三诊理科数学答案.pdf
高三三诊（理数）参考答案第 1页共 6 页泸州市高泸州市高 2021 级第三次教学质量诊断性考试级第三次教学质量诊断性考试数学（理科）参考答案及评分意见评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：一、选择题：题号题号123456789101112答案答案DBCCCAABBBDC二、填空题：二、填空题：132；143p；158；1617三、解答题：三、解答题：17解：（I）因为底面 ABCD 是矩形，AC 与 BD 交于点 O，所以 O 为 AC 中点，1 分点 E 是棱 PA 的中点，F 是棱 PB 的中点，所以 OE 为ACP的中位线，OF 为BDP的中位线，所以/OECP，/OFDP，2 分因为OE 平面DCP，PC 平面DCP，所以/OE平面DCP，3 分因为OF 平面DCP，DP 平面DCP，所以/OF平面DCP，4 分而OEOFO，OE 平面OEF，OF 平面OEF，所以平面/OEF平面 PCD；5 分（II）解法一：分别取 AB，BC 中点 G、H，以 OG，OH，OP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则点(3,1,0)B，点(3,1,0)A，点(0,0,2 3)P，点31(,3)22E，点3 1(,3)22F，31(,3)22OE ，3 1(,3)22OF，6 分设平面 OEF 的法向量为(,)x y zm，则：313022313022xyzxyz，取(2,0,1)m，8 分(3,1,2 3)PA ，(3,1,2 3)PB ，设平面 PAB 的法向量为(,)x y zn，则：32 3032 30 xyzxyz，取(2,0,1)n，10 分所以2 2 1 13cos,|555 m nm nmn，二面角AEFO的余弦值为3512 分高三三诊（理数）参考答案第 2页共 6 页解法二：取 AB 中点 G，连接 PG 交 EF 于点 H，连接 OH，OG，因为PAPB，所以PGAB，即PHEF，6 分因为12OEPA，12OFPB，所以OEOF，7 分所以OHEF，OHG是二面角AEFO的平面角，8 分因为2 3OP，3OG，所以15PG，9 分所以152OH，10 分在OHG中，221515()()3322cos51515222OHG，所以二面角AEFO的余弦值为3512 分18解：（I）由题意，1sin6 32ABCSbcA，1 分所以sin12 3bcA，2 分ABC中，由余弦定理，有：222222()sin48sincos22sin24 3bcabcaAAAbcbcA，5 分cos0A，所以3tan2A；6 分（II）在ABC中，由（I）知：3tan2A，8 分则21sin7A，2 7cos7A，9 分因为7cos14C，所以3 21sin14C，所以sinsin()sincoscossinBACACAC2172 7 3 2137147142，10 分由正弦定理，有3 213142cb，所以73bc，又2112 37bc，所以12 7bc，11 分解得：2 7b，6c，所以222 76(7)2 67197BD 12 分19解：（I）由频率分布直方图可知，A 种型号的新能源汽车评估综合得分不低于 80 分的概率为：0.010200.2，1 分B 种型号的新能源汽车评估综合得分不低于 80 分的概率为：0.005 200.1，2 分所以X的所有可能值为 0，1，2，所以00.8 0.90.72P X，3 分10.2 0.90.8 0.10.26P X，4 分高三三诊（理数）参考答案第 3页共 6 页20.2 0.10.02P X，5 分所以X的分布列为：X012P0.720.260.02故X的数学期望0 0.72 1 0.262 0.020.3E X ；6 分（II）相关系数为：211122221111()()()()()()()()()nnniiiiiiiinnnniiiiiiiixxxxyyxxyyrxxxxyyyy 9 分2121()()niiniixxbyy 10 分2222xxyynssbbnss，11 分所以214.74.70.940.75505r，故y与x线性相关很强 12 分20解：（I）依据题意，直线 AB 的方程为1xyab，即0bxayab，1 分所以22222125512abbaba，解得：21ab，3 分椭圆E的方程为2214xy；4 分（II）解法 1：M，C，D 三点的横坐标成等差数列，理由如下：由题意知，直线 MN 的斜率存在且不为 0，直线过点(2,1)P，所以设直线MN：1(2)yk x，5 分联立方程组221(2)44yk xxy 可得：222(14)8(12)16160kxkk xkk，2228(12)4(14)16)640(16kkkkkk，设11(,)M x y，22(,)N xy，则：212241681xxkkk，21 22116614kkx xk，6 分因为ABl：220 xy，所以11(2)2,Cyy，当20 x 时，BNl：0 x，此时点 M 坐标为8 3(,)5 5，点 C 坐标为4 3(,)5 5，满足12DCxxx；当20 x 时，因为BNl：2211yyxx，令1yy可得：12211Dyxxy，7 分因为BNl：2211yyxx，令1yy可得：12211Dyxxy，7 分高三三诊（理数）参考答案第 4页共 6 页下面证明：12DCxxx，8 分即证：121121441yxxyy，即证：121212(1)(1)(44(1)x yyxyy，9 分整理可得即证：222121 2(82)(42)16()kkxkkxkxx，(*)10 分由于22121 2)(82)(42)kkxkxxk x，2222221681616(82)()(42)1414kkkkkkkkkk11 分422264161614kkkk，所以上式(*)成立，原式得证.12 分解法 2：M，C，D 三点的横坐标成等差数列，理由如下：设直线MN：xmyn，因为直线过点(2,1)P，所以2mn，联立方程组2244xmynxy可得：2224)0(24mymnyn，222222444)4)16(4()0(m nmnmn，设11(,)M x y，22(,)N xy，则：12224mnyym，21 2244ny ym，5 分因为ABl：220 xy，所以11(2)2,Cyy，因为BNl：2211yyxx，令1yy可得：12211Dyxxy，6 分当20 x 时，BNl：0 x，此时点 M 坐标为8 3(,)5 5，点 C 坐标为4 3(,)5 5，满足12DCxxx；当20 x 时，因为BNl：22211()0yyxxx，令1yy可得：12211Dyxxy，7 分下面证明：12DCxxx，8 分即证：121121441yxxyy，9 分即证：121212()(1)(1)(44)(1)mynyyxyy，整理可得即证：1212(24)(4)(240)my ynmyyn，10 分即证：22242(24)(4)24044nmnmnmnmm，整理可得即证：224848()0mmnnmn，11 分即证：2()2()0mnmn，因为2mn，所以上式成立，原式得证.12 分解法 3：M，C，D 三点的横坐标成等差数列，理由如下：设11(,)M x y，2212(,)(1,1)N xyyy，因为/MDx轴，所以1)(,DD xy，1)(,CC xy，5 分设直线MNl：(1)1mxn y，因为直线MNl过点(2,1)P，所以21m，12m，6 分由方程组221044mxn yxy可得：当1y 时，2()848011xxmnyy，7 分高三三诊（理数）参考答案第 5页共 6 页所以12128411xxmyy ，8 分又因为 B，D，N 三点共线，所以22111Dxxyy，9 分所以111411Dxxyy，即114(1)Dxxy，10 分因为点1)(,CC xy在直线AB：12xy上，所以112Cxy ，11 分14()2CDxxx ，即12DCxxx，所以 M，C，D 三点的横坐标成等差数列 12 分解法 4：M，C，D 三点的横坐标成等差数列，理由如下：设直线MN:xmyn，因为直线过点(2,1)P，所以2mn，5 分联立方程组2244xmynxy可得：222(4)240mymnyn，6 分设11(,)M x y，2212(,)(1,1)N xyyy，则：12224mnyym，212244ny ym，8 分所以12122121212(1)(1)8()411(1)(1)()xxx yxymnyyyymn，9 分又 B，D，N 三点共线，所以22111Dxxyy，即1111242111CDABxxxyyky ，11 分所以12DCxxx，所以 M，C，D 三点的横坐标成等差数列12 分21解：（I）因为()e(1)xfxax，1 分由()0fx得1x ，所以()f x在(,1)上单减，在(1,)上单增，(1)1eaf ，2 分又当x 时，()1f x ；x 时，()f x ，3 分所以函数()f x有唯一零点；4 分（II）由（I）知()f x在(0,)上存在唯一零点，且00e10 xax，5 分（1）当0(0,)xx时，()0f x，由|()|lnf xxxx得：e1lnxaxxxx，6 分即1e1 ln0 xaxx，设1()e1 lnxg xaxx ，则211()e0 xg xaxx，7 分()g x在0(0,)x上单减，所以00001()()e1 lnxg xg xaxx =01 ln0 x，解得010ex；8 分（2）当0,)xx时，由|()|lnf xxxx得：e1lnxaxxxx，即1e1 ln0 xaxx，设1()e1 lnxh xaxx，9 分则211()exh xaxx，因为e10 xax，10 分高三三诊（理数）参考答案第 6页共 6 页所以()0h x，所以()h x在0,)x上单增，所以000001()()e1 ln1 ln0 xh xh xaxxx ，解得010ex；11 分综上知：0 x的取值范围是1(0,)e12 分22解：（）由1cossinxy 消得22(1)1xy，即2220 xyx，1 分将cosx，siny，222xy分别代入1C，2C得：1C的极坐标方程为2cos，3 分2C的极坐标方程为cos3 sin1；5 分（）设直线l的极坐标方程为，R，,6 3，6 分联立方程可得2cosA，1cos3sinB，7 分所以1|2coscos3sin|OAOB3cos3sin2 3sin()3，8 分又,6 3，则有2,323，9 分即3sin(),132，综上1|OAOB的取值范围为3,2 3 10 分23解：（）当2x 时，()6f xx即2226xxx，解得3x，故32x；1 分当21x时，()6f xx即2226xxx，所以46，则21x；2 分当1x 时，()6f xx即2226xxx，解得32x，故312x，3 分综上所述，原不等式的解集为3|32xx；5 分（）若2x，则()36xxf；若21x，则()43f xx ；若1x，则()33xfx，所以函数()f x的最小值3T，故3abc，6 分又 a，b，c为正数，则114114()3()()abcabcabc 7 分446bacacbabacbc8 分44622216b acacba bacbc，9 分当且仅当34ab，32c 时等号成立，所以114163abc10 分
