,12022ii*N，则11iiaa+-，且00,12022ii*$N，使得0011iiaa+-=，所以对于2024,jjjSaaS-=L，同样有,11011jj*N，则11jjaa+-，由（2）的证明过程与结论 minmax1SSn+-可得，minmax20242jjSSj+-，当且仅当11jjaa+-=时，等号成立，即120232022aa+，220222020aa+，101110132aa+，所以范数1220232012202220202faaaa=+LL201220122022210111012 10111012 10112aa+=+=+，当且仅当20120a=时，等号成立，所以范数f的最小值1012 1011.2024 年高考押题预测卷 01【新九省卷】数学参考答案第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 58 分）分）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678ABAD ABCD二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分91011ABBCDAD第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 92 分）分）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。13,33,-+U1415151-四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。