福建省三明市六校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷含答案.pdf
1三明市三明市 2023-20242023-2024 学年高一下期中六校联考数学试卷学年高一下期中六校联考数学试卷一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足(1 i)|13i|z，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量),1(),2,3(xba若,/ba则x（）A.32B.23C.32D.233.已知 a、b 为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若/ab，b，则/aB.若/，a，则/aC.若/，a，b，则/abD.若a，b，/ab，则/4.在ABC中，内角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，若6,34,4Aba，则角B的大小为（）A.3B.23C.3或23D.65.若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为（）A.2B.2C.32D.2 336.在ABC中，已知coscosacAbcB，则ABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形7.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中将正四棱台(棱台的上、下底面均为正方形)称为方亭.如图，现有一方亭 ，其上底面与下底面的面积之比为1:4，=62，方亭的四个侧面为全等的等腰梯形，已知方亭的体积为563，则该方亭的表面积为()A.20+125B.20+65C.5+35D.5+65#QQABZYSAggCgAIAAARgCAwHCCkIQkBGAAIoOQFAIsAAAiBNABAA=#28.设M是ABC内一点，且2 3,AB AC 30BAC，定义()(,)f Mm n p，其中,m n p分别是,MBCMCAMAB的面积，若1(),2f Px y，则14xy的最小值是（）A.931B.18C.16D.9二、多项选择题二、多项选择题：（本大题共（本大题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 1818 分，在每题给出的四个选项分，在每题给出的四个选项中，有多项是符合题意的，全部选对得中，有多项是符合题意的，全部选对得 6 6 分，部分选对得部分分，有错选的得分，部分选对得部分分，有错选的得 0 0 分）分）9.已知 i 为虚数单位，则下面命题正确的是（）A.若复数3iz，则131010izB.复数 z 满足21zi，z 在复平面内对应的点为,x y，则2221xyC.复数1 3zi 的虚部是 3D.复数 z 满足|3|zizi，则|z最小值为 110.已知平面向量(1,1)a ，(3,4)b，则下列说法正确的是（）A.a与b的夹角的余弦值为210B.b在a方向上的投影向量为22aC.与b垂直的单位向量的坐标为4 3(,)5 5D.若向量ab与向量ab共线，则111.已知ABC中，1AB，4AC，13BC，D在BC上，AD为BAC的角平分线，E 为AC中点,连接 BE,使 BE 交 AD 于 G 点，下列结论正确的是（）A.3BE B.?=13?+12?C.4 35AD D.P 在ABE的外接圆上，则2PBPE的最大值为2 7#QQABZYSAggCgAIAAARgCAwHCCkIQkBGAAIoOQFAIsAAAiBNABAA=#3三、三、填空题（本题共填空题（本题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 1515 分）分）12.如图所示，等腰直角三角形O A B 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中2OB，则原图形的周长为_.13.已知圆锥的底面半径是 2，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为.14.如图，在平面四边形ABCD中，,120ABBC ADCDBAD，1ABAD.若点E为边CD上的动点，则EA EB 的取值范围为.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 5 小题，共小题，共 7777 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（本题 13 分）ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知2coscoscos3A bCcBa（1）求角A；（2）若1a，ABC的周长为51，求ABC的面积16.（本题 15 分）如图，四棱锥 中，/，=12，分别为线段，的中点，与交于点，是线段上一点求证：（1）/平面；（2）平面/平面.#QQABZYSAggCgAIAAARgCAwHCCkIQkBGAAIoOQFAIsAAAiBNABAA=#417.（本题15分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足3BDBC 与0AD AC.（1）若bc，求 A 的值：（2）求 B 的最大值.18.（本题 17 分）如图，正三棱柱 111的底面边长为 2，高为32,过的截面与上底面交于，且点是棱11的中点，点在棱11上（1）试在棱上找一点，使得/平面11，并加以证明；（2）求四棱锥 的体积19.（本题 17 分）如图，海上有 A，B 两个小岛相距 10km，船 O 将保持观望 A 岛和 B 岛所成的视角为60，现从船 O 上派下一只小艇沿 BO 方向驶至 C 处进行作业，且OCBO，设 ACx km.（1）用 x 分别表示22OAOB和OA OB，并求出 x 的取值范围：（2）晚上小艇在 C 处发出一道强烈的光线照射 A 岛，B 岛至光线 CA 的距离为 BD，求 BD 的最大值.#QQABZYSAggCgAIAAARgCAwHCCkIQkBGAAIoOQFAIsAAAiBNABAA=#学科网（北京）股份 有限公司 学科网（北京）股份 有限公司 三明市2023-2024学年高一下期中六校联考 数学答案 一、单项选择题：1-4 A D B C 5-8 A D A B 二、多项选择题二、多项选择题：9 ABD 10 AD 11.ACD 二、填空题二、填空题 1284 2+；13.8 33 1 14 4.,四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。15（本题 13 分）（1）由正弦定理可得：()2cossincossincos3sinABCCBA+=即：()2cossin2cossin3sinABCAAA+=.2 分 sin0A 3cos2A=.4 分 由()0,A得：6A=.6 分（2）1a=，ABC的周长为51+5bc+=.7 分 由余弦定理可得：()22222252123cos2222bcbcabcabcbcAbcbcbcbc+=.10 分 484 323bc=+.11 分 ABC的面积：()111sin84 323222SbcA=.13 分 16.（本题 15 分）证明：(1)连接，因为/，=12，学科网（北京）股份 有限公司 学科网（北京）股份 有限公司 所以/，=.2 分 所以四边形是平行四边形，.3 分 所以为的中点 .4 分 又因为是的中点，所以/，.5 分 因为 平面，平面，所以/平面 .7 分(2)连接，.8 分 因为，分别是，的中点，所以/，.9 分 又 平面,平面，所以/平面 .12 分 同理/平面.13 分 又 =，、平面 .14 分 所以平面/平面 .15 分 17.（本题 15 分）【解析】（1）因为0AD AC=，所以103ABBCAC+=，.2 分 即21033ABACAC+=，.3 分 所以221cos033bcAb+=，.5 分 因为bc=，所以1cos2A=，.6 分 学科网（北京）股份 有限公司 学科网（北京）股份 有限公司 因为0A，所以23A=.7 分（2）因为2133AD ACABACAC=+221cos033bcAb=+=，（或者写由（1）知）.8 分 所以由余弦定理得 22220bcab+=，.9 分 即22220bca+=，.10 分 又22222222cos22acacacbBacac+=22332222acac+=；.13 分 当且仅当=3c 时等号成立，.14 分 因为0B，所以 B 的最大值为6.15 分 18.（本题 17 分）解：(1)为的中点时，/平面11 证明如下：在正三棱柱 111中11/，/平面111，平面，平面 平面111=，所以/，所以11/，因为 P 为11中点，所以 Q 为11中点 取 AB 中点 M,连接 DM、1 因为 D、Q 分别为 AC，11中点，.D.M 学科网（北京）股份 有限公司 学科网（北京）股份 有限公司 所以 1,且=1,所以四边形1为平行四边形 所以以 1 平面11，1 平面11，所以/平面11，（备注：其他方法酌情给分）(2)连接，四棱锥 可视为三棱锥 和 组合而成，三棱锥 可视为 ，底面积=342=3，高为32，设=1，体积为1=13 3 32=12 三棱锥 与 等高，体积比为底面积之比，设=2，则2:1=:=:=1:2，故2=121=14，因此，=1+2=34，即为所求 19.（本题 17 分）（1）在OAC中120AOC=，ACx=，由余弦定理得2222cos120OAOCOA OCx+=又OCBO=，所以2222cos120OAOBOA OCx+=，在OAB，中10AB=，60AOB=由余弦定理得222cos60100OAOBOA OB+=，学科网（北京）股份 有限公司 学科网（北京）股份 有限公司 +得2221002xOAOB+=，-得24cos60100OA OBx=，即21002xOA OB=，又222OAOBOA OB+，所以22100100222xx+，即2300 x，又210002xOA OB=，即2100 x，所以1010 3x；（2）易知OABOACSS=，故122sin602ABCOABSSOA OB=()231004x=，又12ABCSAC BD=，设()BDf x=，所以23(100)()2xf xx=，(10,10 3x，易证()f x在)10,100 3上是增函数 所以()f x的最大值为(10 3)10f=，即 BD 的最大值为 10。
