南化四小校内练习南京市22数理贯通计划加试题【教师版】.pdf

-1-2022 年南京外国语学校及南京一中数理贯通计划加试题（回忆版）年南京外国语学校及南京一中数理贯通计划加试题（回忆版）一、填空题 1.104 6a=，104 6b=+，则ab+=_.【解析】解：法一：不妨设()2amn=，()2bmn=+（mn），22102 6mnmn+=，解得：62mn=，2 6ab+=法二：0a，0b，0ab+，()22042 6abab+=+=+=2.224yxmxm=+，当21x 时，0y，求m的取值范围_.【解析】解：法一：该二次函数开口朝上，故要使得21x 时，0y 恒成立，仅需2x=及1x=，0y 成立即可，故()()22222401240mmmm+，解得：3m 法二：224yxmxm=+，()224yxmx=+，当21x 时，0y 当2x=时，0y=，0y 成立 当21x 时，20 x+，有()2240 xmx+恒成立，即242xmx+恒成立，2mx恒成立，3m -2-3.如图，在Rt ABC中，15AC=，20BC=，2AMCM=，CDAB，I为BCD的内心，求IM=_.【解析】解：过I作IPBC于P，IQAC于Q 15AC=，2AMCM=，5CM=，I为BCD的内心，由切线长定理可知：161220422BDCDBCCQIE+=，1220 16822CDBCBDCP+=2265IMMQCP=+=4.已知，180ABCBDC+=，4AB=，6BC=，5BD=，45AECE=，求CD为_.【解析】解：过A作AFBD交BC的延长线于F，AFBD，4=5FBAEBCCE=，DBCAFC=，6BC=，245BF=，180ABCBDC+=BDCABF=，又DBCAFC=，ABFCDB，BFABBDCD=，256CD=.5.已知212xxxxm+有实数解，求m的最大值_.【解析】解：212xxxxm+有实数解，221mxxxx+有解，即221mxxxx+的最大值 MIADCBEABCDPQBCDAIMFDCBAE-3-当1x 时，222135xxxxxx+=+当12x 时22521314xxxxxx+=+当2x 时222131xxxxxx+=+综上，m的最大值是54.6.在四边形ABCD中，ACCD=，60ACD=，1AB=，3BC=，求BD的最大值为_.【解析】解：将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 60到 AE，连接 EC，ACCD=，60ACD=，ACD是等腰三角形，同理ABE是等腰三角形，在ABD和AEC中，60ADACDABCAECABABAE=+=()ABDAEC SAS ECBD=ECBEBCABBC+=+BD的最大值为 4 7.已知a、b为方程2230 xxt+=的两根，求()()2252atb+的最小值是_.【解析】解：a、b为方程2230 xxt+=的两根 2225bbt+=+且2ab+=，3abt=()()()()22522525atbatbt+=+()()()25254tabtab=+()258t=+原方程有两个实数根，()4430t，4t ACDBEBCAD-4-()()2258189t+=，()()2252atb+的最小值是 4，在4t=时取到最小值.8.若一个直角三角形中两条直角边都是正数，且周长是面积的整数倍，则称其为“三角形”.则这样的“三角形”共有_个.【解析】解：设此直角三角形的两条直角边分别为：a，b()ab，且该三角形周长是面积的k倍.由题意得：2212ababkab+=，整理（移项，平方，约分）可得：()2480k abk ab+=()()448kakb=，k、a、b均为整数，4ka，4kb 均为整数，且44kakb，4841kakb=或 4442kakb=，（444kakb，不可能出现两负数相乘，积为 8 的情况）125kakb=或 86kakb=，1125kab=或 186kab=或 243kab=，故，本题答案为 3.二、解答题 1.已知对于任意实数a、b，都有222abab+，特别地，当a、b都为正数时，有2abab+.(1)已知()2211xxyxx+=，求y最小值为_.(2)已知436xy+=，求23xxy+最大值为_.(3)x、y都是正数，45xyxy+=，求xy+的最小值.【解析】解：(1)由题可知：()()21242413111xxxxyxxxx+=+1x，-5-()421371yxx+=当且仅当3x=时取等号.(2)由题可知：364yx=，()222363313xxyxxx+=+23xxy+最大值为 3.(3)45xyxy+=，4594011xyxx+=+，1x，()99152151111xyxxxx+=+=，当且仅当4x=时取等号 2.求证：数列 2,22,222,中一定有 2022 的倍数.【解析】解：该问题等价于求证：数列 1,11,111,中一定有 1011 的倍数.任意一个数除以 1011 的余数有 0 至 1010 这 1010 种情况，而数列 1,11,111,中有无数个数，由抽屉原理可知：数列 1,11,111,中必有两个数，对于 1011 同余.设这两个数分别为：11111a个与11111b个()ab，由同余定理可知：111011|1111111ba个个 而()1011,101n=，故()11011|1111a b个 命题得证 3.已知a，b为方程210 xx+=的解，1Sab=+，222Sab=+，333Sab=+，nnnSab=+，(1)求证：21nnnSSS=(2)求55151522 +的值.【解析】-6-解：(1)由题意得：210aa+=且10ab=，等式两边同乘2na，可得：120nnnaaa+=；同理可得：120nnnbbb+=；+，整理可得：21nnnSSS=(2)由题可知：152x=与152x+=恰为方程210 xx+=的两个解；555151522S +=34SS=1223SSSS=+1223SS=()1123 2SS=+165S=11=4.已知：底与腰之比为512的等腰三角形为黄金三角形，(1)如图，ABC即为黄金三角形尺规作图。已知2AB=，求AD长为_，ABC为_.【解析】解：由题可知：512ADACAB=，2AB=，51AD=，由黄金三角形性质可知：36ABC=(2)如图 2，即为正五边形尺规作图。求证：五边形(所作图形)即为正五边形.【解析】ABCD-7-解：设2OAr=，则OHr=，()51OGr=，()()2222514ABAGr=+102 5ABr=过O作OQAB交AB于Q，()512rOQ+=，51cos4OQAOQOA+=，过A作APBC交BC于P，设2ABr=，BPx=则()51ACr=,2CPrx=，()()()222225122rrxrx=解得：512xr+=36ABC=，51cos4BPABCAB+=O中，36AOQABC=，即72AOB=，ABBCCDDEEA=,圆内接五边形ABCDE为正五边形.(3)请用另一种方法尺规作图作出正五边形。简要叙述作图方法，无需作图。(借鉴(1)中的方法)过B作AB垂线，以B为圆心，AB长的一半为半径画弧，交AB垂线于一点G，连接AG，以G为圆心，BG长为半径画弧，交AG于点D 分别以A为圆心，AD、AB长为半径画弧，两弧交于点C，分别以A、B、C为圆心，AC长为半径画弧，交于E、F，五边形AFBEC即为正五边形.GMFHOACDBEQEBDCAOHFMGPCBAFEDCBGA