2024年高考押题预测卷数学（全国卷理科02）含答案.pdf

绝密启用前绝密启用前 2024 年高考押题预测卷【全国卷 02】理科 数学（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 60 分）分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（）ABCD2已知复数，则的虚部为（）ABC1D3设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则“”是“”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件4已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（）ABCD 5已知平面向量满足，则与的夹角为（）ABCD6已知在 R 上单调递增，且为奇函数.若正实数 a，b 满足，则的最小值为（）ABCD72024 年 3 月 16 日下午 3 点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024 年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（）A18B36C54D728已知，则（）A B CD9已知，则的大小关系是（）ABC D10已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（）ABCD11在棱长为 1 的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（）103xAxx+=-2|log(1)3Bxx=-RAB=3,9(1,9(1,3(1,3)20251 i1 iz+=-z1-i-ilmabl aabmlmb()f x()f x cos2eexxf xx-=-221()ln1xf xxx=+ee()xxf xx-+=221()sin2lnxf xxx+=,a b crrr0,1,3abcabc+=rrrrrrrarbr432334 1f x+42f af b-+=-12ab+3242+324+32 2+322+21sincos,cossin22abab+=-=-cos 22ab-=732732-5 39325 3932-0.50.3sin0.5,3,log0.5abc=,a b cabccabacbcbaFF60EABMAB5 FMOF=OE33632 232 771111ABCDABC D-,M N111,BD BCPMPCNA点可以是棱的中点B线段的最大值为C点的轨迹是正方形D点轨迹的长度为12若函数有两个不同的极值点，且恒成立，则实数 的取值范围为（）ABCD第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 90 分）分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13若数列满足，则 14已知函数，其中为常数，且，将函数的图象向左平移个单位所得的图象对应的函数在取得极大值，则的值为 .15已知函数的最大值为，若函数有三个零点，则实数的取值范围是 16已知四棱锥的高为，底面为菱形，分别为的中点，则四面体的体积为 ；三棱锥的外接球的表面积的最小值为 三、解答题：本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17已知的内角的对边分别为(1)求的值；(2)若的面积为，且，求的周长18某校高三年级进行班级数学文化知识竞赛，每班选三人组成代表队，其中 1 班和 2 班进入最终的决赛决赛第一轮要求两个班级的代表队队员每人回答一道必答题，答对则为本班得 1 分，答错或不答都得 0 分 已知 1班的三名队员答对的概率分别为、，班的三名队员答对的概率都是，每名队员回答正确与否相互之间没有影响用、分别表示 1 班和 2 班的总得分(1)求随机变量、的数学期望；(2)若，求 2 班比 1 班得分高的概率19如图，在圆柱中，一平面沿竖直方向截圆柱得到截面矩形，其中，为圆柱的母线，点在底面圆周上，且过底面圆心，点 D，E 分别满足，过的平面与交于点，且.(1)当时，证明:平面平面；(2)若与平面所成角的正弦值为，求的值.20已知动圆经过定点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.P1BBMP32PP2+5 21ln22f xa xxx=+-12,x x 1221tf xxf xx-+uuuu ruuu r2l=/DEFABC122,AAABAC AF=11ABC1010lE(1,0)D=1x-EC(1)求曲线的方程；(2)设过点的直线，分别与曲线交于，两点，直线，的斜率存在，且倾斜角互补，求证：直线的倾斜角为定值.21已知函数(1)若函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的值；(2)若函数的最小值为，求的值（二）选考题：共 10 分请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22已知在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点的极坐标为且点在曲线上.(1)求曲线的普通方程以及曲线的极坐标方程；(2)已知直线与曲线分别交于，两点，其中，异于原点，求的面积.选修 4-5：不等式选讲23已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若恒成立，求的取值范围.C(1,2)P1l2lCAB1l2lAB e2(0)xf xxax a=-f x1x=e2a f xe-axOy1C2sinrq=xOy2C3cos3sinxmyaa=+=aA6,4A2C1C2C:30l xy-=12,C CPQPQOAPQ 2f xxxxa=+-+-2a=14f x 2816f xxx+a绝密启用前绝密启用前 2024 年高考押题预测卷【全国卷 02】理科 数学（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 60 分）分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（）ABCD2已知复数，则的虚部为（）ABC1D3设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则“”是“”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件4已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（）ABCD103xAxx+=-2|log(1)3Bxx=-RAB=3,9(1,9(1,3(1,3)20251 i1 iz+=-z1-i-ilmabl aabmlmb()f x()f x cos2eexxf xx-=-221()ln1xf xxx=+ee()xxf xx-+=221()sin2lnxf xxx+=5已知平面向量满足，则与的夹角为（）ABCD6已知在 R 上单调递增，且为奇函数.若正实数 a，b 满足，则的最小值为（）ABCD72024 年 3 月 16 日下午 3 点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024 年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（）A18B36C54D728已知，则（）A B CD9已知，则的大小关系是（）ABC D10已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（）ABCD11在棱长为 1 的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（）,a b crrr0,1,3abcabc+=rrrrrrrarbr432334 1f x+42f af b-+=-12ab+3242+324+32 2+322+21sincos,cossin22abab+=-=-cos 22ab-=732732-5 39325 3932-0.50.3sin0.5,3,log0.5abc=,a b cabccabacbcbaFF60EABMAB5 FMOF=OE33632 232 771111ABCDABC D-,M N111,BD BCPMPCNA点可以是棱的中点B线段的最大值为C点的轨迹是正方形D点轨迹的长度为12若函数有两个不同的极值点，且恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 90 分）分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13若数列满足，则 14已知函数，其中为常数，且，将函数的图象向左平移个单位所得的图象对应的函数在取得极大值，则的值为 .15已知函数的最大值为，若函数有三个零点，则实数的取值范围是 16已知四棱锥的高为，底面为菱形，分别为的中点，则四面体的体积为 ；三棱锥的外接球的表面积的最小值为 三、解答题：本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17已知的内角的对边分别为P1BBMP32PP2+5 21ln22f xa xxx=+-12,x x 1221tf xxf xx-+uuuu ruuu r2l=/DEFABC122,AAABAC AF=11ABC1010lE(1,0)D=1x-ECC(2)设过点的直线，分别与曲线交于，两点，直线，的斜率存在，且倾斜角互补，求证：直线的倾斜角为定值.21已知函数(1)若函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的值；(2)若函数的最小值为，求的值（二）选考题：共 10 分请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程(1,2)P1l2lCAB1l2lAB e2(0)xf xxax a=-f x1x=e2a f xe-a22已知在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点的极坐标为且点在曲线上.(1)求曲线的普通方程以及曲线的极坐标方程；(2)已知直线与曲线分别交于，两点，其中，异于原点，求的面积.选修 4-5：不等式选讲23已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若恒成立，求的取值范围.xOy1C2sinrq=xOy2C3cos3sinxmyaa=+=aA6,4A2C1C2C:30l xy-=12,C CPQPQOAPQ 2f xxxxa=+-+-2a=14f x 2816f xxx+a请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024 年高考押题预测卷年高考押题预测卷（全国卷（全国卷 02）理科数学答题卡姓名：请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1 A B C D2 A B C D3 A B C D4 A B C D5 A B C D6 A B C D7 A B C D8 A B C D9 A B C D10 A B C D11 A B C D12 A B C D二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13_ 14_ 15_ 16_三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤）17（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18（12 分）19（12 分）准考证号0123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789贴条形码区注意事项1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5正确填涂 缺考标记请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！20（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！21（12 分）选做题选做题（10 分）请考生从给出的 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑，注意所做题目必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分。我所选择的题号是 22 23 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024 年高考押题预测卷【全国卷 02】理科数学全解全析第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 60 分）分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合103xAxx+=-，2|log(1)3Bxx=-，则RAB=（）A3,9B(1,9C(1,3D(1,3)【详解】由103xx+-，解得3x 或1x -，所以10,13,3xAxx+=-+-，则R1,3A=-，由2log(1)3x-，即322log(1)log 2x-，所以018x-，解得19x，所以 2|log(1)3|19Bxxxx=-=时，222211()lnlnln101xf xxxxxx=-+时，ee()0 xxf xx-+=，不符合图象，排除；故选：D5已知平面向量,a b crrr满足0,1,3abcabc+=rrrrrrr，则ar与br的夹角为（）A4B3C23D34【详解】由题意知平面向量,a b crrr满足0,1,3abcabc+=rrrrrrr，故abc+=-rrr，所以22()abcrrr+=，所以2223aa bb+=rrrr，所以12a b=rr，则1cos,2a ba ba b=rrrrrr，,0,a b rr，故,3a b=rr，故选：B.6已知 1f x+在 R 上单调递增，且为奇函数.若正实数 a，b 满足 42f af b-+=-，则12ab+的最小值为（）A3242+B324+C32 2+D322+【详解】由于 1f x+为奇函数，所以 1102f xfxf xfx+-+=+-=-，由 42f af b-+=-得44abab-=-+=，由于0,0,ab 所以121 121132332 244442baabababab+=+=+=，当且仅当ab=时取等号，故12ab+的最小值为3242+，故选：A72024 年 3 月 16 日下午 3 点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024 年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（）A18B36C54D72【详解】若五位同学最终选择为3,1,1，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成 3 人小组，剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有1333C A18=种选择，若五位同学最终选择为2,2,1，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列，此时有213313C C A18=种选择，综上，共有18 1836+=种选择.故选：B8已知21sincos,cossin22abab+=-=-，则cos 22ab-=（）A732B732-C5 3932D5 3932-【详解】解：因为21sincos,cossin22abab+=-=-，所以222211sin2sin coscos,cos2cos sinsin24aabbaabb+=-+=，两式相加得：322 sin coscos sin4abab+-=，即322sin4ab+-=，化简得5sin8ab-=-，所以27cos 221 2sin32abab-=-=，故选：A9已知0.50.3sin0.5,3,log0.5abc=，则,a b c的大小关系是（）AabcBcabC acbDcba【详解】对0,2x，因为sinyxx=-，则cos10yx=-，即函数sinyxx=-在0,2单调递减，且0 x=时，0y=，则sin0 xx-，即sin xx，所以sin0.50.5a=且0.30.3log0.5log0.31=，所以0.30.5log0.51c=，所以acb的左焦点为F，如图，过点F作倾斜角为60的直线与椭圆E交于A，B两点，M为线段AB的中点，若5 FMOF=（O为坐标原点），则椭圆E的离心率为（）A33B63C2 23D2 77【详解】依题意，椭圆的左焦点为,0Fc-，1155FMOFc=，过M作MMx轴，垂足为M，由60MFM=，得11210FMFMc=，33210MMFMc=，则93,1010Mcc-，设1122,A x yB xy，则有1212tan603yyxx-=-，121293,210210 xxyycc+=-=，由2222112222221,1xyxyabab+=+=，两式相减得12121212220 xxxxyyyyab+-+-+=，则有21212212123539351cyyyybaxxxxc+-=-=-=+-，所以22161133cbeaa=-=-=.故选：B.11在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D-中，,M N分别为111,BD BC的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MPCN，则下列说法正确的是（）A点P可以是棱1BB的中点B线段MP的最大值为32C点P的轨迹是正方形D点P轨迹的长度为2+5【详解】在正方体1111ABCDABC D-中，以点D为坐标原点，分别以DA、DC、1DD方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，因为该正方体的棱长为1，,M N分别为111,BD BC的中点，则0,0,0D，1 1 1,2 2 2M，1,1,12N，0,1,0C，所以1,0,12CN=uuur，设,P x y z，则111,222MPxyz=-uuur，因为MPCN，所以1110222xz-+-=，2430 xz+-=，当1x=时，14z=；当0 x=时，34z=；取11,0,4E，11,1,4F，30,1,4G，30,0,4H，连接EF，FG，GH，HE，则0,1,0EFGH=uuu ruuur，11,0,2EHFG=-uuuruuu r，所以四边形EFGH为矩形，则0EF CN=uuu r uuur，0EH CN=uuur uuur，即EFCN，EHCN，又EFEHE=I，且EF 平面EFGH，EH 平面EFGH，所以CN 平面EFGH，又1 1 1,2 2 4EM=-uuuu r，1 1 1,2 2 4MG=-uuuu r，所以M为EG中点，则M 平面EFGH，所以，为使MPCN，必有点P平面EFGH，又点P在正方体的表面上运动，所以点P的轨迹为四边形EFGH，因此点P不可能是棱1BB的中点，即 A 错；又1EFGH=uuu ruuur，52EHFG=uuuruuu r，所以EFEHuuu ruuur，则点P的轨迹不是正方形；且矩形EFGH的周长为522252+=+，故 C 错，D 正确；因为点M为EG中点，则点M为矩形EFGH的对角线交点，所以点M到点E和点G的距离相等，且最大，所以线段MP的最大值为52，故 B 错.故选：D.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由MPCN，求出动点轨迹图形，即可求解.12若函数 21ln22f xa xxx=+-有两个不同的极值点12,x x，且 1221tf xxf xx-+，若函数 f x有两个不同的极值点12,x x，则方程220 xxa-+=有两个不相等的正实数根12,x x，可得1212440200axxx xa=-+=，解得01a，因为 1221tf xxf xx-+-，可得2212121112221211ln2ln222tf xf xxxa xxxa xxxxx+-=+-+-2221212121212121211ln3ln322ax xxxxxax xxxx xxx=+-+=+-+21ln23 2ln42a aaa aa=+-=-设 ln4 01h aa aaa=-，则 ln0h aa=-，可知5t -所以实数t的取值范围是,5-.故选：B第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 90 分）分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13若数列 na满足11a=，112nnnaa+-=，则na=【详解】因为数列 na满足11a=，112nnnaa+-=，所以12112aa-=+，23212aa-=+，34312aa-=+，1112nnnaa-=+，以上各式相加得123111(222.2)nnaan-=-+，所以22nnan=+-.【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，熟记累加法即可，属于常考题型.14已知函数 2cos3f xxw=-，其中w为常数，且0,6w，将函数 f x的图象向左平移6个单位所得的图象对应的函数 g x在0 x=取得极大值，则w的值为 .【详解】由题意可知 2cos2cos6363g xxxwww=+-=+-，因为 g x在0 x=取得极大值，所以 g x在0 x=取得最大值，所以2 63kw-=，Zk，即2 12kw=+，又因为0,6w，所以，当且仅当0k=时，2w=满足条件，所以2w=，故答案为：2.15已知函数 22322f xtxt xtt=-+-+的最大值为M，若函数 2g tMtm=+-有三个零点，则实数m的取值范围是 【详解】解：因为 2223322f xtxt xttt xttt=-+-+=-+，所以 f x的最大值为3Mtt=-+，易知函数 232g tMtmtttm=+-=-+-有三个零点，等价于函数 32h tttt=-+的图象与直线ym=有三个交点，因为 2321311h ttttt=-+=-+-，所以当13t 时，0h t，当113t-，所以 h t在1,3-，1,+上单调递减，在1,13-上单调递增，所以 3211115333327h th=-=-+-+-=-极小值，11 1 11h th=-+=极大值，又当t-时，h t +；当t+时，h t -，函数 32h tttt=-+的图象如下所示：结合函数图象可知，若函数 32h tttt=-+的图象与直线ym=有三个交点，则5,127m-故答案为：5,127-16已知四棱锥PABCD-的高为2，底面ABCD为菱形，3ABAC=，,E F分别为,PA PC的中点，则四面体EFBD的体积为 ；三棱锥-PABC的外接球的表面积的最小值为 【详解】如图，设ACBDG=，连接,FG EG，EFBDB EFGD EFGVVV-=+，易知,E F G分别为,PA PC AC中点，14EFGPACSS=VV，所以4,114B EFGB PACD EFGD PACVVVV-=，11114444EFBDB PACD PACB PACD PACP ABCDVVVVVV-=+=+=，Q四边形ABCD是菱形，3ABAC=，,ABCACDVV为全等的正三角形，133 32sin6033222ABCDSAB BC=，113 3324324EFBDV=；因为ABCV是边长为3的正三角形，记其中心为1O，则ABCV的外接圆的半径为323123r=，设三棱锥-PABC的外接球的半径为R，球心为O，则1OO 底面ABC过P作PH 底面ABC交于H，则1/OOPH，结合图象可知1POOOPH+，其中RPO=，222211OORrR=-=-，因为P到平面ABC的距离为 2，即2PH=，所以212RR+-，易知关于R的函数21yRR=+-在1,+上单调递增，所以当且仅当212RR+-=时，R取得最小值，此时，1,P O O三点共线，由212RR+-=，解得54R=，所以棱锥-PABC的外接球的表面积的最小值为22544R=.故答案为：34；254.三、解答题：本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17已知ABCV的内角,A B C的对边分别为coscos,4CAa b ccba=-(1)求sinC的值；(2)若ABCV的面积为152，且2 63abc+=，求ABCV的周长【详解】（1）解：因为coscos4CAcba=-，由正弦定理得coscossin4sinsinCACBA=-，.1 分可得4sincossincoscossinBCACAC-=，即4sincossincoscossinsin()sinBCACACACB=+=+=，.3 分因为(0,)B，可得sin0B，所以4cos1C=，即1cos4C=，所以215sin1 cos4CC=-=.6 分（2）解：由（1）知15sin4C=，因为若ABCV的面积为152，可得115sin22abC=，即11515242ab=，解得4ab=，.8 分又因为2 63abc+=，由余弦定理得222212cos()224cababCababab=+-=+-2252 6()()1023ababc=+-=-，整理得26c=，解得6c=，.10 分所以2 6643ab+=，所以ABCV的周长为46abc+=+.12 分18某校高三年级进行班级数学文化知识竞赛，每班选三人组成代表队，其中 1 班和 2 班进入最终的决赛决赛第一轮要求两个班级的代表队队员每人回答一道必答题，答对则为本班得 1 分，答错或不答都得 0分已知 1 班的三名队员答对的概率分别为34、23、12，2班的三名队员答对的概率都是23，每名队员回答正确与否相互之间没有影响用x、h分别表示 1 班和 2 班的总得分(1)求随机变量x、h的数学期望 ,EExh；(2)若2xh+=，求 2 班比 1 班得分高的概率【详解】（1）依题意可得x的可能取值为0、1、2、3，所以3211011143224Px=-=，321321321111111114324324324Px=-+-+-=，32132132111211143243243224Px=-+-+-=，321134324Px=，所以随机变量x的分布列为x0123P12414112414.3 分所以 1111123012324424412Ex=+=.4 分又2班的总得分h满足23,3Bh，则 2323Eh=.6 分（2）设“2xh+=”为事件A，“2班比1班得分高”为事件B，.7 分则 223213333122122112C1C1C12433433243P A=-+-+-5924 27=，.9 分2231221C1243354P AB=-=，所以 124 2712545959P ABP B AP A=，.11 分所以2班比1班得分高的概率为1259.12 分19如图，在圆柱1OO中，一平面沿竖直方向截圆柱得到截面矩形11ABB A，其中1AA，1BB为圆柱1OO的母线，点C在底面圆周上，且BC过底面圆心O，点 D，E 分别满足112,2ADDA B EEC=uuuu ruuu r uuuruuu r，过DE的平面与1BB交于点F，且1(0)B FFBll=uuuu ruuu r.(1)当2l=时，证明:平面/DEF平面ABC；(2)若122,AAABAC AF=与平面11ABC所成角的正弦值为1010，求l的值.【详解】（1）当2l=时，得12B FFB=uuu u ruu u r，又12ADDA=uuu u ruuu r，12B EEC=uuuruuu r，所以/DFAB，/EFBC，.2 分DF Q平面ABC，AB平面ABC，/DF平面ABC，同理得/EF平面ABC，.4 分因为,EF DE是平面DEF内两条相交直线，所以平面/DEF平面ABC.5 分（2）因为1AA，1BB为圆柱1OO的母线，所以1AA垂直平面ABC，又点 C 在底面圆周上，且BC过底面圆心O，所以ABAC，所以1,AB AC AA两两互相垂直.以点A为坐标原点，1,AB AC AA分别为,x y z轴，建立如图空间直角坐标系，.6 分设1AC=，则0,0,0A，1,0,0B，0,1,0C，10,0,2A，11,0,2B，所以1,0,0AB=uuu r，10,0,2BB=uuur，111,0,0AB=uuuu r，10,1,2AC=-uuur，.7 分因为10B FFBll=uuuu ruuu r，所以1120,0,11BFBBll=+uuu ruuur，则221,0,00,0,1,0,11AFABBFll=+=+=+uuu ruuu ruuu r，.8 分设平面11ABC的一个法向量为,nx y z=r，则11100n ABn AC=uuuu rruuurr，即020 xyz=-=，令1z=，解得0 x=，2y=，所以0,2,1n=r，.10 分所以AF与平面11ABC所成角的正弦值为221cos,2151AF nAF nAFnll+=+uuu rruuu rruuu rr，22101102151ll+=+，解得1l=或3-，.11 分0lQ，1l=.12 分20已知动圆E经过定点(1,0)D，且与直线=1x-相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设过点(1,2)P的直线1l，2l分别与曲线C交于A，B两点，直线1l，2l的斜率存在，且倾斜角互补，求证：直线AB的倾斜角为定值.【详解】（1）因为动圆E经过定点(1,0)D，且与直线=1x-相切，即动圆圆心E到点(1,0)D的距离与到直线=1x-的距离相等，.1 分又点(1,0)D不在直线=1x-上，由抛物线的定义可知动圆圆心E是以(1,0)D为焦点，直线=1x-为准线的抛物线，.3 分所以动圆圆心E的轨迹为24yx=.4 分（2）依题意设直线1l方程为(1)2yk x=-+0k，Q直线1l，2l的斜率存在，且倾斜角互补，2l的方程为(1)2yk x=-+联立方程组2(1)24yk xyx=-+=，消元得2222(244)(2)0k xkkxk-+-=，22222244421610kkkkk=-+-=-，.6 分因为此方程的一个根为1，设11,A x y，22,B xy，则22122(2)44kkkxkk-+=，同理可得22244kkxk+=，.8 分212228kxxk+=，12288kxxkk-=2121212288(1)2(1)2()22kyyk xk xk xxkkkk+-=-+-+=+-=-=12121AByykxx-=-，.10 分设直线AB的倾斜角为q，则tan1q=-，又0,q，所以34q=，.11 分直线AB的斜率为定值1-，倾斜角为定值34.12 分 21已知函数 e2(0)xf xxax a=-(1)若函数 f x在1x=处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为e2，求a的值；(2)若函数 f x的最小值为e-，求a的值【详解】（1）因为 e2(0)xf xxax a=-，所以 1 e2xfxxa=+-，则 12e2fa=-，又 1e2fa=-，所以函数 f x在1x=处的切线方程为e22e21yaax-+=-.2 分由题意，显然ea，令0 x=得ey=-，令0y=得e2e2xa=-，所以函数 f x在1x=处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1eee2 2e22Sa=-=-，所以2e2ea-=，解得e2a=或3e2a=.4 分（2）由（1）知 1 e2xfxxa=+-，令 1 e2(0)xg xfxxa a=+-，所以 2 exgxx=+，当2x-时，0,gxg x-时，0gx，g x在2,-+上单调递增.6 分因为0a，所以当2x -时，1 e20 xg xxa=+-+-=所以 g x在2,-+上必存在唯一零点0 x，使得00g x=.8 分当0 xx时，0g x，即 0,fxf x时，0g x，即 0,fxf x在0,x+上单调递增所以 f x在0 xx=处取得最小值，即0min000()e2xf xf xxax=-，且00fx=，即0021 exax=+，所以00002min000000()e2e1 eeexxxxf xxaxxxxx=-=-+=-=-.10 分设 2e(2)xh xxx=-，所以 2 exh xx x=-+，当2,0 x-时，0,h xh x单调递增，3224e2eeeh xh-=-，当0,x+时，0h x，h x单调递减，00h xh=，又 1eh=-，所以函数 h x在2,-+上存在唯一的1x=，使得2eexx-=-成立，所以01x=，所以0021 e2exax=+=，即ea=.12 分（二）选考题：共 10 分请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为2sinrq=；在平面直角坐标系xOy中，曲线2C的参数方程为3cos3sinxmyaa=+=（a为参数），点A的极坐标为6,4且点A在曲线2C上.(1)求曲线1C的普通方程以及曲线2C的极坐标方程；(2)已知直线:30l xy-=与曲线12,C C分别交于P，Q两点，其中P，Q异于原点O，求APQ的面积.【详解】（1）因为曲线1C的极坐标方程为2sinrq=，所以22 sinrrq=，由222cossinxyxyrqrqr=+，得曲线1C的直角坐标方程为2220 xyy+-=；由曲线2C的参数方程为3cos3sinxmyaa=+=（a为参数），又22cossin1aa+=，得223xmy-+=，.2 分因为cossinxyrqrq=，所以22cossin3mrqrq-+=，即222cos3mmrrq-+=，即曲线2C的极坐标方程为222cos3mmrrq-+=.又点6,4A在曲线2C上，所以262 33mm-+=，解得3m=，所以曲线2C的极坐标方程为2 3cosrq=；.4 分（2）因为点6,4A，则6cos346sin34xy=，即点A的直角坐标为3,3，.5 分由（1）得曲线2C的直角坐标方程为2233xy-+=，联立223033xyxy-=-+