高数课件D11映射与函数.pptx

,01 单击添加目录项标题02 映射的概念03 函数的定义与表示04 函数的运算05 函数的图像06 函数的极限与连续性添加标题添加标题添加标题添加标题映射通常用f(x)表示，其中x是原集合的元素，f(x)是目标集合的元素映射是一种数学概念，表示两个集合之间的对应关系映射可以是一对一、多对一、一对多或多对多的关系映射可以用函数、图、表格等方式表示映射是一个集合到另一个集合的映射映射是单射、满射或双射映射可以表示为函数映射可以表示为集合间的关系函数的表示方法包括解析式、图像、表格等函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等函数是一种映射关系，将输入值映射到输出值函数的定义域是输入值的集合，值域是输出值的集合l函数的定义：函数是一种映射，将输入值映射到输出值l函数的表示方法：函数可以表示为f(x)=y，其中x是输入值，y是输出值l函数的图像：函数可以通过图像来表示，图像上的每个点都表示一个输入值和对应的输出值l函数的性质：函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，这些性质可以通过图像来观察和判断l单调性：函数在某区间内，随着自变量的增加，函数值也增加，则称函数在该区间内是单调递增的；反之，则称函数在该区间内是单调递减的。l奇偶性：如果函数f(x)满足f(-x)=f(x)，则称函数f(x)是偶函数；如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)是奇函数。l周期性：如果存在一个非零常数T，使得f(x+T)=f(x)对任意x都成立，则称函数f(x)是周期函数，T称为函数的周期。l有界性：如果存在一个正数M，使得|f(x)|M对任意x都成立，则称函数f(x)是有界的。乘法：f(x)*g(x)=h(x)加法：f(x)+g(x)=h(x)减法：f(x)-g(x)=h(x)除法：f(x)/g(x)=h(x)定义：由两个函数复合而成的函数运算法则：复合函数的运算法则包括加法、乘法、除法等应用：复合函数在数学、物理、工程等领域有广泛应用性质：复合函数的定义域、值域、单调性等性质取决于两个函数的性质定义：如果存在一个函数f(x)，使得f(f(x)=x，那么f(x)的反函数为f(-1)(x)性质：反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域求法：通过交换x和y，并解出y，得到反函数的表达式应用：反函数在解决实际问题中具有重要作用，如求最大值、最小值、解方程等确定函数表达式选择合适的坐标系确定函数的定义域和值域绘制函数图像，注意函数的连续性和光滑性标注关键点和特殊点，如极值点、拐点等检查图像的准确性和完整性，确保与函数表达式相符旋转变换：函数图像绕原点旋转平移变换：函数图像沿x轴或y轴移动伸缩变换：函数图像沿x轴或y轴拉伸或压缩对称变换：函数图像关于x轴或y轴对称复合变换：以上几种变换的组合理解函数的定义域和值域掌握函数的图像特征，如对称性、周期性、单调性等学会使用图像分析工具，如MATLAB、Python等理解图像与函数关系的重要性，如图像可以直观地反映函数的性质和变化规律极限的定义：函数在某点或某区间上的极限是指函数在该点或该区间上的值无限接近于某个常数极限的存在性：函数在某点或某区间上的极限存在，是指函数在该点或该区间上的值无限接近于某个常数极限的性质：极限具有保号性、保序性、保连续性等性质极限的应用：极限在微积分、函数分析、数值分析等领域有着广泛的应用l连续性定义：函数在某点处连续，如果该点处的极限值等于该点的函数值l连续性的重要性：连续性是函数分析中的重要概念，是研究函数性质的基础l连续性的性质：连续函数具有许多良好的性质，如可微性、可积性等l连续性的应用：在解决实际问题时，连续性是判断函数性质的重要依据l间断点的定义：函数在某点处不连续，称为间断点l间断点的分类：可数间断点、跳跃间断点、无穷间断点、振荡间断点等l间断点的判断：通过极限、导数、连续性等方法判断l间断点的应用：在解决实际问题中，如物理、工程等领域，需要判断函数的间断点，以确定函数的性质和变化趋势。导数：函数在某一点的切线斜率导数的性质：连续性、可微性、可积性导数的计算方法：极限法、微分法、积分法导数的应用：求极值、求最值、求拐点、求渐近线l基本导数公式：如sin(x)的导数为cos(x)，cos(x)的导数为-sin(x)等l导数四则运算法则：如(u+v)=u+v，(uv)=uv+uv等l复合函数求导法则：如(f(g(x)=f(g(x)*g(x)等l隐函数求导法则：如y=f(x)，则y=f(x)/f(x)等l参数方程求导法则：如x=f(t)，y=g(t)，则x=f(t)，y=g(t)等求极限：导数可以用来求函数的极限求最大值和最小值：导数可以用来求函数的最大值和最小值求导数：导数可以用来求函数的导数求渐近线：导数可以用来求函数的渐近线求微分：导数可以用来求函数的微分求积分：导数可以用来求函数的积分