典型应用题(讲义)--2024年六年级下册小升初数学思维拓展含答案.pdf

试卷第 1 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司典型应用题典型应用题1和和差差问题问题【知识点归纳】公式：（和+差）2大数（和差）2小数 2和倍问题和倍问题【知识点归纳】公式：两数和份数和小数小数倍数大数 或 两数和小数大数和倍问题的特点是利用大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数各是多少的应用题，解答和倍应用题的最好助手是，采用画线段图的方法来表示两种量间的数量关系，以便找到解题的途径3植树问题植树问题【知识点归纳】为使其更直观，用图示法来说明树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形1、如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多 1，即：棵数间隔数+1 2、如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数间隔数 3、如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少 1，即：棵数间隔数1 4、如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多 1，再乘二，即：棵树段数+1再乘二二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数间隔数三、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树则棵数（每边的棵数1）边数 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：（1）如果在非封闭线路的两端都要植树，那么：板块一：知识精讲板块一：知识精讲典型应用题(讲义)-2024年六年级下册小升初数学思维拓展试卷第 2 页，共 16 页 株数段数+1全长株距+1 全长株距（株数1）株距全长（株数1）（2）如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：株数段数全长株距 全长株距株数 株距全长株数 4方阵问题方阵问题【知识点归纳】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题 数量关系：（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数（每边人数1）4 每边人数四周人数4+1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数每边人数每边人数 空心方阵：总人数（外边人数）2（内边人数）2 内边人数外边人数层数2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数（每边人数层数）层数4 5年龄问题年龄问题【知识点归纳】年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；解题规律：抓住年龄差是个不变的数（常数），而倍数却是每年都在变化的这个关键 解答年龄问题的一般方法是：几年后年龄大小年龄差倍数差小年龄 试卷第 3 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 几年前年龄小年龄大小年龄差倍数差 6鸡兔同笼鸡兔同笼【知识点归纳】方法：假设法，方程法，抬腿法，列表法 公式 1：（兔的脚数总只数总脚数）（兔的脚数鸡的脚数）鸡的只数；总只数鸡的只数兔的只数 公式 2：（总脚数鸡的脚数总只数）（兔的脚数鸡的脚数）兔的只数；总只数兔的只数鸡的只数 公式 3：总脚数2总头数兔的只数；总只数兔的只数鸡的只数 公式 4：鸡的只数（4鸡兔总只数鸡兔总脚数）2；兔的只数鸡兔总只数鸡的只数 公式 5：兔总只数（鸡兔总脚数2鸡兔总只数）2；鸡的只数鸡兔总只数兔总只数 公式 6：（头数 x4实际脚数）2鸡 公式 7：4+2（总数x）总脚数（x兔，总数x鸡数，用于方程）公式 8：鸡的只数：兔的只数兔的脚数（总脚数总只数）：（总脚数总只数）鸡的脚数 7平均数问题平均数问题【知识点归纳】求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数”平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数 解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数 8盈亏问题盈亏问题【知识点归纳】把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题 解盈亏问题的公式 一盈一亏的解法：（盈数+亏数）两次每人分配数的差 双盈的解法：（大盈小盈）两次每人分配数的差 双亏的解法：（大亏小亏）两次每人分配数的差 9逆推问题逆推问题 试卷第 4 页，共 16 页【知识点归纳】1逆推问题内容：逆推问题还可称为还原问题，解答这类问题时，要根据题意的叙述顺序，由后向前逆推计算 2解题方法：（1）要根据题意的顺序，从最后一组数量关系逆推至第一组数量关系，这就是逆推法中去处顺序的逆推含义（2）原题相加，逆推用减；原题相减，逆推用加；原题相乘，逆推用除；原题相除，逆推用乘，这就是逆推法中计算方法的逆运算含义 10周期性问题周期性问题【知识点归纳】1周期性问题内容：在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现如：人的 12 生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期有七天等等像这些问题，我们称为“简单周期问题”2周期性问题解决方法：这一类问题一般要利用余数的知识来解答 这就要求我们对题目要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果 11最优化问题最优化问题【知识点归纳】最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容下面我们就最优化问题做出汇总分析 最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举 板块二：典题精练板块二：典题精练 试卷第 5 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 1一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果接甲、乙、甲、乙顺序交替工作，每次1小时，那么需要多长时间完成？2新学期开始，有一批新的教科书要分发到各位学生手中，这批教科书必须由一个小组的学生来搬，这批教科书如果由小组中的男生来搬，每人搬 25 本，那么还有 15 本没人搬，如果由小组中的女生来搬，每人搬 20 本，那么最后一名女生只需要搬 10 本已知这个小组的学生一共有 8 人，求男、女生各有多少名？3甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按9:8:3派工，后因丙村不出工，将他承担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资 360 元，结果甲村共派出 45 人，乙村共派出 35 人，完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？4一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是 97；过了一会跑走的公羊又回到了羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是 75这群羊原来有多少只？试卷第 6 页，共 16 页 5学校给参加夏令营的同学租了几辆大轿车，如果每辆车乘 28 人，则有 13 名同学上不了车；如果每辆车乘 32 人，则还有 3 个空座。一共有同学几名？6一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成56时离去，结果恰好按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半；如果丙不来帮忙，仅由乙接替甲一直做下去，就会比计划推迟103天完成；如果全由甲单独做，就会比计划提前 6 天完成。已知乙的工作效率是丙的 3 倍。请问：原计划工期是多少天？7有 120 个皮球，分给两个班使用，一班分到的与二班分到的相等，求两个班各分到多少皮球？8妈妈买了 2 斤苹果，4 斤菠萝，花去 14 元；爸爸买了 3 斤苹果，2 斤菠萝，花去 13 元；那么 1 斤苹果，1 斤菠萝各多少钱？9某工程队预计 30 天修完一条水渠，先由 18 人修了 12 天后完成工程的一半，如果要提前 9 天完成，还要增加多少人？试卷第 7 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 10有 3 个人同时到一个水龙头前接水，甲要用 7 分钟，乙要用 5 分钟，丙要用 3 分钟，你怎样安排接水的先后顺序，才能使 3 人等待时间的总和最少 11一个班有学生 48 人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项已知参加跑步的有 37 人，参加跳高的有 40 人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？12120 头牛 28 天吃完 10 公顷牧场上的全部牧草，210 头牛 63 天吃完 30 公顷牧场上的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头牛 126 天可以吃完 72 公顷牧场上的全部牧草？13白色容器中有浓度为 12%的盐水 500 克，黄色容器中有 500 克水把白色容器中盐水的一半倒入黄色容器中；混合后，再把黄色容器中现有盐水的一半倒入白色容器中；混合后，再把白色容器中的盐水倒入黄色容器，使两个容器盐水一样多问最后黄色容器中的盐水浓度是多少？14一个蓄水池，每分钟流入 4 立方米水.如果打开 5 个水龙头，2 小时半就把水池水放空，如果打开 8 个水龙头，1 小时半就把水池水放空.现在打开 13 个水龙头，问要多少时间才能把水放空？试卷第 8 页，共 16 页 15一位老人去世后留下一笔遗产分给其三个子女老大分的财产是其余两人的12，老二分的财产是其余两人的13，老三分的财产是 12000 元问老人留下的遗产是多少元？16有几个同学想称一下体重，可是秤的秤砣不齐，只能称 50 千克以上的重量，他们只好每人都和其他人合称一次，共得到以下 10 个数据（单位：千克）：75、78、79、80、81、82、83、84、86、88。问：（1）有几名同学？（2）他们的重量各是多少千克？17如下图，在街道上有 A、B、C、D、E、F 六栋居民楼，每栋楼里每天都有 20 个人要坐车，现在想设立一个公交站，使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？18甲买了 5 本故事书，乙买了 4 本连环画，共用了 44 元钱如果甲和乙交换一本书，那么两人所有书的价钱相等故事书和连环画每本多少钱？试卷第 9 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 19明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出 8 元，就多出了 8 元；每人出 7 元，就多出了 4 元那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？20（广州）小方每天 6 点回家吃饭，一天，她妈妈从六点开始等，一直到时针与分针第二次成直角时，小方才回家问小方几点回到家的？21有两块地共 90 公亩，第一块地的和第二块地的种茄子，两块地余下的共 45 公亩种西红柿求第一块地有多少公亩？22五个不同的自然数分别是 A、B、C、D、E，它们从小到大依次排列，它们的平均数是 23,前四个数的平均数是 21,后四个数的平均数是 24.已知 C 是偶数，D 是多少？试卷第 10 页，共 16 页 23校门口放着一排花，共10盆。从左往右数茉莉花摆在第6，从右往左数，月季花摆在第8，一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间。算一算，一串红花一共有多少盆？24粮站购进大米和面粉各若干，如果大米增加 60 吨，面粉减少 45 吨，则大米和面粉一样多；如果再购进面粉 35 吨面粉刚好是大米的 3 倍。原有大米和面粉各多少吨？25 由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，经过计算，现有牧场上的草可以供 20 头牛吃 5 天，或可以供 16 头牛吃 6 天那么 11 头牛可以吃几天？26一个剧团去外地演出，休息一天，就要付出 60 元的剧场租金，演出一天，扣去场租、杂项开支，平均可收入 240 元现租用剧场 30 天，演出共收入 4200 元，这个剧团演出多少天？试卷第 11 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 27一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开 A 管，8 小时可将满池水排空，打开 C 管，12 小时可将满池水排空.如果打开 A，B 两管，4 小时可将水排空.问打开 B，C 两管，要几小时才能将满池水排空？28姐姐和弟弟共有贺卡 80 张，如果姐姐给弟弟 3 张后，还比弟弟多 4 张姐姐和弟弟原来各有多少张？29将含农药30%的药液，加入一定量的水以后，药液含药24%，如果再加入同样多的水，药液含药的百分比是多少？30甲、乙两名选手在一条河中进行划船比赛，赛道是河中央的长方形 ABCD，其中 AD=100 米，AB=80米，已知水流从左到右，速度为每秒 1 米，甲乙两名选手从 A 处同时出发，甲沿顺时针方向划行，乙沿逆时针方向划行，已知甲比乙的静水速度每秒快 1 米，（AB、CD 边上视为静水），两人第一次相遇在 CD 边上的 P 点，4CP=CD，那么在比赛开始的 5 分钟内，两人一共相遇几次？试卷第 12 页，共 16 页 31一个正方形的一边减少20%，另一边增加 2米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方形面积相等。原正方形的边长是多少米？32今年母女年龄和是 45 岁，5 年后母亲的年龄正好是女儿的 4 倍，今年妈妈和女儿各多少岁？33进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少现在开始在这片牧场上放羊，如果有 38 只羊，把草吃完需要 25 天；如果有 30 只羊，把草吃完需要 30 天如果有 20 只羊，这片牧场可以吃多少天？34某公司有15的职员参加新产品的开发工作，后来又有2名职工主动参加，这样参加新产品开发的职工人数是其余人数的13，原来有多少职工参加开发工作？353 个笼子里共养了 78 只鹦鹉，如果从第 1 个笼子里取出 8 只放到第 2 个笼子里，再从第 2 个笼子里取出 6 只放到第 3 个笼子里，那么 3 个笼子里的鹦鹉一样多。求 3 个笼子里原来各养了多少只鹦鹉？试卷第 13 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 36甲、乙、丙三人在外出时买了 8 个面包，平均分给三个人吃。甲没有带钱，乙付了 5 个面包的钱，丙付了 3 个面包的钱。后来，甲带来了他应付的四元八角钱，请问，应还给乙、丙各多少钱？378 个数从小到大排成一列，它们的平均数是 32，前 5 个数的平均数是 24后 5 个数的和是 210，中间两个数的平均数是多少？38大、小两瓶油共重 2.7 千克小瓶用 0.3 千克后，大瓶油与小瓶油剩下的重量比是 2：1小瓶原来有油多少千克？39丁丁和玲玲两人摘苹果，丁丁说：“把我摘的苹果给玲玲 7 个，玲玲摘的苹果的个数就是我的 2 倍”玲玲说：“把我摘的苹果给丁丁 7 个，他的苹果个数就和我的一样多了”问丁丁和玲玲各摘了多少个苹果？40哥哥 5 年后的年龄与弟弟 3 年前的年龄和是 29 岁，弟弟今年的年龄是两人年龄差的 4 倍哥哥今年多少岁？试卷第 14 页，共 16 页 41甲乙两人进行 400 比赛，第 1 次甲让乙先跑 18 秒，结果甲落后 40 米第 2 次甲让乙先跑 25 米，结果甲比乙早到 7.5 秒，跑 400 米，甲、乙各需要多少时间？42高中学生的人数是初中学生人数的56，高中毕业生的人数是初中毕业生人数的1217，高、初中毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是 520 人问高、初中毕业生共有多少人？43某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲乙二人都急于上楼办事,因此在扶梯的同时匀速登梯,甲登了 55 级后到达楼上，乙登梯速度是甲的 2 倍(单位时间乙登梯级数是甲的 2 倍)，他登了 60 级后到达楼上，求自动扶梯的级数？4430 粒珠子依 8 粒红色、2 粒黑色、8 粒红色、2 粒黑色的次序串成一圈。一只蚱蜢从第 2 粒黑珠子起跳，每次跳过 6 粒珠子落在下一粒珠子上。这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑珠子上。45有甲、乙、丙三组工人，甲组 4 人的工作，乙组需要 5 人来完成；乙组的 3 人工作，丙组需要 8 人来完成一项工作，需要甲组 13 人来完成，乙组 15 人 3 天来完成如果让丙组 10 人去做，需要多少天来完成？试卷第 15 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 46某工厂有A、B、C、D、E五个车间，人数各不相等。由于工作需要，把B车间工人的12调入A车间，C车间工人的13调入B车间，D车间工人的14调入C车间，E车间工人的16调入D车间。现在五个车间都是 30 人。原来每个车间各有多少人？47今年父亲的年龄为儿子年龄的 4 倍，20 年后父亲的年龄为儿子年龄的 2 倍，问今年儿子多少岁？48 妈妈下班回家做饭，淘米要 2 分钟，煮饭要 30 分钟，洗菜要 9 分钟，切菜要 8 分钟，炒菜要 12 分钟 如果煮饭和炒菜要用不同的锅和炉子，妈妈要将饭菜都做好，最少要用多长时间？49 有一个班的同学去划船，如果增加一只船，正好每只船坐 8 人；如果减少一条船正好每只船上坐 10 人。问：这个班级共有多少人？50小林有 2 元一张的人民币和 5 元一张的人民币共 63 张，共计 171 元，小林两种人民币各有多少张？试卷第 16 页，共 16 页 51哥弟俩共有邮票 70 张，如果哥哥给弟弟 4 张邮票，这时哥哥还比弟弟多 2 张哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？52某商店从深圳运来一批水果，运费花了 1000 元，水果报损了 100 千克，若按 2 元 1 千克卖出，则要亏损 300 元；若按 3 元 1 千克买出，则可盈利 500 元。问原来进货多少千克？水果进货的金额是多少元？53一列货车和一列客车同时从甲乙两地相向开出，已知客车的速度是货车的速度的23，两车相遇时，客车比货车少行 8 千米求甲、乙两地间的距离 答案第 1 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案：参考答案：17小时20分钟【分析】先求出甲、乙各自的工作效率，然后轮流做的话，每两小时完成的工程量是一样的，可以按照周期问题求解。【详解】甲1小时完成整个工程的16，乙1小时完成整个工程的110，交替干活时两个小时完成整个工程的11461015+=；甲、乙各干3小时后完成整个工程的443155=，还剩下15；甲再干1小时完成整个工程的16，还剩下130，乙花13小时即20分钟即可完成。答：需要7小时20分钟来完成整个工程。【点睛】本题考查的是工程问题，如果直接用41215是错误的，相当于是把最后单独做的情况看成合作的情况。2男生 3 人，女生 5 人【详解】解：设这个小组中的男生的人数为 x 人，那么女生的人数为 8 x 人 根据题意列方程：25x+15=20(8 x)10 25x+15=150 20 x 45x=135 x=3 所以这个小组中有男生 3 人，女生 8 3=5 人 390元【分析】丙村出的 360 元钱应该是其他两个村帮他完成的工作量，换句话说，我们应该考虑的是甲乙两村各帮丙村出了多少人，然后再计算如何分配。【详解】甲、乙两村共派出了453580+=人，而这 80 人，按照原计划应是甲村派出98036983=+人，乙村派出 32 人，丙村派出 12 人；所以，实际上甲村帮丙村派出了45369=人，乙村帮丙村派出了35323=人，所以丙村拿出的 360 元钱，也应该按9:33:1=来分配给甲、乙两村，所以，甲村应分得：()3603 13+36043 270（元）答案第 2 页，共 17 页 乙村应分得：36027090=元。答：甲村分到 270 元，乙村分到 90 元。【点睛】本题考查的是工程问题与比例问题，注意这里是按照工程量分配，而不是按照人数分配。449 只【分析】分析题意，设这群羊原有 x 只，结合已知条件可知：(原有羊的只数-1)跑走一只公羊后现在公羊只数占总数的分率+1=(原有羊的只数-1)跑走一只母羊后公羊占总只数的分率，根据这个等量关系列方程求解即可【详解】解：设这群羊原来有 x 只(x-1)997+1=(x-1)775+x=49 答：这群羊原来有 49 只 5125 名【分析】如果每辆车乘 28 人，则有 13 名同学上不了车，即每辆车乘 28 人，人数多出 13 人；如果每辆车乘 32 人，则还有 3 个空座，则每辆车乘 32 人，人数缺少 3 人；对此两次乘车的方法，第二次比第一次每辆车多乘 32284 人，则就要多乘人数 13316 人；用多乘的人数两次乘车的人数差车数，再用车数每车乘人数多（或少）的人数总人数。【详解】（133）（3228）164 4（辆）42813 11213 125（人）答：一共有 125 名同学。【点睛】解决本题的关键是对比两次乘车方法差异以及造成这个人数差异的原因，算出盈与亏。此题也可以用方程求解。630 天【分析】把这项工程的总量看作单位“1”，依据题意可得：若丙不来帮忙，乙完成工作总量的（5612）4112需要103天，那么乙完成工作总量的12就需要1211210320 天，若甲单独干后面的12112712就需 答案第 3 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 要 20614 天，即甲单独完成整个工程就需要 1471224 天，此时间应该比计划工期提前 6 天，最后依据计划需要的时间甲单干需要的时间6 天即可解答。【详解】解：乙完成工作总量的12需要的时间：12（5612）4103 6103 20（天）甲单干完成整个工程需要的时间：（206）12（5612）4）14712 24（天）原计划工期：24630（天）答：原计划工期是 30 天。【点睛】解答本题的关键是求出甲单干完成工期需要的时间。7一班：72 个 二班：48 个【分析】用分数转化法统一单位“1”，题目告诉我们“一班的与二班的相等”，即一班的和二班的相对应可以用得到二班的球数相当于一班的几分之几，总球数 120 就和两个班的分率之和相对应，可求出一班到多少皮球【详解】二班分到的球占一班的，一班分到多少皮球，二班分到多少皮球120-72=48（个）83 元；2 元【分析】分析题意，2 斤苹果4 斤菠萝14 元，3 斤苹果2 斤菠萝13 元，可转化为：6 斤苹果4 斤菠萝26 元，所以（62）斤苹果的售价为（2614）元，据此利用除法先求出苹果的单价，从而求出菠萝的单价即可。【详解】（2614）（62）124 答案第 4 页，共 17 页 3（元）（1432）4 84 2（元）答：1 斤苹果 3 元，1 斤菠萝 2 元。【点睛】本题考查了归一问题，能根据题意正确列式是解题的关键。96 人【分析】假设每人每天干的工作量是 1 份，则这个工程的总工作量的一半有 1812216 份，要保证提前 9天完成，即 30921 天完成，求出完成剩下的工作量需要的人数，再减去 18 人，就是增加的人数，据此解答即可。【详解】1812（30129）2169 24（人）24186（人）答：还需要增加 6 人。【点睛】本题考查的是基本的工程问题，比较基础，细心解答即可。10要使 3 人等待的时间最短，就要安排用时最短的先接水，所以先后顺序为：【详解】此类问题，一般用时最短的在最前面，本题中等待的时间总和最少为 33+52+7=26(分钟)1129 人【分析】两项比赛都参加的学生人数，就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分，排除掉重复部分，所得的就是全体参赛人数，也就是全班学生人数解答这类问题最好先画图，它可以帮助我们分析数量关系【详解】解：设两项比赛都参加的有 X 人，那么（37+40）-X=48 X=29【点睛】一般地，假设具有性质 A 的事物（人）有 XA个，具有性质 B 的事物（人）有 XB个，既具有性质A，又具有性质 B 的事物（人）有 XAB个，至少具有 A、B 中一种性质的事物（人）有 X 个，那么：X=（XAXB）-XAB这个关系式可用下图来表示：答案第 5 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 这个示意图直观形象地揭示了包含排除原理，同时也为计算一些组合图形的面积提供了另一种思路 12360 头【详解】设 1 头牛 1 天吃 1 份牧草 120 头牛 28 天吃掉 120283360 份，说明每公顷牧场 28 天提供 336010336 份牧草；210 头牛 63 天吃掉 2106313230 份，说明每公顷牧场 63 天提供 1323030441 份牧草；每公顷牧场 632835 天多提供 441336105 份牧草，说明每公顷牧场每天的牧草生长量为 105353份，原有草量为 336283252 份 如果是 72 公顷的牧场，原有草量为 2527218144 份，每天新长出 372216 份，126 天共计提供牧草 1814412621645360 份，可供 45360126360 头牛吃 126 天 134.8%【详解】从白色容器中倒一半给黄色容器后，黄色容器中有盐水 750 克，其中含盐 从黄色容器中倒一半给白色容器后，白色容器中有盐水 250+375=625（克），其中含盐 30+15=45（克），黄色容器中含盐为 30-15=15（克）从白色容器中倒入 625-500=125（克）给黄色容器，其中含盐最后黄色容器中溶液浓度为（15+9）500100%=4.8%1454 分钟【分析】水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.【详解】先计算 1 个水龙头每分钟放出水量.2 小时半比 1 小时半多 60 分钟，多流入水 460=240（立方米）.时间都用分钟作单位，1 个水龙头每分钟放水量是 240（5150-890）=8（立方米），8 个水龙头 1 个半小时放出的水量是 8890，其中 90 分钟内流入水量是 490，因此原来水池中存有水 8890-490=5400（立方米）.打开 13 个水龙头每分钟可以放出水 813，除去每分钟流入 4，其余将放出原存的水，放空原存的 5400，需要 5400（813-4）=54（分钟）.答：打开 13 个龙头，放空水池要 54 分钟.答案第 6 页，共 17 页 1528800 元【分析】老大分了全部财产的112+，老二分了全部财产的11 3+，由此可的老三分了全部财产的 1-112+-11 3+=512，也就是 12000 对应的分率总财产由此可求【详解】12000（1-112+-11 3+）=28800（元）答：老人留下的遗产是 28800 元 16（1）有 5 名；（2）他们的体重分别为 37 千克、38 千克、41 千克、43 千克、45 千克。【分析】每人都和其他人合称一次，总共称了 10 次，相当于从这些同学中选出 2 个有 10 种方法，那么需要有 5 个人；可以把这 5 人的体重依次设为未知数，由于每人称和其他人合称一次，得到的 10 组数相当于是这 5 人体重之和的 4 倍，可以先求出这 5 人体重之和，再计算各自的体重。【详解】（1）首先2554210=C，也就是说 5 个同学两两合称才恰好需要称 10 次，所以有 5 个同学。答：有 5 名同学。（2）设这 5 个同学的体重从小到大依次为A、B、C、D、E。则有75+=AB，78+=AC，88+=DE，86+=CE；()7578798081 82838486884+8164=204=（千克）204758841=C千克；784137=A千克；864145=E千克；753738=B千克；884543=D千克。答：他们的体重分别为 37 千克、38 千克、41 千克、43 千克、45 千克。【点睛】本题考查的是和倍问题，解题的关键是理解每个人的体重被加了几次。17可以建在 C 或 D【分析】分析：先看下面这道题，如下图，在街道上有 A、B、C、D、E 五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的距离之和最短，邮筒应设于何处？条件中只有五个楼的名字和排列顺序，楼与楼的距离也不确定那么我们先来分析一下 A、E 两个点，不论这个邮筒放在 AE 之间的那一点，A 到邮筒的距离加上 E 到邮筒的距离就是 AE 的长度，也就是说邮筒放在哪儿不会影响这两个点到邮筒的距离之和；那么我们就使其他的 3 个点到邮筒的距离之和最短，再看为了 答案第 7 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 使 B、D 两个到邮筒的距离之和小，应把邮筒放在 BD 之间同理，只要是在 BD 之间，B、D 到邮筒的距离之和也是不变的，等于 BD最后，只需要考虑 C 点到邮筒的距离最近就行了那么当然也就是把邮筒放在 C 点了这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”【详解】因为每栋楼的人数相同所以数量不影响选择，找最中间的那栋楼，可这时最中间的楼有两个经过研究发现，建在这两个楼都一样，路程和最短，所以可以建在 C 或 D如果我们只要求建在这条道路上的一点即可，那么 CD 之间及点 C、D 均可【点睛】有“奇数”个点时就选最中间的那个点，有“偶数”个点的时候就选择最中间的两个点之间的任意一点 18每本故事书 4 元；每本连环画 6 元【详解】根据甲、乙交换一本书后总价相等，也就是说：（1）4 本故事书、1 本连环画，共 442=22（元）；（2）1 本故事书、3 本连环画，共 442=22（元）把（1）扩大 3 倍：（3）12 本故事书、3 本连环画，共 223=66（元）；比较（2）（3）可知，每本故事书（6622）（121）=4（元）；所以每本连环画（224）3=6（元）194 个 24 元【分析】“多 8 元”与“多 4 元”两者相差844=（元），每个人要多出871=（元），因此就知道，共有4 14=（人），蛋糕价钱是8 4824=（元）【详解】844=（元）871=（元）4 14=（人）蛋糕价钱是：8 4824=（元）答：有 4 个同学去买蛋糕，这个蛋糕的价钱是 24 元 20所以小明是 6 点 49分回家【详解】试题分析：分针 60 分钟走完 360，每分钟走 6，时针 60 分钟走完 30，每分钟走 0.5；6 时整时，时针与分针组成一共平角，是 180，六点时，分针落后时针 180，先求出分针追上时针需要的时间，这个过程中分针和时针成一次直角；第二次成直角时，分针又比时针多走 90，再求出又走了多少分钟，进而求出经过的总时间 解答：解：分针 60 分钟走完 360，每分钟走 6；时针 60 分钟走完 30，每分钟走 0.5；答案第 8 页，共 17 页 六点时，分针落后时针 180（此处以分针为时间单位）；那么分针追上时针的时间=180（60.5）=（分）；这段时间成过一次直角；第二次成直角所需时间=90（60.5）=（分）；+=49（分）；答：所以小明是 6 点 49分回家 点评：解决本题关键是找出两次成直角分针要比时针多走多少度 2136 公亩【详解】解：设第一块地有 x 公亩，则第二块地有（90-x）公亩，依题意可得：答：第一块地有 36 公亩 2223【分析】平均数问题与不定方程【详解】依题意得 A=235-244=19 E=235-214=31 B+C+D=214-19=65 因为65321，所以 D 应大于 21而 AB20又 C 为偶数，因此若 C=22，此时 D 至少为 23若 D=23，此时则 B=65-22-23=20若 D23，则 B19，不符合题意故 D=23 232盆【分析】从左往右数茉莉花摆在第6，那么从右往左数茉莉花就是第10（61）盆，即第 5 盆，从右往左数，月季花摆在第8，从左往右数月季花就是第10（81）盆花，即第 3 盆花，一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间，一串红花一共有：10532=（盆）。【详解】1010（61）10（81）10105107 1053 答案第 9 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 2（盆）答：一串红花一共有 2 盆。【点睛】解答本题的关键是，找出月季花与茉莉花分别摆放在第几盆的位置，即一串红的左边有几盆花，右边有几盆花，即可求出它们之间可以摆放几盆一串红。2470 吨 175 吨【详解】大米:（60+45+35）（3-1）=70（吨）面粉:70+60+45=175（吨）答：原来有大米 70 吨，面粉 175 吨。258 天【详解】解：假设每头牛每天吃青草 1 份，青草的减少速度为：（205166）（65）=41=4（份）；草地原有的草的份数：205+45=100+20=120（份）；那么 11 头牛每天吃青草 11 份，青草每天减少 4 份，可以看作每天有 11+4=15（头）牛吃草，草地原有的120 份草，可吃：12015=8（天）答：可供 11 头牛吃 8 天 2620 天【详解】根据题干可知，假设 30 天全部演出，则实际收入应该是 24030=7200（元），这就比已知的收入4200 元多了 7200-4200=3000（元），因为演出一天，可收入 240 元，休息一天，不仅不能得到 240 元，还要付出 60 元，所以可以看做是演出一天比休息一天可以多收入 240+60=300（元），所以可求出休息了：3000300=10（天），则实际演出了 30-10=20（天）解：假设演出 30 天，则休息了：（240300-4200）（240+60）=3000300 答案第 10 页，共 17 页=10（天）则实际演出了：30-10=20（天）答：这个剧团演出了 20 天 274 小时 48 分【分析】本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为 8 与 12 的最小公倍数 24.【详解】设满水池的水量为 1.A 管每小时排出18+1 小时渗入水量，A 管 4 小时排出12+4 小时渗入水量，因为 A、B 合开时，4 小时将满池水排完，所以 B 管 4 小时的排水量为12，每个小时排水量为124=18.C 管每小时排水量是112+1 小时的渗水量，因此，B，C 两管齐开，每小时排水量是18+112+1 小时的渗水量，B，C 两管齐开，排光满水池的水，所需时间是 1（18+112）=445（小时）=4 小时 48 分.答：B，C 两管齐开要 4 小时 48 分才将满池水排完.28姐姐：45 张 弟弟：35 张【分析】姐姐给弟弟 3 张，说明姐姐比弟弟多 2 个 3 张即 32=6（张），又知姐姐给过弟弟后，还比弟弟多4 张，可知姐姐原来一共比弟弟多 64=10（张），这也就是姐姐比弟弟贺卡的数量差，题中知道二人贺卡张数和，可以求出原来两人各多少张【详解】32=6（张）64=10（张）姐姐：（80+10）245（张）弟弟：80-4535（张）答：姐姐原来有 45 张，弟弟原来有 35 张 2920%【详解】开始时药与水的比为3:7，加入一定量的水后，药与水的比为24:766:19=，由于在操作开始前后药的重量不变，所以我们把开始时药与水的比化为6:14，即，原来药占6份，水占14份；加入一定量的水后，药还是6份，水变为19份，所以加入了5份的水，若再加入5份的水，则水变为24份，药仍然为6份，所以最后得到的药水中药的百分比为：6(624)100%20%+=答案第 11 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 305 次【详解】这道题涉及到两个人在 3 种水流环境中的共计 6 种速度，所以整个行程过程非常复杂，但如果各个速度之间的关系已知，那么只要知道其中一个速度就可以求得所有的速度，由此可以列出方程 解:设乙的速度为 x 米/秒，根据两人的游程距离和速度，可列出方程：8080410010080-804x+1x+1+1x+1x+=+解得：x=3所以甲的速度为 3+1=4(米/秒)甲游一圈需要804+804+1005+1003=9313（秒）乙游一圈需要8080100100112833423+=（秒）5 分钟内，甲游了 3 圈还多 20 秒，乙游了 2 圈还多1433秒 多余的时间不够合游一圈，所以两人合游了 5 圈 因为每次两人相遇时，他们的游程之和增加了一圈，所以两人共相遇了 5 次 318 米【分析】将一个正方体一边减少 20%，要使