精品解析：江西省南昌市等5地2022-2023学年高二下学期期中数学试题（解析版）.pdf

2023 年高二年级下学期期中调研测试年高二年级下学期期中调研测试数学数学注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动如需改动，用橡皮擦干净后用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号.回答非选择题时回答非选择题时，将答案写在答题卡上将答案写在答题卡上.写在本试卷上写在本试卷上无效无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.已知数列 na为 1，4，9，16，25，36，则数列 na的一个通项公式是（）A.2(1)nnB.12(1)nnC.13(1)nnD.3(1)nn【答案】B【解析】【分析】根据观察法，即可求解.【详解】由题意知，数列：1，4，9，16，25，的通项公式为2n，所以数列na：1,4,9,16,25,36,的通项公式为12(1)nn.故选：B.2.某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段12,t t，23,t t，34,t t，14,t t上的平均速度的大小分别为1v，2v，3v，4v，则平均速度最小的是（）A.1vB.2vC.3vD.4v【答案】C【解析】【分析】根据平均速度的定义和两点求斜率公式，可得平均速度为经过两点所对应直线的斜率，结合图形即可求解.【详解】由题意知，汽车在时间12,t t，23,t t，34,t t，14,t t上的平均速度的大小分别为1v，2v，3v，4v，设路程y与时间t的函数关系为()yf t，则21121()()f tf tvtt，即为经过点1122(,(),(,()tf ttf t的直线的斜率1k，同理2v为经过点2233(,(),(,()tf ttf t的直线的斜率2k，3v为经过点3344(,(),(,()tf ttf t的直线的斜率3k，4v为经过点1144(,(),(,()tf ttf t的直线的斜率4k，如图，由图可知，3k最小，即3v最小.故选：C.3.已知等差数列 na的前 n 项和为nS，若3710aa，则9S（）A.25B.45C.50D.90【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质和求和公式可求出结果.【详解】根据等差数列的性质可得193710aaaa，所以1999()9 104522aaS.故选：B4.已知函数()f x的导函数为()fx，若3()3(2)ln2f xxfxx，则(2)f（）A.1B.1C.12D.12【答案】A【解析】【分析】求出函数的导函数，再令2x 计算可得.【详解】因为3()3(2)ln2f xxfxx，所以13()3(2)2fxfx，所以 1323222ff，解得 21f .故选：A5.已知等比数列 na的前n项和为nS，若612S，344a a，则123456111111aaaaaa（）A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】【分析】根据等比数列下标和性质得到123456111111aaaaaa16253434aaaaaaa a，再代入计算即可.【详解】123456111111aaaaaa162534111111aaaaaa162534162534aaaaaaa aa aa a16253434aaaaaaa a6341234Sa a.故选：B6.“燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下，运动者根据训练者的指引有节奏的踩踏单车，进而达到燃脂目的的运动，由于其操作简单，燃脂性强，受到广大健身爱好者的喜爱.已知某一单车爱好者的骑行速度 v（单位：km/h）随时间 t（单位：h）变换的函数关系为2()15ettv t，1,22t，则该单车爱好者骑行速度的最大值为（）A.2415eB.2215eC.215eD.12115e【答案】C【解析】【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的最小值，即可得解.【详解】因为2()15ettv t，1,22t，所以22()ettv t，所以1,12t时()0v t，当1,2t时()0v t，所以 v t在1,12上单调递增，在1,2上单调递减，所以 max5121ev tv.故选：C7.已知ln6ln5a，15b，1tan5c，则 a，b，c 的大小关系为（）A.bacB.bcaC.cabD.cba【答案】D【解析】【分析】构造函数()ln(1)f xxx，利用导数可得()f x在(1,0)上为增函数，在(0,)上为减函数，由此可得ab；构函数()tan(0)2g xxxx，利用导数可得()g x在(0,)2上为减函数，由此可得bc，从而可得答案.【详解】61ln6ln5lnln(1)55a，15b，11ln(1)55ab，令()ln(1)f xxx，则(0)0f，1()111xfxxx ，当10 x 时，()0fx，当0 x 时，()0fx，所以()f x在(1,0)上为增函数，在(0,)上为减函数，所以1()(0)05ff，即11ln(1)55ab0，ab；11tan55bc，令()tan(0)2g xxxx，2coscossin(sin)()1cosxxxxg xx 211cos x，因为02x，所以()0g x，所以()g x在(0,)2上为减函数，又(0)0g，所以 1005gg，即11tan055bc，bc，综上所述：abc.故选：D8.如图，已知正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.记某勾股树中最大正方形的边长为1a，第二大的正方形的边长为2a以此类推，构成数列 na，且11132a，若数列 nb满足22124018nnbnna，则使得1kkbb成立的k的值有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】B【解析】【分析】依题意可得 na是以1a为首项，22为公比的等比数列，再根据11132a求出1a，即可得到 na的通项公式，从而得到 nb的通项，由1kkbb得到10kkbb，解得k的取值范围，即可得解.【详解】依题意可得 na是以1a为首项，22为公比的等比数列，所以1122nnaa，又11132a，所以1111013222aa，解得11a，所以122nna，所以21 1212122nnna，因为22124018nnbnna，所以212092nnnnb，因为1kkbb，所以222111209120911280222kkkkkkkkkkkbb，又20k，所以21128470kkkk，解得47k，又N*k，所以满足条件的k的取值集合为5,6.故选：B二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下列运算正确的是（）A.ln10(lg)xx B.22(e)2exx C.32(cos)3sinxxxxD.32112xx【答案】BD【解析】【分析】根据求导公式、求导法则和简单复合函数的求导结合选项，依次计算即可求解.【详解】A：1(lg)ln10 xx，故 A 错误；B：22(e)2exx，故 B 正确；C：332(cos)()(cos)3sinxxxxxx，故 C 错误；D：132211()()2xxx，故 D 正确.故选：BD.10.已知等比数列 na的前 n 项和为nS，公比为q，若232S，6398SS，则下列说法正确的是（）A.112a B.12q C.7164a D.53116S【答案】BCD【解析】【分析】根据等比数列的通项公式列式求出1a和q，可判断 A 和 B，再求出7a和5S和判断 C 和 D.【详解】由232S，得13(1)2aq，由6398SS，得2345121(1)9(1)8aqqqqqaqq，得3918q，得318q，得12q，故 B 正确；将12q 代入13(1)2aq，得1321112a，故 A 不正确；667111()264aa q，故 C 正确；51511(1)3132111612aqSq，故 D 正确.故选：BCD11.已知函数2()e2e12xxf xx，则下列说法正确的是（）A.曲线()yf x在0 x 处的切线与直线120 xy垂直B.()f x在(2,)上单调递增C.()f x的极小值为3 12ln3D.()f x在2,1上的最小值为3 12ln3【答案】BC【解析】【分析】求出函数的导函数，求出 0f，即可判断 A，求出函数的单调区间，即可判断 B、C、D.【详解】因为2()e2e12xxf xx，所以2()2e2e122 e3e2xxxxfx，所以 012f ，故 A 错误；令()0fx，解得ln 3x，所以 f x的单调递增区间为ln3,，而2,ln3,，所以()f x在(2,)上单调递增，故 B 正确；当ln3x 时 0fx，所以 f x的单调递减区间为,ln3，所以 f x的极小值为ln33 12ln3f，故 C 正确；()f x在2,1上单调递减，所以最小值为 21e2e 12f，故 D 错误；故选：BC12.已知数列 na的前 n 项和为nS，且11a，20243035a，23nnaa，则下列说法正确的是（）A.1357935aaaaaB.数列16na是等比数列C.68a D.20030000S【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，数列 na隔项成等差，通过分奇偶，求出通项公式，即可逐一验证各项正误.【详解】解：根据23nnaa，得202421011 3aa，解得：22a，所以，当 n 为偶数时，24232363(1)22nnnnnaaaa，同理，当 n 为奇数时，241131363(1)22nnnnnaaaa，对于 A,1357914710 1335aaaaa,故 A 正确，对于 B,若数列16na是等比数列,即要求数列 na为等差数列，根据上述结论，数列 na不为等差数列，故 B 错误.对于 C,63 3 18a ,故 C 正确，对于 D,20013571992468200()()Saaaaaaaaaa(1 47 10 13298)(25 8 11299)100(1 298)100(2299)3000022,故 D 正确，故选：ACD.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知首项为12的数列 na满足112nnnaaa，则3a _.【答案】193【解析】【分析】根据递推公式计算可得.【详解】因为112a，112nnnaaa，所以121123aaa，32211923aaa.故答案为：19314.若函数 322fxxaxax存在两个极值，则实数a的取值范围是_.【答案】,06,【解析】【分析】求出函数的导函数，依题意可得方程23220 xaxa有两不相等实数根，则0，即可求出参数的取值范围.【详解】函数 322fxxaxax的定义域为R，且 2322fxxaxa，因为函数 322fxxaxax存在两个极值，所以 0fx即23220 xaxa有两不相等实数根，即224 3 20aa ，解得6a 或a和 0fx，求函数的单调区间.【小问 1 详解】13f，2610fxxx，14f 所以函数 yf x在 1,1f处的切线方程为341yx，即切线方程为410 xy；【小问 2 详解】2610235fxxxxx，当()0fx，解得：0 x 或53x，当 0fx，解得：503x，所以函数的单调递增区间是,0和5,3，单调递减区间是50,3.19.已知数列 na的前 n 项和为nS，且2321nnSn.（1）求数列 na的通项公式；（2）若122 3nnnnbaa，求数列 nb的前 n 项和nT.【答案】（1）131nna；（2）111231nnT.【解析】【分析】（1）根据nS与na的关系即可求解数列的通项公式；（2）由（1）可得1113131nnnb，结合裂项相消求和法即可求解.【小问 1 详解】2321nnSn，当1n 时，112232 10Sa ，解得10a.当2n时，112321nnSn，-，得1123322 32nnnna，所以131nna，又10a，符合上式，故131nna.【小问 2 详解】由（1）知131nna，则11231,31nnnnaa，所以11122 32 311313131 31nnnnnnnnnbaa，则12nnTbbb12231111111313131313131nn11111113131231nn.20.已知函数2()2ln(3)f xxxax.（1）若0a，求()f x的极值；（2）若3a，()f x恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值为1 2ln3，无极大值；（2）,22ln6 【解析】【分析】（1）利用导数研究函数()f x的单调性，结合极值的定义即可求解；（2）利用导数研究函数()f x的单调性，求出min()fx.由题意可得min()f x在(0,)上恒成立，即可求解.【小问 1 详解】当0a 时，2()2ln(3)(0)f xxx x，则222(1)()2xfxxxx，令()001fxx，令()01fxx，所以函数()f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，故函数()f x在1x 处取得极小值，且极小值为(1)1 2ln3f，无极大值.【小问 2 详解】当3a 时，2()2ln(3)3(0)f xxxx x，则2(21)(2)()23xxfxxxx，令()002fxx，令()02fxx，所以函数()f x在(0,2)上单调递减，在(2,)上单调递增，故函数()f x在2x 处取得极小值，即为最小值，且最小值为(2)22ln6f .又()f x恒成立，所以min()f x在(0,)上恒成立，所以22ln6，即实数的取值范围为(,22ln6 .21.已知正项等差数列 na的前 n 项和为nS，其中24nnaa，2224(1)(1)Sa.（1）求数列 na的通项公式及nS；（2）若134nnnba，求数列 nb的前 n 项和nT.【答案】（1）21nan，2nSn n；（2）3364 294nnTn【解析】【分析】（1）根据条件，列出首项和公差的方程组，即可求解；（2）由（1）可知，13214nnbn，再利用错位相减法求和.【小问 1 详解】设等差数列的首项为1a，公差为d，则224nnaad，则2d，因为2224(1)(1)Sa，所以2114 233aa，化简为211230aa，解得：13a 或11a （舍），所以31221nann，32122nnnSn n；【小问 2 详解】11332144nnnnban，01213333357.214444nnTn 34nT 1233333357.214444nn 两式相减得121333332.2144444nnnTn，133144332213414nnn 39294nn3364 294nnTn22.已知函数()exf xxa.（1）讨论函数()f x在2,1上的零点个数；（2）当0a 且(1,0)(0,)x 时，记2()ln(1)()1f xxM xxx，探究()M x与 1 的大小关系，并说明理由.【答案】（1）答案见解析（2）()1M x，理由见解析【解析】【分析】（1）求导，得到函数单调性和极值情况，并结合端点值大小，分类讨论得到函数的零点个数；（2）判断出()1M x，不等式同构变形得到ln11e1e1lnxxxx，构造 e1xh xx，得到其单调性，并构造 ln1t xxx的单调性，证明出结论.【小问 1 详解】()1exfxx，2,1x，当2 1x时，()0fx，当11x 时，()0fx，故 f x在2,1上单调递减，在1,1上单调递增，又1(1)efa，2(2)2efa，(1)efa，其中22eeaa，若1(1)e0fa，即1ea 时，f x零点个数为 0，若1(1)e0fa，即1ea 时，f x零点个数为 1，若12(1)e0(2)e0fafa ，即12eea 时，f x零点个数为 2，若2(1)e0(2)e0fafa，即2eea时，f x零点个数为 1，若(1)e0fa，即ea 时，f x零点个数为 0，综上：当1ea 或ea 时，f x零点个数为 0，当1ea 或2eea时，f x零点个数为 1，当12eea 时，f x零点个数为 2.【小问 2 详解】()1M x，理由如下：2ln(1)()1exxM xx，(1,0)(0,)x，当1,0 x 时，ln10 x，故0ln1xx，当0,x时，ln10 x，故0ln1xx，要证21eln(1)1xxx，即证1e1lnxxxx，其中ln111lneln1xxxx，故即证ln11e1e1lnxxxx，令 e1xh xx，,00,x，即证 ln1h xhx，21eexxhxxx，令 1eexxxx，则 exxx，当0 x 时，e0 xxx，当,0 x 时，e0 xxx，故 1eexxxx在,0 x 上单调递减，在0,x上单调递增，故 00 x在,00,x 上恒成立，所以 0h x在,00,x 上恒成立，则 e1xh xx在,0,0,上单调递增，则ln1xx，令 ln1t xxx，(1,0)(0,)x，1111xtxxx，当0 x 时，0tx，当1,0 x 时，0tx，故 ln1t xxx在1,0 x 上单调递减，在0,x上单调递增，故 00t xt，即ln1xx，结论得证.【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现ex与ln x，通常使用同构来进行求解，本题难点是1e1lnxxxx变形得到ln111lneln1xxxx，从而构造 e1xh xx进行求解.