2024年中考数学专项复习第11章专题一元一次不等式（组）专题49 和不等式（组）有关的最值问题（解析版）.docx

专题49 和不等式（组）有关的最值问题1已知，且，则的最小值为(   )A9B10C11D12【答案】B【分析】先根据已知求出，结合求出，再把变形为进一步可得答案【详解】解：，故选：B.【点睛】本题主要考查了幂的乘方逆运算、解一元一次不等式，熟练掌握运算公式是解答本题的关键2关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值是（）A3B2C1D【答案】B【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的取值范围，进而求得最小值【详解】解：不等式组至少有5个整数解，不等式组解为：3axa设5个整数解分别为m2，m1，m，m+1，m+2，则，解得：，整数m的最小值为1，整数a的最小值为2，故选：B【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的取值范围是本题的关键3已知a，b为实数，且，小红和小慧分别得出自己的结论，小红：点必在第二象限：小慧：有最大值为3.则对于他们的说法你的判断是（    ）A两人说的都对B两个说的都不对C小红说的不对，小慧说的对D小红说的对，小慧说的不对【答案】C【分析】先由条件求得a和b的取值范围，然后判断小慧和小红的说法【详解】解：，解得：，点在第一、二象限，小红说的不对；，有最大值3，小慧说的对故选：C【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，不等式的性质，判断点所在的象限，解题的关键是利用消元法得到关于a或b的不等式，求得a和b的取值范围4已知方程组的解满足，则整数k的最小值为（   ）A-3B-2C-1D0【答案】C【分析】+得出，求出，根据已知得出不等式，求出不等式的解集，再求出答案即可【详解】，+得：，方程组的解满足，解得：，整数k最小值是，故选：C【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式等知识点，能得出关于k的不等式是解此题的关键第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5按照如图所示的程序进行运算时，发现输入的恰好经过次运算输出，则输入的整数的最小值是_【答案】11【分析】表示出第一次、第二次、第三次的输出结果，再由第三次输出结果可得出不等式，解出即可【详解】解：第一次的结果为：2x5，没有输出，则2x545，解得：x25；第二次的结果为：2（2x5）5=4x15，没有输出，则4x1545，解得：x15；第三次的结果为：2（4x15）5=8x35，输出，则8x3545，解得：x10，综上可得：10x15，所以输入的整数x的最小值是11，故答案为：11【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，得出不等式6已知关于x的不等式组的解集恰好只有一个整数解3，若a，b均为整数，则ab的最大值是_【答案】-20【分析】先解不等式组，再根据“恰只有一个整数解3”列不等式求解【详解】解：，解不等式组得，不等式组的解集恰好只有一个整数解3，解得：10a8，15b12，a+b的最大值为：-8+（-12）=20；故答案为：20【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，找不等关系是解题的关键7若a、b、c是三个非负数，并且203b+c5，a2b+c4，设m3ab+7c，则m的最小值为_【答案】24【分析】由两个已知等式2a-3b+c=5和a-2b+c=4可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条件：a，b，c均是非负数，列出c的不等式组，可求出未知数c的取值范围，再把m=3a-b+7c中a，b转化为c，即可得解【详解】解：联立方程组，解得a=c-2，b=c-3，a0、b0，c-20，c-30，c3m=3a-b+7c=3（c-2）-（c-3）+7c=9c-3，当c=3时，m有最小值，即m=24，故答案为：24【点睛】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括解二元一次议程组，不等式组的求解、求最大值最小值等，另外还要求有充分利用已知条件的能力8我们知道，一个数a的绝对值|a|即数轴上表示这个数的点到原点的距离，而|a|可以写成|a0|，推广到一般情况就是，若两个数a、b分别对应数轴上两个点A、B，则|ab|即A、B两点之间的距离若x对应数轴上任意一点P，则|x+3|x5|的最大值是 _【答案】8【分析】分三种情况去绝对值，计算后再比较即可得到答案【详解】解：当x5时，|x+3|x5|x+3（x5）8，当3x5时，|x+3|x5|x+3（5x）2x2，3x5，82x28，当x3时，|x+3|x5|x3（5x）8，综上所述，|x+3|x5|的最大值为8，故答案为：8【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离和的含义，化简绝对值，合并同类项，不等式的性质，解此类题目要学会分类讨论和数形结合的思想方法9已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为_【答案】【分析】把当作已知数表示出方程的解，根据方程的解为非负数列出不等式，确定出的范围即可【详解】解：方程，解得：，关于的方程的解是非负数，解得：，的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式根据题意得出不等式是解题的关键10对于实数a，b，定义符号mina，b，其意义为：当ab时，mina，b=b；当a<b时，mina，b=a例如：min=2，1=1，若关于x的函数y=min3x1，x+2，则该函数的最大值为_【答案】【分析】分类讨论和的大小关系，再利用定义求最大值即可【详解】解：若，则，函数y=-x+2，此时，y的最大值为；若，则，函数y=3x-1，此时，y的最大值为，故答案为：【点睛】本题考查了新定义问题，解题关键是理解题意，能正确进行分类讨论11已知三个实数a，b，c，满足，且，则的最小值为_【答案】14【分析】分别用含c的式子表示a、b，得到关于c的不等式组，解出c的取值范围，即可判断最值；【详解】解：由，分别用含c的式子表示a、b则a=c+1；b=4-2c，当c=2时，有最小值，最小值为故答案为：14【点睛】本题主要考查一元一次不等式组，灵活应用题中a、b、c的关系式，得到关于c的一元一次不等式组是解题的关键12若关于，的方程组的解满足，则的最大值是_【答案】6【分析】先把m当做常数，利用加减消元法求出方程组的解，然后根据求出m的取值范围即可求解.【详解】解：把 - 得：解得把代入解得解得的最大值为6故答案为：6.【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.13已知且若，则k的最小值为_【答案】6【分析】根据x-2y=3得到y的表达式，根据xy，列出不等式，求出x的取值范围，将y的代数式代入k中，分别计算得到k的最小值【详解】解：x-2y=3，y=，xy，x，x-3，k=3x-5y=3x-2.5（x-3）=0.5x+7.5，当x=-3时，k=6；当x=-2时，k=6.5；当x=-1时，k=7，可以发现：当x=-3时，k有最小值，最小值为0.5×（-3）+7.5=6，故答案为：6【点睛】本题考查了不等式的性质，通过计算发现当x=-3时k的最小值是解题的关键14如果不等式组的整数解有且仅有一个，这个解为1，且a，b均为整数，则a+b的最大值是_【答案】25【分析】分别求出两个不等式的解集，然后得到不等式组的解集，再根据有且只有一个正整数解1列出关于、的不等式组，解之求出整数、的最大值，然后相加即可得解【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，不等式组的整数解为1，解得，的最大值为9，的最大值为16，则的最大值为9+1625，故答案为：25【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，求出不等式组的解，然后根据整数解求出、的值是解题的关键三、解答题15（1）比较4m与的大小：（用“>”、"“<”或“=”填充）当m=3时，_4m；当m=2时，_4m；当m= -3时，_4m；观察并归纳中的规律，无论m取什么值，_4m（用“>”、“<”、（“”或“”），并说明理由（2）利用上题的结论回答：当 m= 时，有最小值，最小值是 ；猜想：的最小值是 【答案】（1）>；=；>；（2）0，4；6【分析】（1）当m=3时，当m=2时，当m=-3时，分别代入计算，再进行比较即可；根据，即可得出答案；（2）根据题意即可得到结论；把原式配方得到，于是得到当时，的值最小，即可得到结论【详解】解：（1）当m=3时，4m=12，=13，则，当m=2时，4m=8，=8，则=4m，当m=-3时，4m=-12，=13，则，故答案为：，=，；，无论取什么值，总有；故答案为：；（2）当m=0时，有最小值，最小值是4，故答案为：0，4；  ，当，即时，的值最小，当时，的最小值是6，故答案为：6【点睛】本题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小16已知，且(1)求的取值范围；(2)若，求的最大值【答案】(1)x1；(2)m的最大值为7【分析】（1）由2x+y=3知y=-2x+3，依据xy得x-2x+3，解之可得；（2）将y=-2x+3代入m=3x+4y得m=-5x+12，结合x1可得答案（1）解：2x+y=3，y=-2x+3xy，x-2x+3，解得：x1，故答案为：x1；（2）解：y=-2x+3，m=3x+4y=3x+4（-2x+3）=3x-8x+12=-5x+12，x1，-5x-5，则-5x+127，即m的最大值为7【点睛】本题主要考查不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论17小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知，且，设，那么w的取值范围是什么？【回顾】小明回顾做过的一道简单的类似题目：已知：，设y= ，那么y的取值范围是 .（请你直接写出答案）【探究】小明想：可以将研学单上的复杂问题转化为上面回顾的类似题目.由得，则，由，得关于x的一元一次不等式组 ，解该不等式组得到x的取值范围为 ，则w的取值范围是 .【应用】（1）已知ab4，且a1，b2，设t=a+b，求t的取值范围；（2）已知abn（n是大于0的常数），且a1，b1，的最大值为 （用含n的代数式表示）；【拓展】若，且，设，且m为整数，那么m所有可能的值的和为 .【答案】0y3；-2x3；-4w6；（1）-2t8；（2）2n+3；6【分析】回顾：利用不等式的基本性质求出0x+13，即可求解；探究：根据所给材料的过程进行解题即可；（1）由题意得t4+2b，则关于b的一元一次不等式组 ，求出3b2，即可求2t8；（2）由题意可得关于a的一元一次不等式组 ，解得1an+1，设t2a+b3an，求出3nt2n+3，即可求t的最大值；拓展：由题意分别求出x2y+4，z3y+6，则关于y的不等式组为 ，解得2y1，可得my+2，求出1m4，可知m1，2，3，则m所有可能的值的和为6【详解】【回顾】1x2，0x+13，yx+1，0y3，故答案为：0y3；【探究】由题意可得 ，解不等式组可得：2x3，w2x，4w6，故答案为：，2x3，4w6；（1）由ab4得a4+b，ta+b4+b+b4+2b，a1，b2，关于b的一元一次不等式组，解该不等式组得3b2，2t8；（2）abn，ban，a1，b1，关于a的一元一次不等式组 ，解得1an+1，设t2a+b2a+an3an，3nt2n+3，2a+b的最大值为2n+3，故答案为：2n+3；【拓展】3x6y+12，x2y+4，6y+122z，z3y+6，关于y的一元一次不等式为 ，解得2y1，m2x2yz2（2y+4）2y（3y+6）y+2，1m4，m为正数，m1，2，3，m所有可能的值的和为6，故答案为：6【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法，理解阅读材料，并能灵活应用阅读材料的方法解题是关键18用两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个长方形，设正方形的边长为m，长方形长为x，宽为y(1)则正方形的周长表示为_；长方形的周长表示_由此可得x、y、m之间的等量关系为_(2)比较正方形面积和长方形面积xy的大小【尝试】：（用“”，“”或“”填空）当，时，xy_；当，时，xy_；当时，xy_；(3)【猜想验证】：对于任意实数x，y，代数式xy与有怎样的大小关系？写出你的猜想，并加以证明(4)【应用】：当时，请直接写出的最小值【答案】(1)，(2)(3)猜想，证明见解析(4)2【分析】（1）根据正方形与长方形的周长列出代数式即可求解；（2）根据字母的值求值，进而比较大小即可求解；（3）根据完全平方公式变形进而即可证明；（4）根据（3）的结论即可求解(1)解：设正方形的边长为m，长方形长为x，宽为y则正方形的周长表示为；长方形的周长表示由此可得x、y、m之间的等量关系为，即故答案为：,(2)解：当，时，xy，则；当，时，；则当时，；则故答案为：(3)解：猜想，证明： ，(4)解：由（3）可得，的最小值为【点睛】本题考查了完全平方公式，平方的非负性，不等式求最值问题，掌握以上知识是解题的关键19已知(1)请用含x的式子表示y；(2)当时，求x的最大值【答案】(1)(2)2【分析】（1）通过移项，化系数为1即可求解（2）根据题意列出不等式，进而可求解(1)解：，即，(2)当时，即，不等式，解得：，不等式，解得：，当时，即，x的最大值为2【点睛】本题考查了解二元一次方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键20已知x2y5(1)请用含x的式子表示y；(2)当时，求x的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）通过移项，化系数为1即可求解（2）根据题意列出不等式，进而求得的最大值（1）解：x2y5，；（2），当时，解得的最大值为【点睛】本题考查了代入法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键21已知关于x、y的方程组的解都为非负数(1)求a的取值范围；(2)已知，求的取值范围；(3)已知（m是大于1的常数），且求的最大值（用含m的代数式表示）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）用a表示出该方程的解，再根据关于x、y的该方程组的解都为非负数，即得出关于a的方程组，解出a的解集即可；（2）由，得出，再根据a的取值范围，即可得出b的取值范围，再求出的取值范围即可；（3）由，即得出，由a的取值范围，即可用m表示出b的取值范围由b的取值范围，即可用m表示出a的取值范围，即可求出的取值范围，即得出其最大值（1）解方程，得：关于x、y的该方程组的解都为非负数，即，解得：；（2），即，解得：，；（3），即，的最大值为3+2m【点睛】本题考查解二元一次方程，解一元一次不等式和解一元一次不等式组掌握求解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键22阅读下列材料：解答“已知，试确定的取值范围”有如下解法：解：，x=y+2,又，即又，.同理得：.由+得的取值范围是.请按照上述方法，完成下列问题 ：已知关于的方程组的解都是正数.(1)求的取值范围；(2)已知且，求的取值范围；(3) 已知（是大于0的常数），且的最大值.（用含的式子表示）【答案】（1）；（2）（3）【分析】（1）先把a当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围即可；（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a、b的取值范围，然后再来求a+b的取值范围；（3）根据（1）的解题过程求得a、b取值范围；结合限制性条件得出结论即可【详解】解：（1）解这个方程组的解为由题意，得则原不等式组的解集为a1；（2）a-b=4，a1，a=b+41，b-3，a+b-2，又a+b=2b+4，b2，a+b8故-2a+b8；（3）a-b=m，a=b+m由b1，最大值为【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程