重庆巴蜀中学校2024年高一下学期5月期中考试数学试题含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司高高 2026 届高一（下）期中考试数学试卷届高一（下）期中考试数学试卷 注意事项：注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚每小题选出答案后，用每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试卷上作答无效净后，再选涂其他答案标号在试卷上作答无效考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存满分考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的1已知复数5i12iz=+，则在复平面内表示复数z的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2在正方体1111ABCDABC D中，直线AC和直线1BC所成的角为（）A6B4C3D23已知等腰ABC中，23A=，则BC 在BA 上的投影向量为（）A32BA B32BA C3BA D3BA 4已知平面向量,a b 满足()()2,1,1abkab+=若/a b，则k=（）A2 B12C12D2 5设是给定的平面，,A B是不在内的任意两点，则（）A在内存在直线与直线AB平行B存在过直线AB的平面与垂直C在内不存在直线与直线AB异面D在内不存在直线与直线AB垂直6已知非零向量a和单位向量b满足ab，且向量ab+与a的夹角为30，则a=（）A33B13C3D3 7已知正四棱台1111ABCDABC D的高为6，其所有顶点均在同一个表面积为32的球面上，且该球的球心在底而ABCD上，则棱台1111ABCDABC D的体积为（）A1463B14 6C2863D28 68某地开展植树造林活动，拟测量某座山的高勘探队员在山脚A测得山顶B的仰角为45，他沿着坡角为15的斜坡向上走了 100 米后到达C，在C处测得山顶B的仰角为60设山高为BD，若,A B C D在重 庆 巴 蜀 中 学 校 2 0 2 4 年 高 一 下 学 期 5 月 期 中 考 试 数学 试 题 含 答 案 学科网（北京）股份有限公司 同一铅垂面，且在该铅锤面上,A C位于直线BD的同侧，则BD=（）A50 650 2米 B50 650 2+米 C100 6100 2米 D100 6100 2+米 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 6 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分分，部分选对的得部分分 9下列各组向量中，可以用来表示向量()1,2a=的是（）A()()121,1,1,2ee=B()()121,1,2,2ee=C()()121,2,3,6ee=D()()121,2,3,4ee=10已知复数()122,0z zz，下列命题中正确的是（）A若21z R，则1z R B若12zzR，则12z z R C若1 222z zz=，则1 14z z=D若21 21z zz=，则12zz=11满足下列条件的四面体存在的是（）A1 条棱长为3，其余 5 条棱长均为 1 B1 条棱长为 1，其余 5 条棱长均为3 C2 条棱长为3，其余 4 条棱长均为 1 D2 条棱长为 1，其余 4 条棱长均为3 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12一个母线长为 2 的圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则该圆锥的侧面积为_ 13在直三棱柱111ABCABC中，所有棱长均相等，则二面角1CABC的正切值为_ 14在ABC中，角,A B C对应的边分别为,a b c，已知21,sin sin10cbcBC=，且sinsin2sinsinaAbBBC=+，则A=_，ABC的面积为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15（13 分）如图，在直四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD是菱形，E是1DD的中点 学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：1/BD平面AEC；（2）求证：平面AEC 平面1BDD 16（15 分）在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b cABC的面积为S，已知2c=，且224 34abS+=+（1）求C；（2）求3ba的取值范围 17（15 分）如图，在三棱锥VABC中，VAB和ABC均是边长为 4 的等边三角形，2 5VC=（1）证明：ABVC；（2）已知平面满足/,/VAAC，且平面平面VBCl=，求直线l与平面ABC所成角的正弦值 18（17 分）在ABC中，3,1.BCABACM=为边BC上一点，1,BMD=为边AB上一点，AM交CD于P（1）若3,2ACAD=，求AM CD （2）若35,22BDCD=，（i）求AC；（ii）求APD和MPC的面积之差 19（17 分）学科网（北京）股份有限公司 定义空间中既有大小又有方向的量为空间向量起点为1A，终点为2A的空间向量记作12A A，其大小称为12A A的模，记作1212,A AA A等于12,A A两点间的距离模为零的向量称为零向量，记作0空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义与性质和平面向量一致，如：对任意空间向量,a b c ，均有3aaaa+=abba+=+，00aaa+=+=，()()abcabcabc+=+=+；对任意实数和空间向量a，均有aa=；对任意三点123,A A A，均有122313A AA AA A+=等 已知体积为()1,2,24iV i=的三棱锥()1,2,24iPABC i=的底面均为ABC，在ABC中，2 3,ABQ=是ABC内一点，120AQB=记241iiVV=（1）若(),30,1,2,24iAQCQ ABACACQP i=到平面ABC的距离均为 1，求V；（2）若Q是ABC的重心，且对任意1,2,24i=，均有iiiAPBPCPi+=（i）求V的最大值；（ii）当V最大时，5 个分别由 24 个实数组成的 24 元数组()(),1,2,24,1,2,5jjjaaaj=满足对任意1,2,5,1,2,24ji=，均有,3ij lVai=，且对任意121215,jjjjN均有1224,10j ij iiaa=求证：12,j ij laa=不可能对任意121215,jjjjN及1,2,3,4,5i=均成立（参考公式：22421211111;2,300nnniniiijiiiijixxxxxxx xi=+=+=）巴蜀中学巴蜀中学 20232024 学年高一下期中考学年高一下期中考 数学参考答案及评分细则数学参考答案及评分细则 评分说明：评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题和填空题不给中间分只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分分，满分 40 分分 1A 2C 3A 4D 5B 6C 7C 8B 学科网（北京）股份有限公司 1()5ii 12i2i12iz=+，对应的点在第一象限，故选 A 2直线AC和直线1BC所成的角等于13D AC=，故选 C 3由图可知，BC 在BA 上的投影向量为32BA，故选 A 4由/a b 知，()()/abab+，则2k=，（也可求出向量坐标），故选 D 5当直线AB与相交时，在内不存在直线与直线AB平行；易知存在过直线AB的平面与垂直；在内存在直线与直线AB异面；在内存在直线与直线AB垂直；故选 B 6由于ab，且向量ab+与a的夹角为30，作图可知，33ab=，故选 C 7设球心为O，则球O的半径2 2R=，由于O在底面ABCD上，底面ABCD为正方形，易得正方形ABCD的边长为24R=，面积为 16；设底面1111ABC D的外接圆半径为r，则222rRh=，易得正方形1111ABC D的边长为22r=，面积为 4；所以正四棱台1111ABCDABC D的体积为()128 616416 4633V=+=，故选 C 8在ABC中，135,15,100,2ACBABCACABBD=，由正弦定理得sinsinABACACBABC=，解得()505062sin15BD=+米，故选 B 二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 6 分，满分分，满分 18 分全部选对的得分全部选对的得 6 分，分，部分选对的得部分分，有选错的得部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9ACD 10BC 11BCD 9选项 A 和 D 中的两个向量不共线，均可构成平面的一组基底，故可以用来表示向量a，选项 C 中的两个非零向量均与a共线，所以也可以用来表示向量a，选项 B 中的两个非零向量选项共线，但与a不共线，不能用来表示向量a，故选 ACD 10取12i,izz=知，选项 A 和 D 错误，由复数的性质知，选项 B 和 C 正确，故选 BC 11 解法一：（1）当有 1条边为a，5 条边为 1 时，不妨设四面体ABCD满足1ABBCCABDCD=，设BC中点为E，则32AEDE=，设AED=，则3sin2ADa=，所以()0,3a；所以当有 1 条边为 1，5 条边为a时，1,3a+，故 A 错误，B 正确；（2）当有 2 条边为a，4 条边为 1 时，分两种情况：学科网（北京）股份有限公司 长为a的两条棱有一公共顶点，不妨设为BDCDa=，设AD与平面ABC所成的角为,BC中点为E，则()222(cos)(sin)23cos23,23aBEAEADAD=+=+；长为a的两条棱为相对棱，不妨设为BCADa=，设BC中点为E，则222sin2 1sin4242aaAEa=，所以02a，综上可知，()0,23;a+所以当有 2条边为 1，4 条边为a时，1,23a+，故 C，D 正确；故选 BCD 解法二：（1）当有 1 条边为a，5 条边为 1 时，不妨设四面体ABCD满足1ABBCCABDCD=，由正弦定理易得，ACD的外接圆半径为2114a（极限位置为共面的情形时，点B在平面ACD内的射影为ACD的外心），所以()0,3a；所以当有 1 条边为 1，5 条边为a时，1,3a+，故 A错误，B 正确；（2）当有 2 条边为a，4 条边为 1 时，分两种情况：长为a的两条棱有一公共顶点，不妨设为BDCDa=，由正弦定理易得，ACD的外接圆半径为22141aa=，所以02a，综上可知，()0,23;a+所以当有 2 条边为 1，4 条边为a时，1,23a+，故C，D 正确；故选 BCD 三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分分，满分 15 分分 122 132 33 1431;42（仅答对一空给 3 分）12设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则2l=，且22rlr=，所以1r=，侧面积为2 13不妨设直三棱柱111ABCABC的所有棱长均为 2，取AB中点P，则1C PC为二面角1CABC的平面角，1122 3tan33C CC PCCP=，学科网（北京）股份有限公司 即二面角1CABC的正切值为2 33 14在ABC中，由正弦定理得，sinsinsinabcABC=，又因为sinsin2 sinsinaAbBcBcC=+，所以2222abbcc=+，由余弦定理得2222cos22bcaAbc+=，因为()0,A，所以34A=；因为在ABC中，由正弦定理，sinsinsinabcABC=，即12sinsinbaBC=，所以212sin sin21022bbBCaaa=，所以252ab=，所以2251222abbb=+=，所以223 220bb+=，所以2b=或22b=（舍），因为ABC的面积为11sin22SbcA=四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15证明：（1）设,AC BD交于点O四边形ABCD为菱形，所以O是AC的中点，因为E是1DD的中点，连接OE，所以1/OE BD，因为OE 平面1,AEC BD/平面AEC，所以1/BD平面AEC（2）因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC，因为1DD 底面,ABCD AC 平面ABCD，所以1DDAC，因为1BB 平面1,BDD BD 平面11,BDD BBBDB=，所以AC 平面1BDD，因为AC 平面AEC，所以平面AEC 平面1BDD 16解：（1）因为221sin,4 342SabC abS=+=+，所以222 3sin4ababC+=+，在ABC中，由余弦定理，得2222cosabcabC+=，因为2c=，所以2242cosababC+=+，所以cos3sinCC=，所以3tan3C=，因为(0,)C，所以6C=（2）在ABC中，由正弦定理，得4sinsinsinabcABC=，所以34 3sin4sinbaBA=54 3sin4sin2 3cos2sin4sin63AAAAA=+=+学科网（北京）股份有限公司 因为50,6A，所以 7,336A+，所以1sin,132A+，所以(32,4ba，即3ba的取值范围为(2,4 17解：（1）如图，设AB的中点为D，连结,DV DC，因为VAB和ABC均为等边三角形，所以,VDAB CDAB，又因为,VDCDD VD=平面,VCD CD 平面VCD，所以AB 平面VCD，又因为VC 平面VCD，所以ABVC （2）因为/,/,VAACVAACA=，且,VA AC 平面VAC，所以/平面VAC，又平面平面VBCl=，平面VAC 平面VBCVC=，所以/VC l，所以直线l与平面ABC所成角等于直线VC与平面ABC所成的角 在平面VCD内作VOCD，则由（1）知，AB 平面VCD，又VO 平面VCD，所以VOAB 又因为,ABCDD AB=平面,ABC CD 平面ABC，所以VO 平面ABC，所以VCD是直线VC与平面ABC所成的角 因为VAB和ABC均是边长为 4 的等边三角形，所以2 3VDCD=，又因为2 5VC=，在等腰VCD中，152cos2 3VCVCDCD=，所以721sin62 3VCD=，所以直线l与平面ABC所成角的正弦值为216 18解：（1）如图，因为1,3ABACAC=，所以4AB=，因为D为边AB上一点，2AD=，所以D为AB中点，所以12ADAB=，所以12CDABAC=，因为113BMBC=，所以13BMBC=，学科网（北京）股份有限公司 所以2133AMABAC=+，在ABC中，因为ACBC=，所以2cos3ADBACAC=，所以2212111152333233AM CDABACABACABAB ACAC=+=（2）（i）如图，在BCD中，由余弦定理得，2225cos29BDBCCDDBCBD BC+=，所以5cos9ABC=，设ACx=，则1ABx=+，在ABC中，由余弦定理得，()22222(1)95cos22139BABCACxxABCBA BCx+=+，解得5x=，所以5AC=（ii）由（i）知5AC=，所以6AB=，又因为0ABC，所以22 14sin1 cos9ABCABC=，所以ABM的面积12 14sin23ABMSAB BMABM=，BCD的面积114sin22BCDSBD BCABM=，所以APD和MPC的面积之差146APDMPCAPDBDPMBDPMMPCABMBCDSSSSSSSS=+=，学科网（北京）股份有限公司 即APD和MPC的面积之差为146 19解：（1）如图，在ACQ中，1sin2AQACACQAC=因为,ACAB AQCQ，所以30QABACQ=，所以，在ABQ中，18030QBAAQBQABQAB=，所以在ABQ中，122cosABAQBQQAB=，所以4AC=，所以ABC的面积为14 32SAB AC=，所以14 333iiPABCVSd=，所以24132 3iiVV=（2）（i）因为Q是ABC的重心，所以ABC的面积为3 334QABSSAQ BQ=，在ABQ中，由余弦定理得，2222cosABAQBQAQ BQAQB=+，即2212AQBQAQ BQ+=，由基本不等式知，22123AQBQAQ BQAQ BQ+=，所以4AQ BQ，故 3 3S，等号当且仅当2AQBQ=时成立，又由Q是ABC的重心知，0AQBQCQ+=，所以3iiiiiiAPBPCPAQQPBQQPCQQPQP+=+=，所以()1,2,243iiQPi=，所以()1131,2,24333iiPABCVS dS QPi i=，所以2424113100 33iiiVVi=，等号当且仅当2AQBQ=，学科网（北京）股份有限公司 且iQP 平面ABC时成立，所以V的最大值为100 3（ii）由（i）知，33iVi=，所以对任意1,2,5,1,2,24ji=，均有,31ij iVai=，故2,1j ia=，记1,2,5,iiiiSaaa=+，则()2152221,2,5,52jiiiiij ij iSaaaa a=+=+所以2224242,11 151202ij ij iiiijSa a=+，由于任意121215,jjjjN均有224,10j ij iia a=，所以21224,1 150j ij iijia a=，所以2421120iiS=假设2,j ij iaa=对任意121215,jjjjN及1,2,3,4,5i=均成立 则对于1,2,5i=，均有()()2221,2,5,1,525iiiiiSaaaa=+=，所以24524522221161125iiiiiiiiSSSS=+=，与2421120iiS=矛盾，所以假设不成立，即2,j ij iaa=不可能对任意121215,jjjjN及1,2,3,4,5i=均成立