数学（新高考卷02新题型结构）-2024年高考押题预测卷含答案.pdf

绝密启用前绝密启用前 2024 年高考押题预测卷【新高考卷】数 学（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 58 分）分）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.定义差集MNx xM-=且xN，已知集合2,3,5A=，3,5,8B=，则AAB-=I（）A.B.2C.8D.3,52.已知函数 2sin3sincos(0)f xxxxwwww=+的最小正周期为，下列结论中正确的是（）A.函数 f x的图象关于6x=对称B.函数 f x对称中心是,0122kk+ZC.函数 f x在区间5,12 12上单调递增D.函数 f x的图象可以由 1cos22g xx=+的图象向右平移3个单位长度得到3.2024 年 3 月 16 日下午 3 点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024 年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（）A.18B.36C.54D.724.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔Florence Nightingale设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法错误错误的是（）A.2015 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加B.2015 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加量 2018 年最多C.2015 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加量逐年递增D.2022 年知识付费用户数量超过 2015 年知识付费用户数量的 10 倍5.在ABCV中，D为边BC上一点，2,4,23DACADABBD=，且ADC的面积为4 3，则sin ABD=（）A.1538-B.1538+C.534-D.534+6.已知正项数列 na的前n项和为1,1nSa=，若13nnnnSaSa+=，且13242111nnMa aa aa a+L恒成立，则实数M的最小值为（）A.13B.49C.43D.37.设方程33log1xx=的两根为1x，212xxx，则（）A.101xB.121xxC.1201x x8.在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D-中，P，Q，R分别为棱BC，CD，1CC的中点，平面PQR截正方体1111ABCDABC D-外接球所得的截面面积为（）的的A.2 153B.83C.353D.53二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分9.已知,zzC是z的共轭复数，则（）A.若1 3i1 3iz+=-，则43i5z-=B.若z为纯虚数，则20z，则2 iz+D.若|3i3Mzz=+，则集合M所构成区域的面积为610.已知向量ar在向量br方向上的投影向量为3 3,22，向量1,3b=r，且ar与br夹角6，则向量ar可以为（）A.0,2B.2,0C.1,3D.3,111.已知抛物线2:2(0)C ypx p=的焦点为112233,F A x yB xyD xy为抛物线C上的任意三点（异于坐标原点O），0FAFBFD+=uuu ruuu ruuu r，且6FAFBFD+=，则下列说法正确的有（）A.4p=B.若FAFB，则FDAB=C.设,A B到直线=1x-的距离分别为12,d d，则12ddAB+的左、右焦点分别为1F，2F，P 是 C 上一点，且212PFFF，H 是线段1PF上靠近1F的三等分点，且10OH PF=uuur uuur，则 C 的离心率为_.14.随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT 等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用 11exf x-=+作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输x的x满足 1f xf xa+-则提示“可能出现梯度爆炸”，其中a表示梯度消失阈值，b表示梯度爆炸间值.给出下列四个结论：f x是R上的增函数；当eb=时，Rx$，输入x会提示“可能出现梯度爆炸”；当5ea-=时，5x，输入x会提示“可能出现梯度消失”；0,Rax$，输入x会提示“可能出现梯度消失”.其中所有正确结论的序号是_.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15（13 分）已知函数1()exf xax=+（1）讨论()f x的单调性；（2）若直线1y=与曲线()yf x=相切，求a的值16（15 分）短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的 500 名游客调查得知，南方游客有300 人，因收看短视频而来的 280 名游客中南方游客有 200 人.（1）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值0.001a=的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：单位：人短视频游客收看未看合计南方游客北方游客合计（2）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款 5 人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余 4 人之一，现有甲、乙等 5 人参加此游戏，球首先由甲传出.（i）求经过i次传递后球回到甲的概率；（ii）记前m次传递中球传到乙的次数为X，求X的数学期望.参考公式：22()n adbcabcdacbdc-=+，其中nabcd=+；11mmiiiiEXE X=附表：a0.10.050.010.0050.001ac2.7063.8416.6357.87910.82817（15 分）如图，在四棱锥SABCD-中，四边形ABCD是矩形，SADV是正三角形，且平面SAD 平面ABCD，1AB=，P为棱AD的中点，四棱锥SABCD-的体积为2 33.（1）若E为棱SB的中点，求证：/PE平面SCD；（2）在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成夹角的余弦值为2 35？若存在，求出线段AM的长度；若不存在，请说明理由.18（17 分）已知动点P与定点,0A m的距离和P到定直线2nxm=的距离的比为常数mn其中0,0mn，且mn，记点P的轨迹为曲线C（1）求C的方程，并说明轨迹的形状；（2）设点,0Bm-，若曲线C上两动点,M N均在x轴上方，AMBNP，且AN与BM相交于点Q当2 2,4mn=时，求证：11AMBN+的值及ABQV的周长均为定值；当mn时，记ABQV的面积为S，其内切圆半径为r，试探究是否存在常数l，使得Srl=恒成立？若存在，求l（用,m n表示）；若不存在，请说明理由19（17 分）在平面直角坐标系xOy中，利用公式xaxbyycxdy=+=+（其中a，b，c，d为常数），将点,P x y变换为点,P x y的坐标，我们称该变换为线性变换，也称为坐标变换公式，该变换公式可由a，b，c，d组成的正方形数表abcd唯一确定，我们将abcd称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，表示（1）在平面直角坐标系xOy中，将点3,4P绕原点O按逆时针旋转3p得到点P（到原点距离不变），求点P的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，将点,P x y绕原点O按逆时针旋转a角得到点,P x y（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；（3）向量,OPx y=uuu r（称为行向量形式），也可以写成xy，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式可以表示为：xabxycdy=，则称xy是二阶矩阵abcd与向量xy的乘积，设A 是一个二阶矩阵，mr，nr是平面上的任意两个向量，求证：A mnAmAn+=+rrrr绝密启用前绝密启用前 2024 年高考押题预测卷【新高考卷】数 学（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 58 分）分）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.定义差集MNx xM-=且xN，已知集合2,3,5A=，3,5,8B=，则AAB-=I（）A.B.2C.8D.3,52.已知函数 2sin3sincos(0)f xxxxwwww=+的最小正周期为，下列结论中正确的是（）A.函数 f x的图象关于6x=对称B.函数 f x对称中心是,0122kk+ZC.函数 f x在区间5,12 12上单调递增D.函数 f x的图象可以由 1cos22g xx=+的图象向右平移3个单位长度得到3.2024 年 3 月 16 日下午 3 点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024 年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（）A.18B.36C.54D.72的4.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔Florence Nightingale设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法错误错误的是（）A.2015 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加B.2015 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加量 2018 年最多C.2015 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加量逐年递增D.2022 年知识付费用户数量超过 2015 年知识付费用户数量的 10 倍5.在ABCV中，D为边BC上一点，2,4,23DACADABBD=，且ADC的面积为4 3，则sin ABD=（）A.1538-B.1538+C.534-D.534+6.已知正项数列 na的前n项和为1,1nSa=，若13nnnnSaSa+=，且13242111nnMa aa aa a+L恒成立，则实数M的最小值为（）A.13B.49C.43D.37.设方程33log1xx=的两根为1x，212xxx，则（）A.101xB.121xxC.1201x x的8.在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D-中，P，Q，R分别为棱BC，CD，1CC的中点，平面PQR截正方体1111ABCDABC D-外接球所得的截面面积为（）A.2 153B.83C.353D.53二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分9.已知,zzC是z的共轭复数，则（）A.若1 3i1 3iz+=-，则43i5z-=B.若z为纯虚数，则20z，则2 iz+D.若|3i3Mzz=+，则集合M所构成区域的面积为610.已知向量ar在向量br方向上的投影向量为3 3,22，向量1,3b=r，且ar与br夹角6，则向量ar可以为（）A.0,2B.2,0C.1,3D.3,111.已知抛物线2:2(0)C ypx p=的焦点为112233,F A x yB xyD xy为抛物线C上的任意三点（异于坐标原点O），0FAFBFD+=uuu ruuu ruuu r，且6FAFBFD+=，则下列说法正确的有（）A.4p=B.若FAFB，则FDAB=C.设,A B到直线=1x-的距离分别为12,d d，则12ddAB+的左、右焦点分别为1F，2F，P 是 C 上一点，且212PFFF，H是线段1PF上靠近1F的三等分点，且10OH PF=uuur uuur，则 C 的离心率为_.14.随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT 等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用 11exf x-=+作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输x的x满足 1f xf xa+-则提示“可能出现梯度爆炸”，其中a表示梯度消失阈值，b表示梯度爆炸间值.给出下列四个结论：f x是R上的增函数；当eb=时，Rx$，输入x会提示“可能出现梯度爆炸”；当5ea-=时，5x，输入x会提示“可能出现梯度消失”；0,Rax$，输入x会提示“可能出现梯度消失”.其中所有正确结论的序号是_.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15（13 分）已知函数1()exf xax=+（1）讨论()f x的单调性；（2）若直线1y=与曲线()yf x=相切，求a的值16（15 分）短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的 500 名游客调查得知，南方游客有 300 人，因收看短视频而来的 280 名游客中南方游客有 200 人.（1）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值0.001a=的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：单位：人游客短视频合计收看未看南方游客北方游客合计（2）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款 5 人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余 4 人之一，现有甲、乙等 5 人参加此游戏，球首先由甲传出.（i）求经过i次传递后球回到甲的概率；（ii）记前m次传递中球传到乙的次数为X，求X的数学期望.参考公式：22()n adbcabcdacbdc-=+，其中nabcd=+；11mmiiiiEXE X=附表：a0.10.050.010.0050.001ac2.7063.8416.6357.87910.82817（15 分）如图，在四棱锥SABCD-中，四边形ABCD是矩形，SADV是正三角形，且平面SAD 平面ABCD，1AB=，P为棱AD的中点，四棱锥SABCD-的体积为2 33.（1）若E为棱SB的中点，求证：/PE平面SCD；（2）在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成夹角的余弦值为2 35？若存在，求出线段AM的长度；若不存在，请说明理由.18（17 分）已知动点P与定点,0A m的距离和P到定直线2nxm=的距离的比为常数mn其中0,0mn，且mn，记点P的轨迹为曲线C（1）求C的方程，并说明轨迹的形状；（2）设点,0Bm-，若曲线C上两动点,M N均在x轴上方，AMBNP，且AN与BM相交于点Q当2 2,4mn=时，求证：11AMBN+的值及ABQV的周长均为定值；当mn时，记ABQV的面积为S，其内切圆半径为r，试探究是否存在常数l，使得Srl=恒成立？若存在，求l（用,m n表示）；若不存在，请说明理由19（17 分）在平面直角坐标系xOy中，利用公式xaxbyycxdy=+=+（其中a，b，c，d为常数），将点,P x y变换为点,P x y的坐标，我们称该变换为线性变换，也称为坐标变换公式，该变换公式可由a，b，c，d组成的正方形数表abcd唯一确定，我们将abcd称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，表示（1）在平面直角坐标系xOy中，将点3,4P绕原点O按逆时针旋转3p得到点P（到原点距离不变），求点P的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，将点,P x y绕原点O按逆时针旋转a角得到点,P x y（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；（3）向量,OPx y=uuu r（称为行向量形式），也可以写成xy，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式可以表示为：xabxycdy=，则称xy是二阶矩阵abcd与向量xy的乘积，设A 是一个二阶矩阵，mr，nr是平面上的任意两个向量，求证：A mnAmAn+=+rrrr2024 年高考押题预测卷【新高考卷】数学参考答案第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 58 分）分）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678 BDBCABCD二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分91011 ABADBD第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 92 分）分）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。13115-14622-15四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15（13 分）【解析】（1）f x的定义域为 R，1exfxa-=,当0a 时，0fx时，令 0fx=，得lnxa=-,（3 分）当,lnxa-时，0fx，f x单调递增.综上，当0a 时，f x在 R 上单调递减；当0a 时，f x在,lna-单调递减;在ln,a-+上单调递增.(7 分）（2）由（1）知，1exfxa-=，设切点00,xf x，则0010exfxa=-=，易知0a，故0lnxa=-.（10 分）又01f x=，即0011exax+=，将0lnxa=-代入，得ln10aaa-=.设 ln10h xxxxx=-，则 lnh xx=-.令 0h x=，即ln0 x-=，解得1x=，当0,1x时，0h x，h x单调递增，当1,x+时，0h x=根据小概率值0.001a=的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.001 （7 分）（2）（i）设经过i次传递后回到甲的概率为iP，为1111112444iiiPPPi-=-=-+，1111545iiPP-=-，又111055P-=-，所以15iP-是首项为15-，公比为14-的等比数列，所以1111554iiP-=-.(10 分）（ii）（方法一）设第i次传递时甲接到球的次数为iY，则iY服从两点分布，iiE YP=，设前m次传递中球传到甲的次数为Y，12311mmiimiiE YEYE YPPPP=+L111414415525452514mmmm-=-=-+-+，因为 4mE YE X-=，所以111525254mmE X=+-.（15 分）（方法二）（方法二）设第i次传递时，乙接到球的概率和次数分别为iq与iX，则iX服从两点分布，iiE Xq=，由题可知1114iiqq-=-，1111545iiqq-=-，又114q=，所以111520q-=，所以15iq-是首项为120，公比为14-的等比数列，11115204iiq-=-，111554iiq=-，11111144115514mmmmiiiiiimE XEXE Xq=-=-，故111525254mmE X=+-.（15 分）17（15 分）【解析】（1）取SC中点F，连接,EF FDE FQ分别为,SB SC的中点，1,2EFBC EFBC=P，Q底面四边形ABCD是矩形，P为棱AD的中点，1,2PDBC PDBC=,EFPD EFPD=，故四边形PEFD是平行四边形，PEFD，又FD Q平面,SCD PE 平面SCD，PE/平面SCD.（6 分）（2）假设在棱SA上存在点M满足题意，如图：连接SP，MP，MB，在等边SADV中，P为AD的中点，所以SPAD，又平面SAD 平面ABCD，平面SAD平面,ABCDAD SP=平面SAD，SP平面ABCD，则SP是四棱锥SABCD-的高，设(0)ADm m=，则3,2ABCDSPm Sm=矩形，1132 33323ABCDS ABCDVSSPmm-=矩形四棱锥，所以2m=，（9 分）以点P为原点，,PA AB PSuuu r uuu r uuu r的方向分别为,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,3PABS，故1,0,0,1,1,0,1,0,3PAPBAS=-uuu ruuu ruuu r，设,0,301AMASllll=-uuuu ruuu r，1,0,3PMPAAMll=+=-uuuu ruuu ruuuu r设平面PMB的一个法向量为1,nx y z=ur，则11130,0,n PMxzn PBxyll=-+=+=ur uuuu rur uuu r所以可取13,3,1nll l=-ur.易知平面SAD的一个法向量为20,1,0n=uu r，（12 分）222221232 3cos,5721n nn nn nlll-=-+uu r uu ruu r uu rur uu r201,3ll=Q，41240993AMAM=+=uuuu r，故存在点4,3M AM=满足题意.（15 分）18（17 分）【解析】（1）设点,P x y，由题意可知222()xmymnnxm-+=-，即222()mxmyxnn-+=-，经化简，得C的方程为222221xynnm+=-，当mn时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线 （3 分）（2）设点112233,M x yN xyMxy，其中120,0yy且3232,xxyy=-=-，（）由（1）可知C的方程为221,2 2,0,2 2,0168xyAB+=-，因为/AMBN，所以122312232 22 22 22 2yyyyxxxx-=-+-，因此，,M A M三点共线，且222222222 22 2BNxyxyAM=+-+-=，（6 分）（法一）设直线MM的方程为2 2xty=+，联立C的方程，得2224 280tyty+-=，则1313224 28,22tyyy ytt+=-=-+，由（1）可知1132 216224,44222 2AMxxBNAMx=-=-=-，所以1313131322224422222211222244222222xxtytyAMBNAMBNAMBNxxtyty-+-+-+=-2132213132224 2244222114 21842422222ttt yyttt yyt y ytttt-+=-+-+-+，所以11AMBN+为定值 1；（9 分）（法二）设MAxq=，则有2 242 2cosAMAMq=-，解得422cosAMq=+，同理由2 242 2cosAMAMq=+，解得422cosAMq=-，所以111122cos22cos144AMBNAMAMqq+-=+=+=，所以11AMBN+为定值 1；（12 分）由椭圆定义8BQQMMA+=，得8QMBQAM=-，8/,AMQMBQAMAMBNBNBQBQ-=Q，解得8AMBNBQAMBN-=+，同理可得8BNAMAQAMBN-=+，所以8882BNAMAMBNAMBNAMBNAQBQAMBNAMBNAMBN-+-+=+=+2882611AMBN=-=-=+因为4 2AB=，所以ABQV的周长为定值64 2+（9 分）（）当mn时，曲线C的方程为222221xynmn-=-，轨迹为双曲线，根据（）的证明，同理可得,M A M三点共线，且BNAM=，（法一）设直线MM的方程为xsym=+，联立C的方程，得222222222220mnsnysm mnymn-+-+-=，222221313222222222,sm mnmnyyy ymnsnmnsn-+=-=-，（*）因为2113,mnmmAMxxn BNAMxnnmnn=-=-=-，所以1111AMAMAMBNAMAMAMAM+=+=+2222131322221313smmnsmmnmmyyxnxnnnnnnnmmsmmnsmmnxnxnyynnnnnn-+-+-=-+2213222222213132222 mnsmyynnmnmsmnm sy yyynnn-+=-+，将（*）代入上式，化简得22112nAMBNmn+=-，（13 分）（法二）设MAxq=，依条件有2cosAMmnnmAMmq=-+，解得22cosmnAMnmq-=-，同理由2cosAMmnnmAMmq=-，解得22cosmnAMnmq-+=，所以2222221111coscos2nmnmnAMBNAMAMmnmnmnqq-+=+=+=-（13 分）由双曲线的定义2BQQMMAn+-=，得2QMnAMBQ=+-，根据AMQMBNBQ=，解得2nAMBNBQAMBN+=+，同理根据AMAQBNQN=，解得2nBNAMAQAMBN+=+，所以2222nBNAMnAMBNAMBNAQBQnAMBNAMBNAMBN+=+=+222222211mnmnnnnnAMBN-+=+=+=+，由内切圆性质可知，12SABAQBQr=+，当Srl=时，2221()222mnmnABAQBQmnnl+=+=+=（常数）因此，存在常数l使得Srl=恒成立，且2()2mnnl+=（17 分）19（17 分）【解析】（1）可求得5OPOP=，设POxq=，则3cos5q=，4sin5q=，设点,P x y，3POxpq=+，故1335cos5cossin2 33222xpqqq=+=-=-133 35sin5sincos23222ypqqq=+=+=+所以33 32 3,222P-+（7 分）（2）设OPOPr=，POxq=，则cosxrq=，sinyrq=，P Oxqa=+，故coscoscossinsincossinxrrrxyqaqaqaaa=+=-=-sinsincoscos sinsincosyrrrxyqaqaqaaa=+=+=+所以坐标变换公式为cossinsincosxxyyxyaaaa=-=+，该变换所对应的二阶矩阵为cossinsincosaaaa-（9 分）（3）设矩阵abAcd=，向量11xmy=r，22xny=r，则1212xxmnyy+=+rr121212121212a xxb yyxxabA mnc xxd yyyycd+=+rr，.对应变换公式为：12121212xa xxb yyyc xxd yy=+=+，111111xaxbyabAmycxdycd+=+r，222222xaxbyabAnycxdycd+=+r所以1212112212121122a xxb yyaxbyaxbyAmAnc xxd yycxdycxdy+=+=+rr故对应变换公式同样为12121212xa xxb yyyc xxd yy=+=+所以A mnAmAn+=+rrrr得证.（17 分）2024 年高考押题预测卷【新高考卷】数学全解全析第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 58 分）分）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678 BDBCABCD1.定义差集MNx xM-=且xN，已知集合2,3,5A=，3,5,8B=，则AAB-=I（）A.B.2C.8D.3,51【答案】B【解析】因为2,3,5A=，3,5,8B=，所以3,5AB=I，所以 2AAB-=I故选：B2.已知函数 2sin3sincos(0)f xxxxwwww=+的最小正周期为，下列结论中正确的是（）A.函数 f x的图象关于6x=对称B.函数 f x对称中心是,0122kk+ZC.函数 f x在区间5,12 12上单调递增D.函数 f x的图象可以由 1cos22g xx=+的图象向右平移3个单位长度得到2.【答案】D【解析】A 选项，21 cos23sin2sin3sincos22xxf xxxxwwwww-=+=+1sin 262xw=-+，因 为 函 数 f x的 最 小 正 周 期 为22w=，解 得1w=，所 以 1sin 262f xx=-+，的当6x=时，1sin 2sin6362x-=-=，故 A 错误；B 选项，令2,6xkk-=Z，即,122kxk=+Z，函数 f x的对称中心是 1,1222kk+Z，故 B 错误；C 选项，5,12 12x时，220,63ux=-，显然 1sin2f xu=+在其上不单调，故 C 错误；D 选项，1cos22g xx=+的图象向右平移3个单位长度，得到 211cos 2sin 233262g xxxf x-=-+=-+=，故 D 正确故选：D3.2024 年 3 月 16 日下午 3 点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024 年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（）A.18B.36C.54D.723.【答案】B【解析】若五位同学最终选择为3,1,1，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成 3 人小组，剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有1333C A18=种选择，若五位同学最终选择为2,2,1，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列，此时有213313C C A18=种选择，综上，共有18 1836+=种选择.故选：B4.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔Florence Nightingale设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法错误错误的是（）A.2015 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加B.2015 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加量 2018 年最多C.2015 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加量逐年递增D.2022 年知识付费用户数量超过 2015 年知识付费用户数量的 10 倍4.【答案】C【解析】对于 A，由图可知，2015 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加，故 A 说法正确；对于 B 和 C，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016 年，0.960.480.48-=；2017 年，1.880.960.92-=；2018 年，2.95 1.881.07-=；2019 年，3.562.950.61-=；2020 年，4.153.560.59-=；2021 年，4.774.150.62-=；2022 年，5.274.770.5-=；则知识付费用户数量逐年增加量 2018 年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故 B 说法正确，C 说法错误；对于 D，由5.2710 0.48，则 2022 年知识付费用户数量超过 2015 年知识付费用户数量的 10 倍，故 D说法正确.综上，说法错误的选项为 C.故选：C5.在ABCV中，D为边BC上一点，2,4,23DACADABBD=，且ADC的面积为4 3，则sin ABD=（）A.1538-B.1538+C.534-D.534+5.【答案】A的【解析】因为113sin44 3222ADCSAD ACDACAC=，解得4AC=，所以ADC为等腰三角形，则6ADC=，ADBV中由正弦定理可得sinsinABDBADBBAD=，即21sin2DBDBBAD=，解得1sin4BAD=，因为56ADB=，所以BAD为锐角，所以215cos1 sin4BADBAD=-=，所以sinsinsin6ABDADCBADBAD=-=-sincoscos81sin5663BADBAD=-.故选：A6.已知正项数列 na的前n项和为1,1nSa=，若13nnnnSaSa+=，且13242111nnMa aa aa a+L恒成立，则实数M的最小值为（）A.13B.49C.43D.36.【答案】B【解析】因为13nnnnSaSa+=，所以133nnnnnnna SaSa SS+=+，即13nnnnaSSS+-=，即13nnna aS+=，则1213nnnaaS+=，与上式作差后可得121133nnnnnnaSaaSa+-=-=，因为正项数列 na，所以23nnaa+-=，所以22223111113nnnnnnnnaaaa aaaa+-=-，因为11a=，11212333nnnaSaa aaa+=，所以1324213243521111111111113nnnna aa aa aaaaaaaaa+=-+-+-+-LL在1212121111111111333nnnnaaaaaa+=+-=+-+12411499nnaa+=-+，所以实数M的最小值为49，故选：B.7.设方程33log1xx=的两根为1x，212xxx，则（）A.101xB.121xxC.1201x x7.【答案】C【解析】由33log1xx=可得311log33xxx=，在同一直角坐标系中同时画出函数3logyx=和13xy=的图象，如图所示：由图象可知，因为1311log 133=，所以12012xx，所以1213xx+故 A，D 错误；12312313211logloglog33xxx xxx=+=-+，因为12xx，所以312log0 x x，所以1201x x，即121xx，故 B 错误，C 正确.故选：C8.在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D-中，P，Q，R分别为棱BC，CD，1CC的中点，平面PQR截正方体1111ABCDABC D-外接球所得的截面面积为（）A.2 153B.83C.353D.53【答案】D【解析】取正方体的中心为O，连接,OP OQ OR，由于正方体的棱长为 2，所以正方体的面对角线长为2 2，体对角线长为2 3，正方体外接球球心为点O，半径12 332R=，又易得12 222OPOQOR=，且12 222PQPRQR=，所以三棱锥OPQR-为正四面体，如图所示，取底面正三角形PQR的中心为M，即点O到平面PQR的距离为OM，又正三角形PQR的外接圆半径为MQ，由正弦定理可得22 62sin60332PQMQ=，即63MQ=，所以222262 3233OMOQMQ=-=-=，即正方体1111ABCDABC D-外接球的球心O到截面PQR的距离为2 33OM=，所以截面PQR被球O所截圆的半径22222 35333rROM=-=-=，则截面圆的面积为253r=.故选：D.二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 1