压轴冲刺导数专题28　单变量恒成立之参变分离后导函数零点可猜型（教师版).pdf

专题专题 28单变量恒成立之参变分离后导函数零点可猜型单变量恒成立之参变分离后导函数零点可猜型【方法总结】【方法总结】单变量恒成立之参变分离法参变分离法是将不等式变形成一个一端是 f(a)，另一端是变量表达式 g(x)的不等式后，若 f(a)g(x)在 xD 上恒成立，则 f(a)g(x)max；若 f(a)g(x)在 xD 上恒成立，则 f(a)g(x)min特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数 a，另一端是变量表达式 g(x)的不等式后，若 ag(x)在 xD 上恒成立，则 ag(x)max；若 ag(x)在 xD 上恒成立，则 ag(x)min利用分离参数法来确定不等式 f(x，a)0(xD，a 为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为 f1(a)f2(x)或 f1(a)f2(x)的形式(2)求 f2(x)在 xD 时的最大值或最小值(3)解不等式 f1(a)f2(x)max或 f1(a)f2(x)min，得到 a 的取值范围【例题选讲】【例题选讲】例例 1已知函数 f(x)exxlnx，g(x)extx2x，tR，其中 e 为自然对数的底数(1)求函数 f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若 g(x)f(x)对任意的 x(0，)恒成立，求 t 的取值范围解析解析(1)由 f(x)exxln x，知 f(x)eln x1，则 f(1)e1，而 f(1)e，则所求切线方程为 ye(e1)(x1)，即 y(e1)x1(2)f(x)exxln x，g(x)extx2x，tR，g(x)f(x)对任意的 x(0，)恒成立等价于 extx2xexxln x0 对任意的 x(0，)恒成立，即 texxexxln xx2对任意的 x(0，)恒成立令 F(x)exxexxln xx2，则 F(x)xexex2exxln xx31x2(exe2exxln x)，令 G(x)exe2exxln x，则 G(x)ex2(xexex)x21xex(x1)2exxx20 对任意的 x(0，)恒成立G(x)exe2exxln x 在(0，)上单调递增，且 G(1)0，当 x(0，1)时，G(x)0，当 x(1，)时，G(x)0，即当 x(0，1)时，F(x)0，当 x(1，)时，F(x)0，F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，F(x)F(1)1，t1，即 t 的取值范围是(，1例例 2已知函数 f(x)(x2)ex12ax2ax(aR)(1)当 a0 时，求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；关注微信公众号雪豹数学，可以下载更多整套 word 资料(2)当 x2 时，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围解析(1)当 a0 时，f(x)(x2)ex，f(0)(02)e02，f(x)(x1)ex，kf(0)(01)e01，所以切线方程为 y2(x0)，即 xy20(2)方法一()f(x)(x1)(exa)，当 a0 时，因为 x2，所以 x10，exa0，所以 f(x)0，则 f(x)在2，)上单调递增，f(x)f(2)0 成立当 0e2时，在区间(2，ln a)上，f(x)0，所以 f(x)在(2，ln a)上单调递减，在(lna，)上单调递增，f(x)0 不恒成立，不符合题意综上所述，a 的取值范围是(，e2方法二当 x2 时，f(x)0 恒成立，等价于当 x2 时，(x2)ex12ax2ax0 恒成立即(12x2x)a(x2)ex在2，)上恒成立 当 x2 时，0a0，所以 aR当 x2 时，12x2x0，所以 a(x2)ex12x2x2exx恒成立设 g(x)2exx，则 g(x)2(x1)exx2，因为 x2，所以 g(x)0，所以 g(x)在区间(2，)上单调递增所以 g(x)g(2)e2，所以 ae2 综上所述，a 的取值范围是(，e2【对点精练】【对点精练】1已知函数 f(x)ln xax(aR)(1)讨论 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)ex11x1 恒成立，求实数 a 的取值范围1解析(1)f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)1aln xx2令 f(x)0，得 1aln x0，解得 0 xe1a令 f(x)0，得 1aln xe1a故 f(x)的单调递增区间为(0，e1a)，单调递减区间为(e1a，)(2)因为 f(x)ex11x1 恒成立，即ln xaxex11x1 对(0，)恒成立，所以 axex1xln x1 对(0，)恒成立，关注微信公众号雪豹数学，可以下载更多整套 word 资料令 g(x)xex1xln x1，则 g(x)ex1xex111x(x1)(ex11x)当 x(0，1)时，g(x)0，所以 g(x)在(1，)上单调递增故当 x1 时，g(x)取到最小值 g(1)1，所以 a1故实数 a 的取值范围是(，12函数 f(x)lnx12x2ax(aR)，g(x)ex32x2(1)讨论 f(x)的极值点的个数；(2)若对于任意 x(0，)，总有 f(x)g(x)成立，求实数 a 的取值范围2解析：(1)由题意得 f(x)1xxax2ax1x(x0)，令 f(x)0，即 x2ax10，a24当 a240，即2a2 时，x2ax10 对 x0 恒成立，即 f(x)x2ax1x0 对 x0 恒成立，此时 f(x)没有极值点当 a240，即 a2 时，若 a2，设方程 x2ax10 的两个不同实根为 x1，x2，不妨设 x10，x1x210，故 x2x10，当 0 xx2时，f(x)0；当 x1xx2时 f(x)2，设方程 x2ax10 的两个不同实根为 x3，x4，则 x3x4a0，故 x30，x40 时，f(x)0，故函数 f(x)没有极值点综上，当 a0，所以 aexx2ln xx对于x0 恒成立，设(x)exx2ln xx(x0)，(x)(ex2x1x)x(exx2ln x)x2ex(x1)ln x(x1)(x1)x2，x0，当 x(0，1)时，(x)0，(x)单调递增，(x)(1)e1，ae1，即实数 a 的取值范围是(，e13设函数 f(x)lnxax(a 为常数)(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)不等式 f(x)1 在 x(0，1上恒成立，求实数 a 的取值范围3解析(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)ax21xxax2，当 a0 时，又 x0，xa0，f(x)0，f(x)在定义域(0，)上单调递增；当 a0 时，若 xa，则 f(x)0，f(x)单调递增；若 0 xa，则 f(x)0 时，f(x)在区间(0，a)上单调递减，在区间(a，关注微信公众号雪豹数学，可以下载更多整套 word 资料)上单调递增(2)f(x)1axlnx1axln x1axln xx 对任意 x(0，1恒成立令 g(x)xln xx，x(0，1则 g(x)ln xx1x1ln x0，x(0，1，g(x)在(0，1上单调递增，g(x)maxg(1)1，a1，故 a 的取值范围为1，)4已知函数 f(x)1ln xx(1)若函数 f(x)在区间(a，a12)上存在极值，求正实数 a 的取值范围；(2)当 x1 时，不等式 f(x)kx1恒成立，求实数 k 的取值范围4解析解析(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)11ln xx2ln xx2，令 f(x)0，得 x1当 x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以 x1 为函数 f(x)的极大值点，且是唯一的极值点，所以 0a1a12，故12a1，即实数 a 的取值范围为(12，1)(2)由题意得，当 x1 时，k(x1)(1ln x)x恒成立，令 g(x)(x1)(1ln x)x(x1)，则 g(x)(1ln x11x)x(x1)(1ln x)x2xln xx2再令 h(x)xln x(x1)，则 h(x)11x0，所以 h(x)h(1)1，所以 g(x)0，所以 g(x)在1，)上单调递增，所以 g(x)g(1)2，故 k2，即实数 k 的取值范围是(，2