同济大学)高等数学课件D91二重积分概念.pptx

PPT,01单 击 添 加 目 录 项 标 题02二 重 积 分 的 基 本 概 念03二 重 积 分 的 计 算 方 法04二 重 积 分 的 应 用05二 重 积 分 的 注 意 事 项06同济大学高等数学课件D91二重积分概念总结二重积分是定积分在空间上的推广二重积分的基本概念是计算曲顶柱体的体积二重积分的定义是计算曲顶柱体的体积二重积分的定义是计算曲顶柱体的体积线性性质：二重积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的二重积分，可以分别对每个函数进行二重积分后再相加或相减。区间可加性：二重积分具有区间可加性，即对于在某个区间上的函数f(x,y)，其在该区间上的两个子区间的二重积分之和等于该函数在整个区间上的二重积分。性质对称性：二重积分具有性质对称性，即对于在某个区域上的函数f(x,y)，如果该区域关于x轴或y轴对称，则其在对称轴一侧的二重积分等于在对称轴另一侧的二重积分的相反数。性质奇偶性：二重积分具有性质奇偶性，即对于在某个区域上的函数f(x,y)，如果该函数关于原点对称，则其在对称区域上的二重积分为0。二重积分的定义：二重积分是定积分在二维空间的推广，表示二维曲顶体积。二重积分的几何意义：二重积分可以理解为求一个二元函数与坐标轴围成的面积，即二维平面上的曲顶柱体的体积。二重积分的计算方法：通过直角坐标系或极坐标系进行计算，常用的计算方法有直角坐标系下的分割求和法、极坐标系下的计算法等。二重积分的应用：二重积分在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用，如计算曲顶柱体的体积、求解曲面的面积、计算力场等。l直角坐标系下的二重积分计算公式l直角坐标系下二重积分计算的步骤l直角坐标系下二重积分计算的注意事项l直角坐标系下二重积分计算的实际应用极坐标与直角坐标转换极坐标系下的二重积分计算公式极坐标系下的二重积分计算步骤极坐标系下的二重积分计算实例添加标题添加标题添加标题添加标题奇偶对称性：对于二重积分，如果函数f(x,y)满足f(-x,-y)=f(x,y)，则称f(x,y)具有偶函数对称性；如果f(-x,-y)=-f(x,y)，则称f(x,y)具有奇函数对称性。轮换对称性：对于二重积分，如果将x和y互换后，积分区域不变，则称该区域具有轮换对称性。极坐标对称性：对于二重积分，如果将极坐标系中的极角和互换后，积分区域不变，则称该区域具有极坐标对称性。坐标平移对称性：对于二重积分，如果将坐标系中的x和y分别平移一个常数a和b后，积分区域不变，则称该区域具有坐标平移对称性。坐标旋转对称性：对于二重积分，如果将坐标系绕原点旋转一个角度后，积分区域不变，则称该区域具有坐标旋转对称性。添加标题l平面图形的面积计算公式l二重积分在平面图形面积计算中的应用l具体案例分析l结论与展望计算由曲线、直线和平面所围成的区域体积二重积分在几何、物理等领域的应用计算曲顶柱体的体积计算曲底柱体的体积平面曲线弧长计算公式参数方程形式下的弧长计算极坐标形式下的弧长计算实际应用举例边界条件：在积分区域的上、下、左、右边界上，函数需要满足一定的条件注意事项：在计算二重积分时，需要注意函数的取值范围以及边界条件特殊情况：当积分区域是矩形时，需要注意四个边界上的函数取值实际应用：在解决实际问题时，需要根据实际情况来确定边界条件奇偶性定义：根据二重积分的性质，当被积函数具有奇偶性时，二重积分的结果也具有相应的奇偶性注意事项：在计算二重积分时，需要注意被积函数的奇偶性，以便正确地计算二重积分的结果奇函数与偶函数的定义：奇函数是指对于定义域内 的 任 意 x，都有 f(-x)=-f(x)的函数；偶函数是指对于定义域内的 任 意 x，都 有 f(-x)=f(x)的函数奇偶性与积分结果的关系：当被积函数为奇函数时，二重积分的结果为0；当被积函数为偶函数时，二重积分的结果为该函数在定义域内的一半l极限的存在性：二重积分中的被积函数在积分区域内的某些点可能不存在极限l极限的求解：在二重积分中，需要特别注意被积函数的极限求解方法l极限的判断：对于二重积分中的被积函数，需要根据其性质判断其在积分区域内的极限是否存在l极限的应用：二重积分中的极限问题可以应用于一些特殊函数的积分计算中二重积分的定义和性质二重积分的计算方法二重积分的应用二重积分与定积分的联系与区别l物理应用：解决质点在力场中的运动问题，如弹性力学、流体力学等。l工程应用：计算曲面的面积、体积和质量，如建筑设计、机械制造等。l经济应用：分析经济现象中的最优化问题，如资源分配、生产计划等。l金融应用：评估风险和收益，如投资组合优化、风险管理等。