浅谈数形结合在高中数学中的应用.docx

摘 要数形结合是指根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。本文首先论述了数形结合的基本概念理解，再对数形结合思想在高中数学的现状进行分析，然后通过一些经典例题进行说明，将数形结合应用到具体的数学问题中。希望这些能够对数形结合教学方面工作有所作用，从而提高学生学习成绩。关键词：数形结合，教学应用，高中数学教学AbstractThe combination of numbers and shapes refers to the idea of solving mathematical problems through the mutual transformation of numbers and shapes according to the corresponding relationship between numbers and shapes, and realizing the combination of numbers and shapes. This paper first discusses the basic concept of the combination of numbers, and then according to the current high school students' ability to combine numbers and shapes analysis of the meaning of the combination of numbers and shapes teaching, through some classic examples to elaborate, if the combination of numbers and shapes applied to specific mathematical problems. It is hoped that these can be combined with the teaching aspects of the work to improve students' academic performance.Key words: the combination of number and form, the combination of number and form teaching application, high school mathematics teaching目 录引 言52.数形结合概述62.1数形结合的本质62.2使用数形结合的目的63 数形结合思想在高中数学现状分析73.1数形结合在高中数学中的影响分析73.2当前高中生数学数形结合掌握程度分析74数形结合在高中数学中的应用84.1利用数形结合解决集合问题84.2利用数形结合解决极值问题104.3利用数形结合解决函数问题114.4利用数形结合解决线性规划问题134.5利用数形结合理解数学公式145 提高教学质量的几点看法165.1学生空间想象与计算能力的提高165.2巧妙运用数形结合的训练165.3加强学生及时纠错意识176结论17致谢18参考文献19引 言在2011年的新课标中，数形结合被作为高中必修的7大数学思想之一，并且逐渐成为高中教学中不可忽视的重要思想。高中生在学习数学的过程中，有许多知识点都与数形结合息息相关，巧妙运用数形转换能够极大程度地提高学生们的学习与想象能力，因此，在教学过程中，作为教师的我们，必须向同学们展示这个思想的价值，领略使用数形结合解题的优势。在数形结合成为高中重点内容的大趋势下，学好数形结合就显得尤为重要。基于这一点，本文首先阐述了什么是数形结合以及它的研究与当今的高中数学教学的意义，再针对当前高中生数形结合能力与数形结合有关的知识课标之间的矛盾进行分析，通过对于高中生存在的问题、数形结合在各个章节中的影响、如何学会多角度使用数形结合的巧妙性解决各类数学问题以及个人对这些情况的看法与建议进行概述。数形结合广泛应用于高中数学的各个知识点学习中，例如集合、函数、概率、解析几何、不等式的教学等等。所以，无论是在学习哪一阶段的高中课程，对于学生们的意义都是十分重大的。它能够很好地为学生们打下学习各个部分知识的基础，还能够开发学生们的空间想象能力、语言概括能力，并学会将空间想象与运算巧妙地结合到一起，提高解题的灵活性与准确性。2.数形结合概述2.1数形结合的本质数形结合是将数学中最为重要的两个研究对象“数”与“形”通过巧妙的有机结合达到使数学问题具体化，直观化的数学思想方法。在高中阶段，能够应用到数形结合的主要有两种情况，一种是问题文字符号所表达的意思较为抽象时我们需要用图形的方式直观地表达出其内在涵义，另一种情况则是通过数据来描述图形所提供的信息，两种情况明确了数形结合在高中数学中的要求与方向。数形结合是将数学问题的条件与结论进行相互连接,在探讨题目中涵盖的代数意义的同时,也试图揭示其几何意义,从而将数量关系的代数数据与图像形象紧密结合,促使复杂的问题简单化1。因此，为了更好地运用数形结合方法的优势，就必须遵循一定的准则，应用数形结合解决问题时应遵循以下基本原则：等价性原则、双向性原则、简洁性原则、直观性原则、实践创新原则2。通过对以上数形结合原则的合理有效运用,充分抓住“数”和“形”的特点,相信会很大程度上简化解题过程,培养学生独立自主的学习能力和逻辑思维能力,帮助学生更快的抓住问题的要害,促进师生间共同进步。3所以，数形结合的本质是充分利用图形与文字符号的巧妙结合与相互转化寻找出解决问题的最佳解答。2.2使用数形结合的目的数形结合思想能够有效地将数学中抽象的概念直观化、形象化；解读、摘取图像中所涵盖的重要信息，使问题求解更加便捷，思路更加宽广，能够从多种角度出发，帮助学生更加容易地找出解决方法4。不仅如此，数形结合的内容几乎贯穿了整个高中知识，那么也就意味着在教授数形结合思想的过程中也在不断地将各个知识间相互结合，这很考验学生们各部分知识掌握程度，但也同时能够培养学生解题灵活度，也就是通常所说的当看到一个题目，其中涉及到的定理，公式等能够想象出用什么数学模型，若是涉及到一个图形，要如何用数学语言描述出来以此来获得解题的最佳方法：这样的学习过程也就是数学学习的关键所在。3 数形结合思想在高中数学现状分析3.1数形结合在高中数学中的影响分析在高中课标(2017版)中将数形结合列为七大数学思想之一，可见数形结合在高中教学中的应用地位，高中教师应当重视学生们对于数形结合思想的使用。现在数形结合在高中许多典型例题中都有用到，例如：集合问题，极值问题，函数问题，线性规划问题。数形结合思想不仅仅是能够提高课程内知识的学习，而且它是将数与形两个重要数学部分相结合的思想方法：众所周知，数学是一门各个部分互通融合性很强的学科，一个知识点的学习，常常会联系到之前学过的知识点，那么学会将各个知识点融会贯通在数学学习中是十分重要的。而数形结合就是数学学习的一个典型案例，教师可以通过数形结合这一思想，将数学学习的本质很好的呈现在同学们面前，从而使学生真正的认识数学，了解数学，从而提高数学解题水平。3.2当前高中生数学数形结合掌握程度分析高中数学许多知识点都有应用到数形结合思想，集合的表示、函数的图像、解析几何等都是学习数学结合的知识点案例。但即使有这么多次的学习机会，高中生对于数形结合的理解还是有明显不足，主要表现在以下这些方面：1、 对于数形结合的理解显得不够到位，在许多问题上难以想到用数形结合来进行解题，或是知道了应该用数形结合但是无法将这种思想方法嵌套到题目中去，导致解题过程中浪费了大量时间。2、 由于高中生面对着比其他阶段学生更加严峻的学业考验，所以在面对这样大的学业压力下，有很多的高中生在学习如何用数形结合解决数学问题时，为了节约时间，常常没有以真正理解掌握数形结合思想方法为出发点，而是仅仅只做到学会一题是一题，这也就是为什么高中生常常一题写出来，换一下数据和背景又解不出来了的症结所在。3、 现在的高中生在学习数形结合思想时常常偏离一个重要目标，那就是在数学学习中许多知识点的学习目的常常是为了前后知识之间的相互联系。像数形结合这样的知识点的学习不仅是解题那么简单，还有提高学生知识综合贯通能力，学会学习各种数学思想的程序性方法的目的，从而使学生知道“什么是学数学？怎么样学好数学？”。但许多高中生在学习中很容易只朝着一个方向，没能够注意到数形结合与其他知识之间的联系，从而进入思维的死胡同，难以灵活应用数形结合思想的巧妙性。4数形结合在高中数学中的应用正如张国芬老师所说，想让学生更深入地了解数学概念,就需要教师在实际教学过程中采用具体的实例,有效推动数和形的结合.5所以，我将在以下几个方面的知识点上进行例题应用讲解，以说明数形结合对高中数学的重要性。4.1利用数形结合解决集合问题集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。集合作为高中数学最开始深入学习的知识点，几乎贯穿了整个高中所有的书本，利用集合表达与描述是数学问题中常见的方式。到了高中，老师也开始教授更高层次有关集合的内容，例如开并集的运算处理，多个集合与多个元素的相互关系的判断，实际应用题的集合使用，这些内容都使得该部分知识的难度加大，很多同学对于学习集合这样的抽象思维感到十分困难。那么为了将这样的抽象思维具象化，教师巧妙地运用数形结合来讲解这部分内容就是十分有必要的。一般情况用椭圆来表示集合，两个椭圆相交部分表示两个集合的公共元素，两个圆完全相离就表示两个集合没有公共的元素，若是有多个圆也以此类推。利用韦恩图法就能更加直观地解答有关集合之间的关系问题，其中与之相关的典型例题如下。例1：某地暑假球类兴趣班共有17位学生参加，一共有三个项目篮球，排球，足球，其中参加篮球班的有11人，参加排球班的有7人，参加足球班的有9人同时参加篮球班和排球班的有4人，同时参加排球班和足球班的有3人，同时参加篮球班和足球班的有5人，问：三个班都参加的学生有几人？面对这样的题目，很多的同学在想的过程中常常会感到题目过于复杂，需要记住的东西太多，难以快速把握题目要点，并且这样的题目将各个球类及其人数弄混是十分常见的。但如果能够用数形结合中的韦恩图法则会使情况大有改观。图4-1根据题意设：三个班都参加的同学有人，并画出如上图4-1。知道篮球与排球都参加的同学有4名，那么有而排球与足球都参加的同学有3名，那么有而篮球和足球都参加的同学有5名，那么有则将分别对应填入篮球和排球、排球和足球、篮球和足球的各个两圆之间将填入三圆的公共部分同理，由篮球、排球、足球人数分别为11，7，9通过像这样画图，将能够更加直观的看出三个兴趣班的参加人数是如何分布的，并且，只要将图中各个板块的数据相加，所得数就是总人数17。即得所以解得即兴趣班中有两人三个班都参加了。通过这题我们很明显能够感受到数形结合实实在在的能够将复杂的数学问题变得十分直观，使在写这样的集合问题时能够保持十分清晰的思路，并快速准确的将题目的要求完成，所以，教师在集合问题上应多注重与数形结合的联系，以此来提高学生的解题能力。4.2利用数形结合解决极值问题极值问题是高中数学考试中选择填空题目的常客了。大多数情况下，都是用计算来进行求解，但是有一部分机极值问题，在计算时便会发现，其计算过程过于繁琐，在考试中十分耗时，且在紧张的气氛下容易出错。但实际上，这类问题若能够巧妙地运用图形便能够在解题时事半功倍，将复杂繁琐的代数运算问题，转化成形象、直观的几何问题，让求解过程简洁明了，也使得求解出的大难更加准确。例2：已知： 求的最小值像这样的题目如果依旧用一般的计算求解的话，肯定是要发费大量的时间的，但如果学生能够熟练的使用数形结合结果自然是大不一样了。解题思路如下。首先，画出平面直角坐标系然后将因式分解转换为而可以看作是平面直角坐标系上以为圆心，半径长度为2的圆。的最小值就可以看作是点距离圆的上的点的最小值。以此可以画出如下图4-2：图4-2通过图4-2中可以很清楚的看出点距离圆的上的点的最小值就是点就是的长度即得到最小值为：所以本题的最终答案为像诸如这样的问题，只要能够巧妙的运用数形结合中的平面直角坐标系与之相联系，就能够非常直观的把握题目要点从而快速准确地解题。4.3利用数形结合解决函数问题函数，作为从初中开始直到高考都十分常见的数学知识，随着进入高中后难度的加大，尤其是必修1中函数的单调性、奇偶性、最值以及方程的根与函数的零点、二分法求方程的近似值等都成为了学生们眼中的学习困难点。特别是以下这几方面1.用函数图像讨论方程的解的个数，其主要步骤是先将方程式转化为对应的函数表达的形式，通过观察函数图像（一个或多个）与轴或相互之间交点的个数与交点位置来求得方程的解。2.求解不等式问题常常也与函数挂钩，面对这样的问题，可以先将看作为两边相等函数形式，画出图像后，观察所求数在图像上方还是下方来求得不等式两边的大小关系。3.解决函数零点与单调性问题时，也可通过与方程和图像的转化使解题条件更加直观，解题思路更加清晰。例3：设方程，试讨论k取不同范围的值时其不同解的个数的情况。像上面的例3也是非常常见的函数问题，要解决这样的问题，如果用一般的计算需要对有未知数平方项的绝对值进行换算，解起来十分麻烦，但是如果我们用数形结合的思想进行分析：可把这个问题转化为确定函数与图像交点个数的情况，因函数表示平行于x轴的所有直线，从图4-3可以直观看出:图 4-3当时,与没有交点，这时原方程无解;当时,与有两个交点,原方程有两个不同的解; 当时,与有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；当时,与有三个交点，原方程不同解的个数有三个；当时,与有两个交点，原方程不同解的个数有三个这样一进行分析，便是能够很快明白这题的求解思路。函数问题是比较基础但又比较难的一类问题，利用数形结合来解决函数问题是高中生必须掌握的一项技能，在高中阶段不论是怎样的函数，只要先进行画图，就会使得问题变得更加直观，从而达到快速且准确的解题思路。同时函数作为高中较早学习的知识，如果教师能够快速的帮助同学们学会如果使用数形结合思想对于后续的学习将是十分有帮助的。4.4利用数形结合解决线性规划问题线性规划问题是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，也是近几年的高考常见题，在考试的紧张氛围下，学生们在此类问题中便常常会陷入代数计算的死胡同，花费大量时间、精力进行计算却无法解题，其原因便是求解方法上出了问题。解决线性规划问题是大多数情况下应该以图形为突破口入手，巧妙应用数形结合便能够达到事半功倍的效果。例4:若、满足x-y0x+y-20y0则求的最大值。像这样的题目如果是进行运算是很难求解的，必须通过画图的形式进行分析，如下图4-4。图4-4如图4-4中将题目中的限制区域转化为、则依据题目要求的转化为的直线图像只需要经过在的下方、的下方、的上方所表示的三角形区域，且当越小时，值越大，即画出如图情况下的图像求得当直线经过点（2，0），此时，取得最大值。通过图像对于线性规划问题题目的表示，能清晰且直观地把握题目的解题重点，通过图像看出所求未知数的大小范围正是很充分的体现了数形结合对于此部分内容的价值，如果学生们能够熟练掌握，对于该部分地学习将十分有帮助。4.5利用数形结合理解数学公式在高中有着十分大量的数学公式，很多问题都需要借助这些公式来进行求解，但是很多同学学习数学时带有很强的固有观念，常常认为学习数学的目标就是只是要能够将数学问题的答案求解出来，所以学到一个公式后就直接将其套用于题目当中，没有自己对其加以理解与思考，反而导致了解题时知识混淆的情况。因此，可以从教会学生用数形结合来理解公式出发，使公式中的符号、文字通过图形的形式直观化、具体化，以此来加深学生对于公式的理解与记忆。以在高中最为常见的立方差公式为例，这个公式常常用于各种高中试卷的各种题目中，尽管只是一个普通的公式，但是确很多同学确常常记错，把它和其他的公式混淆到一起，导致解题时的不必要错误。那么怎么样让同学们准确的记住和使用这个公式就显得十分重要了。很多这样的公式都与图形有着密不可分的关系，所以这个公式教学的突破口依然是数形结合思想。如下图4-5图 4-5通过图4-4，可以看出其实就是一个边长为的正方体体积减去一个边长为的正方体体积那么将减去后的图形分为三个部分如上图所示，这三个部分的面积分别为、，将他们相加后，也就得到了原公式。通过这样一直观的讲解，图形能够更加容易保留于同学们的大脑中，从而达到真正理解立方差公式的由来，自然也就能够快速准确地使用这个公式。并且，这样的方式还能够提高同学们的空间想象能力，对于几何问题的学习也十分有帮助。5 提高教学质量的几点建议数形结合教学的主要思路在于提高学生们的空间想象能力，使同学们保持良好的计算习惯，能够将各种公式定理结论烂熟于心，最后也是数形结合思想的核心：巧妙地利用图形与数据相结合，做到以形助数，以数化形，数形结合，巧妙解题。同时，数形结合的教学也是教师培养同学们各种良好学习习惯的时机，教师也要在这个方面进行思考。5.1提高学生空间想象与计算能力近几年来，通过高中生的学习情况，不难看出，他们的空间想象能力与计算能力存在不足。很多同学没有养成画图的习惯，在做比较难的计算时，也常常出现急躁导致的错误，但是这两个部分却是数形结合最为重要的基础能力。那么，教师在面对这种情况时就应该鼓励同学们多画图，尤其是在习作课与课后作业中，老师应当作以表率，能够用图形解题时就立刻画图，学生们也会因此受到影响，更加主动的画图，只要同学们能够更多的投入思考进行画图，那么空间想象能力也会不断提高，再通过图形来思考问题，思路更加清晰，自然能够减少解题时的压力，计算时急躁的问题也将的到极大的改善。5.2让学生多练习巧妙运用数形结合尽管很多同学知道了数形结合，但是怎么样在解题中使用这一思想，却是一个值得深思的问题。很多同学在拿到题目时，想到了数形结合，但无奈不知如何将题目中的语言化作图形，只能在面对题目绞尽脑汁确毫无进展。面对这种情况，教师们就应该注意数形结合的思想对学生们来说，不是一个很快就能够真正完全掌握的数学思想，教师在教学的过程中应告诫同学们不要过于急躁，并多通过深度讲解许多定理公式例题等,有效的代入数形结合思想方法，并多以引导的方式，让同学们自己尝试用数形结合思想解题，在不断的思考与学习中，让同学们受到潜移默化的影响，最终水到渠成，学会这一思想方法。5.3加强学生及时纠错意识对于数形结合的训练应当不止于老师给学生布置的课后训练，教师还应该教会学生注重对于解题时出现的错误进行分析，由于数形结合出现错误的方式多种多样，所以纠错改正也十分考验学生们的思维逻辑性与严密性，养成及时纠错的好习惯能够使学生更快明白自己学习数形结合是否存在误区，是否使因为对于数形结合理解不足而导致的错误，这些想法都能引发同学思考，在这样不断改进的过程中，学生们也才能够更加明确数形结合的价值与核心，达到在该部分知识中应有的水平。6结 论首先，本文通过对高中知识分析，说明了数形结合思想在高中数学的重要意义；其次，本文从数形结合在高中数学中的影响进行深入，以当前高中生数形结合水平分析重点，阐述了教师应当如何进行数形结合部分知识的讲授，并通过高中典型例题与公式来加以佐证；最后，作为一名教育者，不仅要教授学生知识，还应该培养学生的探究、思考能力，培养学生的积极进取，不屈不挠，耐挫折的优良心理品质，让同学们明白什么才是数学学习的真正意义。致 谢时光匆匆，大学四年时光即将结束，我也将展开新一轮的旅程，面对新的挑战。在此，首先感谢本次论文的指导者沈吓妹老师，从最初的选题，再到开题报告的写作，最后到至今的定稿，老师都十分认真细致地将论文中存在的问题进行分析讲解，我的论文才得以改进，并且最终完成。在此十分感谢老师这段时间的教导。同时，也感谢知网中提供论文材料的各位作者，你们对于数形结合的看法更新并提升了我对于该部分知识理解，在此对你们表示感谢。最后，感谢四年来的各位老师和同学们，是你们与我共度了四年的美好时光，在我人生的道路上留下了浓墨重彩的笔。本文对于数形结合的看法若有不足，恳请老师进行批评指正参考文献1陈耀阳.数形结合思想在高中数学解题中的应用分析J.数学学习与研究,2019(21):139.2蔡红云. 数形结合在高中数学中的应用原则N. 发展导报,2018-07-20(020).3马正勋.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用J.学周刊,2019(31):87.4张会玲.探索数形结合在高中数学教学中的应用J.中国教师,2013(S1):88.5张国芬.浅析数形结合方法在高中数学教学中的应用J.数学学习与研究,2019(18):134.18