高等数学课件D18函数的连续性与间断点.pptx

汇报人：CONTENTS目录01.单击添加目录标题02.函数的连续性03.函数的间断点04.连续函数与间断点的关系连续性的定义函数在某点连续，是指在该点附近的函数值与该点函数值相等连续性是函数最重要的性质之一，决定了函数的光滑程度连续性是微积分的基础，是研究函数极限、导数、积分等概念的前提连续性是函数分析、微分方程、复变函数等数学分支的重要工具连续性的性质连续性：函数在某点处连续，意味着在该点处函数值与极限值相等连续函数的性质：连续函数在其定义域内是连续的，即函数值与极限值相等间断点：函数在某点处不连续，意味着在该点处函数值与极限值不相等间断点的分类：间断点可以分为第一类间断点和第二类间断点，其中第一类间断点又可以分为跳跃间断点和可去间断点。连续函数的基本性质l连续函数在其定义域内是连续的l连续函数在其定义域内是单调的l连续函数在其定义域内是连续的l连续函数在其定义域内是连续的连续函数的图像l连续函数的图像是一条连续的曲线l连续函数的图像在每一点处都有定义l连续函数的图像在每一点处都有极限l连续函数的图像在每一点处都有导数间断点的定义可去间断点：函数在该点处左右极限相等，但函数值不等于极限值无穷间断点：函数在该点处极限不存在振荡间断点：函数在该点处左右极限相等，但函数值不等于极限值，且函数在该点处振荡间断点：函数在某点处没有定义的点间断点的分类：跳跃间断点、可去间断点、无穷间断点、振荡间断点跳跃间断点：函数在该点处左右极限不相等间断点的分类无穷间断点：函数在该点处无定义，且在该点附近的函数值也无限可去间断点：函数在该点处有定义，但函数值在该点处不连续跳跃间断点：函数在该点处无定义，但在该点附近的函数值存在跳跃振荡间断点：函数在该点处无定义，但在该点附近的函数值存在振荡间断点的性质间断点分为第一类间断点和第二类间断点第二类间断点包括无穷间断点和振荡间断点间断点的存在会影响函数的连续性第一类间断点包括跳跃间断点和可去间断点判断间断点的方法积分法：通过计算函数在某点的积分来判断是否间断级数法：通过计算函数在某点的级数来判断是否间断极限法：通过计算函数在某点的极限来判断是否间断导数法：通过计算函数在某点的导数来判断是否间断连续函数与可去间断点连续函数：在定义域内任意一点处都有极限，且极限值等于函数值可去间断点：函数在某点处无定义，但在该点附近的极限存在且等于函数值关系：可去间断点是连续函数的一种特殊情况，即函数在该点处无定义，但在该点附近的极限存在且等于函数值例子：f(x)=x2，在x=0处无定义，但在x=0附近的极限存在且等于0，因此x=0是可去间断点，f(x)在x=0处连续连续函数与跳跃间断点关系：跳跃间断点是连续函数的一种特殊情况，即函数在某点处不连续，但左右极限都存在连续函数：在定义域内，函数值是连续的，没有间断点跳跃间断点：函数在某点处不连续，但左右极限都存在例子：f(x)=x2，在x=0处是跳跃间断点，因为f(0)=0，但f(x)在x=0处的左右极限都存在，且相等。连续函数与无穷间断点连续函数：在定义域内任意点处都有极限，且极限值等于函数值无穷间断点：函数在某点处没有极限，或者极限值不等于函数值关系：连续函数在其定义域内没有无穷间断点，无穷间断点不是连续函数的一部分例子：sin(1/x)在x=0处是无穷间断点，因为其极限不存在连续函数与振荡间断点l连续函数：在定义域内，函数值是连续的，没有间断点l振荡间断点：函数值在间断点处发生剧烈变化，但函数值在间断点两侧的极限存在且相等l振荡间断点的特点：函数值在间断点处发生剧烈变化，但函数值在间断点两侧的极限存在且相等l振荡间断点的应用：在工程、物理等领域，振荡间断点可以用来描述某些物理现象，如电磁波、声波等。汇报人：