导数及其应用2024年高考数专项复习06导数的综合应用.doc

导数及其应用2024年高考数专项复习第4讲 导数应用综合知识要点复习回顾求曲线的切线 研究函数的单调性 单增单减研究函数的极值与最值 与端点函数值研究函数图像的大致形状典型例题分析例1 函数的图象大致是解析：例2设函数，则A在区间内均有零点 B在区间内均无零点C在区间内有零点，在区间内无零点D在区间内无零点，在区间内有零点 解析：思考：研究函数的单调性.例3已知函数.()当k=2时，求曲线在点处的切线方程；()求的单调区间.解析：例4设，（1）令，讨论在内的单调性并求极值；（2）求证:当时恒有解析：第3讲 导数的应用（二）知识要点一、函数的极值定义：一般地，设函数在点有定义，（1） 如果对于附近的所有点，都有：，称为函数的一个极大值，记作，称为的一个极大值点；（2） 如果对于附近的所有点，都有：，称为函数的一个极小值，记作，称为的一个极小值点。 极大值与极小值统称为极值。极大值点与极小值点统称为极值点。注意：（1）区间端点不是极值点。（2）极值是一个局部概念，可以有多个极大（小）值，函数的极小值不一定比极大值小，函数也不一定有极值。（3）一阶导数为零的点，称为驻点。不要将极值点与导数为零的点混为一谈，（导数为零）驻点是对可导函数而言的，而极值点对不可导函数、甚至对不连续函数也是有意义的，只有可导函数的极值点才是驻点。利用导数求极值的步骤：（1）求定义域；（2）求导数；（3）解方程；（4）列表：看在每个根附近导数符号的变化： 若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点。注意：无定义的点不用在表中列出（5）依表给结论： 二、函数的最大值最小值1、最值定理:闭区间上连续函数（连续不间断曲线）一定有最值。2、求可导函数f(x)在闭区间a, b上最值的一般步骤：（1）求出f(x)在(a,b)内的全部极值点（至多有限个点）；（2）计算出函数值f(x1), f(x2), f(xn)，以及f(a)与f(b)；（3）比较上述值的大小，最大者即为最大值，最小者即为最小值。典型例题分析例1 讨论函数（）的单调性并求极值解法: 例2.求函数在区间-1，2上的最大值与最小值。解法:例3函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A1个 B2个 C3个 D 4个分析与解：例4 已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线， 证明：解析： 定积分的概念问题一、曲边梯形的面积问题二、变速直线运动的路程已知做变速直线运动的物体速度与时间之间的关系为那么从t=0到t=1时间内，该物体经过的路程是多少？解:1.分割 2.近似代替 3.求和 4.取极限问题三、变力做功弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力（为常数，是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长所作的功.一、定积分的概念设函数定义在区间a,b上，用分点把区间a,b分为n个小区间，其长度依次为.记为这些小区间长度的最大值，当趋近于0时，所有区间的长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点，作和式，当时，如果和式的极限存在，把和式的极限叫做函数在区间上的定积分，记作.即.定积分的相关名称： ò 叫做积分号， f(x) 叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量， a 叫做积分下限， b 叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。说明：（1） （2） （3）二、定积分的几何意义（1）当时（2）当时三、定积分的基本性质1.；（其中为常数）2.3.，（其中）例. 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图所示）那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是（ ）A. 在时刻，甲车在乙车前面 B. 时刻后，甲车在乙车后面C. 在时刻，两车的位置相同 D. 时刻后，乙车在甲车前面 微积分基本定理一、回顾定积分的背景的的几何背景的物理背景二、牛顿-莱布尼兹公式定理（微积分基本定理）例1.计算下列定积分（1） （2）解析：练习：（1） （2）（3） （4） 基本初等函数的导数公式积分公式表定积分的基本性质例2.计算下列定积分（1）（2）（3）（4）（5）解析：例3.计算，其中解析：例4.计算（1） （2）解析：例5.证明： .解析：定积分的简单应用一、回顾1.定积分的的定义2.定积分的的背景 的几何背景 的物理背景3.微积分基本定理二、定积分的应用1.在几何中的应用例1. 求曲线与所围成图形的面积.求由曲线围成的平面图形面积的步骤：（1） 画草图，求出曲线的交点坐标（2） 将曲边形面积转化为曲边梯形面积（3） 确定被积函数及积分区间（4） 计算定积分，求出面积几种典型的平面图形面积的计算： 类型1：类型2：例2.计算由曲线，直线以及轴围成图形的面积.解：另解：另解：.在物理中的应用例.一辆汽车在分钟内的速度时间曲线如图所示，那么汽车在这分钟内走的路程是多少？例4. 如图，在弹性限度内，如果将弹簧从平衡 位置拉到离平衡位置l m处，那么克服弹力所作 的功为多少？(单位： ） 例5. 设地球质量为M，半径为R，引力常数为G，求把质量为m（单位：kg）的物体从地球表面升 高h（单位：m）所作的功.