浙江三锋教研联盟2024年高二4月期中联考数学试题含答案.pdf

第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 2023 学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考 高二年级数学学科试题高二年级数学学科试题 考生须知：考生须知：1.本卷共本卷共 4 页满分页满分 150分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级答题前，在答题卷指定区域填写班级 姓名姓名 考场号考场号 座位号及准考证号并填涂相应数字座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分选择题部分 一一 选择题（本大题共选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.）1.函数3yxx=+在点()1,2A处的切线方程（）A.42yx=+B.42yx=C.42yx=+D.42yx=2.已知tan3,0,2=，则cos2+的值为（）A.3 1010 B.3 1010 C.1010 D.1010 3.已知今天是星期三，则经过1163天后是（）A 星期四 B.星期五 C.星期六 D.星期日 4.在ABC中，,4,3AABBCa=，且满足该条件的ABC有两个，则a的取值范围是（）A ()0 2,B.()2,2 3 C.()2,4 D.()2 3,4 5.某校高二数学期末考试成绩X近似服从正态分布()295,N，且(80110)0.68PX在区间()0,恰存在三个零点，两个最值点，则的取值范围是（）A.7 17,6 12 B.11 7,12 6 C.11 7,12 12 D.7 5,6 3 8.已知函数e2 sinxyax=在()0,x上有且仅有一个零点，则实数a取值为（）A.42e B.42e C.42e2 D.42e2 二二 多选题（本大题共多选题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分.）9.已知函数()()sin0,0,2f xAxA=+的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A 223f=B.()f x在0,6单调递减 C.函数12yfx=的图象关于y轴对称 的.第3页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 D.若()()124f xf x=，则12xx的最小值为2 10.某中药材盒中共有包装相同的 7 袋药材，其中党参有 3袋，黄芪有 4 袋，从中取出两袋，下列说法正确的是（）A.若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄芪的概率为2449 B.若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第 2 次取出党参的概率为711 C.若不放回抽取，则第 2次取到党参的概率算法可以是11243327C CCC+D.若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为45 11.已知()()()*23nf xxn=N展开式的二项式系数和为 512，()()20121(1)(1)nnf xaaxaxax=+，下列选项正确的是（）A.121naaa+=B.1232318naaana+=C.2144a=D.9013naaa+=12.对于函数()lnxf xx=，下列说法正确的是（）A.函数()f x的单调递减区间为()0,1和()1,e B 当1201xx时，1221lnlnxxxx D.设()2g xxa=+，若对()12R,1,xx+，使得()()12g xf x=成立，则ea 非选择题部分非选择题部分 三三 填空题（本大题共填空题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分分.）13.已知随机变量,X Y满足24XY+=，若1(9,)3XB，则()D Y=_.14.已知函数()f x导函数为()fx，且()2sin2f xxfx=+，则2f=_.15.小明的生日是 07年 10月 27 日，他打算从0,7,1,0,2,7这六个数字的所有不同排列中任选一种设置为自己的 6位数手机密码，其中数字 1，2 不相邻，则他可设置的密码有_种.16.人间四月天，正是春游好时节.某学校组织高二学生去远足，该远足路线会经过一处瀑布.有一个学生为了测量该瀑布的实际高度，记录了如下测量数据：先沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，.第4页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为54，沿着山道继续走20m，测得瀑布顶端仰角正切值为5 36，已知该同学沿山道行进方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为3.根据该同学的测量数据，可知该瀑布的高度为_.四四 解答题（本大题共解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.）17.已知312nxx的展开式中，第二项系数与第三项系数之比为47，（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有的有理项.18.已知函数()21ln2f xa xx=+.（1）当1a=时，求函数()f x的单调区间；（2）若a.第1页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 2023 学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考 高二年级数学学科试题高二年级数学学科试题 考生须知：考生须知：1.本卷共本卷共 4 页满分页满分 150分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级答题前，在答题卷指定区域填写班级 姓名姓名 考场号考场号 座位号及准考证号并填涂相应数字座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分选择题部分 一一 选择题（本大题共选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.）1.函数3yxx=+在点()1,2A处的切线方程（）A.42yx=+B.42yx=C.42yx=+D.42yx=【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义求解即可.【详解】因为3yxx=+,所以231yx=+，所以21|3 114xy=+=，所以在点()1,2A处的切线方程为()241yx=，即42yx=，故选：B.2.已知tan3,0,2=，则cos2+值为（）A.3 1010 B.3 1010 C.1010 D.1010【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，求出sin，然后结合诱导公式得到答案.【详解】因为22sintan3cossincos1=+=，所以2291sin,cos1010=，的 第2页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 又因为0,2，所以3 1010sin,cos1010=，所以3 10cossin210+=，故选：A.3.已知今天是星期三，则经过1163天后是（）A.星期四 B.星期五 C.星期六 D.星期日【答案】C【解析】【分析】根据()1111637 13=，利用二项式定理即可求解.【详解】由()11111111029381011111111637 137C7C7C7C7 1 3=+，由于11110293810111111117C7C7C7C7+能被 7 整除，所以1163除以 7 余4，故经过1163天后是是星期六；故选：C 4.在ABC中，,4,3AABBCa=，且满足该条件的ABC有两个，则a的取值范围是（）A.()0 2,B.()2,2 3 C.()2,4 D.()2 3,4【答案】D【解析】【分析】由正弦定理求出sinC，由sin1C，且BCAB，可得a取值范围.【详解】由正弦定理可得：4sinsinaAC=，所以2 3sin1Ca=，因为ABC有两个，所以BCAB，即4a，所以a的取值范围是()2 3,4 故选：D 5.某校高二数学期末考试成绩X近似服从正态分布()295,N，且(80110)0.68PX=，已知该校高二数学期末考试成绩超过 80 分的人数有 420人，则（）A.估计该校高二学生人数为 520.B.估计该校高二学生中成绩不超过 95分的人数为 280.C.估计该校高二学生中成绩介于 80 到 95分之间的人数为 170.的 第3页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 D.在该校高二学生中任取 1人，其成绩低于 70 分的概率大于超过 120 分的概率.【答案】C【解析】【分析】根据X近似服从正态分布()295,N，且(80110)0.68PX=，进而得到高二学生人数，然后逐项判断.【详解】因为X近似服从正态分布()295,N，所以(95)0.5P X=，又因为(80110)0.68PX=+=，A.估计该校高二学生人数为4200.84500=，故错误；B.估计该校高二学生中成绩不超过 95分的人数为500 0.5250=，故错误；C.由(8095)0.34PX=，则成绩介于 80到 95 分之间的人数为0.34 500170=，故正确；D.因为70 120952+=，所以(70)(120)P XP X，故错误；故选：C 6.由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于 2023年 9月 8 日在全国各地以线上线下结合的方式举行.现有某市组织 5 名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（）A.60 种 B.90 种 C.150种 D.180种【答案】B【解析】分析】由排列组合及简单计数问题求解即可.【详解】要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有 22353322C CA90A=种.故选：B.7.若函数()2sin 2(0)3f xx=在区间()0,恰存在三个零点，两个最值点，则的取值范围是（）A.7 17,6 12 B.11 7,12 6 C.11 7,12 12 D.7 5,6 3【第4页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【答案】A【解析】【分析】根据正弦函数的图象与性质，得到2 3的取值范围，再解出的范围即可.【详解】当()0,x，则2,2,(0)333x，依题意可得522 32，解得717612，得4x部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.223f=B.()f x在0,6单调递减 C.函数12yfx=的图象关于y轴对称 D.若()()124f xf x=，则12xx的最小值为2【答案】CD【解析】【分析】根据题意，求得()2sin 23f xx=，结合三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数()()sinf xAx=+的图象，可得3532,41234AT=，所以T=，所以()()2sin 2f xx=+，又由55()2sin2126f=+=，即5sin16+=，可得52,Z62kk=+，的 第6页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 所以2,Z3kk=+，因为2，所以3=，所以()2sin 23f xx=，对于 A中，由222sin 23333f=，所以 A错误；对于 B中，令32 22,Z232kxkk+，解得511,Z1212kxkk+，所以()f x在0,6单调递增，所以 B错误；对于 C中，将()yf x=图象上的所有点沿x轴向右平移12个单位长度后，得到2sin 22cos2122yfxxx=的图象，次数函数为偶函数，所以函数12yfx=的图象关于y轴对称，所以 C正确；对于 D中，由函数()2sin 23f xx=，可得()()maxmin2,2f xf x=，使得()()124f xf x=成立，则()()maxmin4f xf x=，因为函数()f x的最小正周期为，所以12xx的最小值为2，所以 D正确.故选：CD.10.某中药材盒中共有包装相同的 7 袋药材，其中党参有 3袋，黄芪有 4 袋，从中取出两袋，下列说法正确的是（）A.若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄芪的概率为2449 B.若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第 2 次取出党参的概率为711 C.若不放回抽取，则第 2次取到党参的概率算法可以是11243327C CCC+D.若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为45【答案】ABD【解析】【分析】选项 A，利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可解决；选项 B，根据条件，利用条件概率公式，即可解决；选项 C，根据条件，利用古典概率公式，即可解决；选项 D，利用条件概率公式，即可 第7页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 解决，从而求出结果.【详解】对于选项 A，因为是有放回抽取，抽到一袋党参的概率为37，抽到一袋黄芪的概率为47，所以取出一袋党参一袋黄芪的概率为342427749=，故选项 A 的正确，对选项 B，第二次抽到党参的概率为4 33 337 77+=，至少抽到一袋党参的概率为34332493327777494949+=+=，所以所求概率为377331149=，故选项 B正确，对于选项 C，因为不放回抽取，抽两次有27A种取法，第二次抽到党参的取法为112433C CA+，所以 C 选项的算法是错误的，故选项 C错误，对于选项 D，至少取出一袋党参的的概率为112433272C CA5A7+=，取到一袋党参一袋黄芪的概率为1143272C C4A7=，所以在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为概率为447557=，故选项 D 正确，故选：ABD.11.已知()()()*23nf xxn=N展开式的二项式系数和为 512，()()20121(1)(1)nnf xaaxaxax=+，下列选项正确的是（）A.121naaa+=B.1232318naaana+=C.2144a=D.9013naaa+=【答案】BD【解析】【分析】根据已知求出n，则(23)12(1)nnxx=+，令1x=和2x=即可判断 A；先求导，再令2x=即可判断 B；根据9 12(1)x+的通项公式求出2a即可判断 C；由通项公式判断ra的正负，结合9012389012389(0)3(2)1faaaaaafaaaaaa=+=+=计算即可判断 D.第8页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【详解】由()(23)nf xx=展开式的二项式系数和为 512，可得2512n=，解得9n=，所以9()(23)f xx=.A：在9(23)x290912()()(11)1aa xaxax=+，中，令1x=，得01a=，令2x=，得20911aaaa+=，所以13922aaaa+=，故 A错误；B：9(23)x290912()()(11)1aa xaxax=+，等式两边同时求导，得818(23)x8912112()9()aa xa x=+，令2x=，得9122918aaa+=，故 B 正确；C：99(23)12(1)xx=+290912()()(11)1aa xaxax=+，27729C(1)2144a=，故 C 错误；D：9012389012389(0)3(2)1faaaaaafaaaaaa=+=+=，两式相加得9024681 32aaaaa+=，两式相减得9135791 32aaaaa+=.又99(23)12(1)xx=+展开式的通项公式为999999C(1)2(1)(1)2C(1)rrrrrrrrxx=（09,rrZ），则当r为奇数时，02468,a a a a a为负，当r为偶数时，13579,a a a a a为正，所以0129aaaa+99913579024681 31 3()()322aaaaaaaaaa+=+=，故 D正确.故选：BD 12.对于函数()lnxf xx=，下列说法正确的是（）A.函数()f x的单调递减区间为()0,1和()1,e B.当1201xx时，1221lnlnxxxx 第9页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 D.设()2g xxa=+，若对()12R,1,xx+，使得()()12g xf x=成立，则ea 【答案】ACD【解析】【分析】选项 A，对()f x求导，利用导数与函数单调性间的关系，直接求出单调区间，即可判断出选项A的正误；选项 B，构造函数ln()xh xx=，求出ln()xh xx=的单调区间，再根据条件，即可判断出选项B的正误；选项 C，利用()lnxfxx=为偶函数，当0 x 时，(|)()lnxfxf xx=，利用选项 A中的结果，求出(|)fx函数的单调区间，进而可得出()fx的图象，即可解决问题；选项 D，求出(),()g xf x的值域，再根据条件，即可解决问题，从而求出结果.【详解】对于选项 A，易知()f x定义域为()()0,11,+，又()2ln1lnxfxx=，由()0fx，得到ln1lnex =，所以0ex，即当ln()xh xx=在区间(0,1)上单调递增，所以当1201xx时，1212lnlnxxxx，即2112lnlnxxxx时，(|)()lnxfxf xx=，由选项 A 知函数()f x的单调递减区间为()0,1，()1,e，增区间为(e,)+，又当1x 时，(|)()0fxf x=，当ex=时，(|)efx=，当1x 时，(|)fx+，x +时，(|)fx+当01x时，(|)0fx，所以选项 C正确，第10页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 对于选项 D，易知()g x的值域为),+a，而由选项 C知函数()f x的域(),0e,+，由题意函数()g x值域),+a是函数()f x值域(),0e,+的子集，则ea，所以选项 D正确，故选：ACD.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项 C，利用函数的性质及图象的变换，作出()yfx=的图象，再数形结合解决问题.非选择题部分非选择题部分 三三 填空题（本大题共填空题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分分.）13.已知随机变量,X Y满足24XY+=，若1(9,)3XB，则()D Y=_.【答案】8【解析】【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式及方差性质计算即得.【详解】由1(9,)3XB，得11()9(1)233D X=，由24XY+=，得42YX=，所以()(42)4()8D YDXD X=.故答案为：8 14.已知函数()f x导函数为()fx，且()2sin2f xxfx=+，则2f=_.【答案】1【解析】【分析】对()f x求导得到()cos22fxxfx=+，令2x=，得到02f=，从而()sinf xx=，即可求出结果.【详解】因为()2sin2f xxfx=+，所以()cos22fxxfx=+，第11页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 得到cos222222fff=+=，所以02f=，故()sinf xx=，所以sin122f=，故答案为：1.15.小明的生日是 07年 10月 27 日，他打算从0,7,1,0,2,7这六个数字的所有不同排列中任选一种设置为自己的 6位数手机密码，其中数字 1，2 不相邻，则他可设置的密码有_种.【答案】120【解析】【分析】根据数字 1，2 不相邻，利用插空法得到答案.【详解】因数字 1，2不相邻，所以先排列0,0,7,7，再将 1，2进行插空，所以共有2245C A=120种情况.故答案为：120.16.人间四月天，正是春游好时节.某学校组织高二学生去远足，该远足路线会经过一处瀑布.有一个学生为了测量该瀑布的实际高度，记录了如下测量数据：先沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为54，沿着山道继续走20m，测得瀑布顶端仰角正切值为5 36，已知该同学沿山道行进方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为3.根据该同学的测量数据，可知该瀑布的高度为_.【答案】50m【解析】【分析】根据题意画出图象，结合题中条件求得42 3,55ACh BCh=，在ABC中，由余弦定理建立方程，解出即可.【详解】为 第12页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 如图，设瀑布顶端为D，底端为C，高为h，该同学第一次测量的位置为A，第二次测量的位置为B，则655 3tan,20m,tan4DACABDBC=，由题得42 3,55ACh BCh=，在ABC中，由余弦定理可知：2222cosBCACABAC ABCAB=+，解得50mh=.故答案为：50m.四四 解答题（本大题共解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.）17.已知312nxx的展开式中，第二项系数与第三项系数之比为47，（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有的有理项.【答案】（1）835358Tx=（2）841477,7,16Tx Tx T=【解析】【分析】（1）求出展开式中第二项的系数与第三项的系数，根据已知条件可得出关于n的方程，解出正整数n的值，然后利用二项式系数的单调性可求得展开式中二项式系数最大的项；（2）写出展开式的通项，进而可求得展开式中所有的有理项.【小问 1 详解】展开式中第1r+项为431311CC22rrnrrn rrrnnTxxx+=，122142712nnCC=，解得8.n=由二项式系数的性质可知，展开式中第 5 项的二项式系数最大，第13页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 即4488443358135C28Txx=.【小问 2 详解】由（1）知，483181C2rrrrTx+=，又08,rrZ，由483rZ可得0,3,6r=，故展开式中的有理项为：3683446014878117,C7,C2216Tx Txx Tx=18.已知函数()21ln2f xa xx=+.（1）当1a=时，求函数()f x的单调区间；（2）若a，()211xfxxxx=+=，当01x时，()0fx时，0fx 所以函数()f x的单调减区间为()0,1，增区间为()1,+；【小问 2 详解】()2xafxx+=，若a时，0fx，当0 xa，()0fx，所以函数()f x在()0,a上单调递减，在(),a+上单调递增，当1a，即10a 时，所以函数()f x在1,e上单调递增，则()2max1()eee2f xfa=+=，得21ee2a=；当1ea，即2e1a（舍）；当ea，即2ea 时，函数()f x在1,e上递减，则()max1()1e2f xf=，所以sin3cosAA=，所以tan3A=，因为0,2A，所以3A=.【小问 2 详解】由正弦定理得4sinsinsinabcABC=，即4sinsinsin 3abcABB=+，则4sin,4sin,3bB cB=+.2 34sin4sin3abcBB+=+2 34sin4 sin coscos sin33BBB=+2 34 3sin6B=+，.因为022032BB，解得62B.【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）将原问题转化为直线12ym=与函数()ln1,0 xh xxx=交点个数.利用导数讨论函数()h x的性质可得()maxh x，分类讨论求出当22em=或0m、220em时对应的零点个数即可；（2）由极值点的概念可得1122ln0ln0 xmxxmx=，进而12212211lnlnlnxxxxxxxx+=，利用换元法（令21,1xt tx=）得()1ln2,11tm tttt=+，利用导数证明()0m t 即可证明.【小问 1 详解】令()1ln10,02f xxmxx=得1ln1,02xmxx=，令()ln1,0 xh xxx=.要求()f x零点个数，即求直线12ym=与函数()yh x=交点个数.则由()221ln12ln0 xxxxh xxx+=得20ex，由()0h x，函数()h x在()20,e上递增，在)2(e,+上递减，得()()22max1eeh xh=，当0 x 且无限趋近于 0时，()h x ；当x趋向于正无穷时，()h x无接近于 0.故当2112em=或102m即22em=或0m 时，函数()f x只有一个零点；第19页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 当21102em即220em时，函数()f x没有零点.【小问 2 详解】函数()()21ln,02g xxf xx xmxx x=有两个极值点12,x x.方程()ln0gxxmx=有两个不同正根，不妨设120 xx，只需证明12lnln2xx+将()*式两式相加整理得()1212lnlnxxm xx+=+，将()*式两式相减整理得()2121lnlnxxm xx=，则12122121lnlnlnlnxxxxxxxx+=，即12212211lnlnlnxxxxxxxx+=，令21,1xt tx=，则有121lnlnln1txxtt+=.只需证明1ln2,11tttt+，即证1ln20,11tttt+令()1ln2,11tm tttt=+，则()()222111(1)20(1)(1)(1)tttm ttttt t+=+恒成立，所以函数()m t在区间()1,+内单调递增，则函数()()10m tm=成立.故原不等式212exx成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如()()f xg x的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令()()()F xf xg x=，利用导数求得函数()F x的单调性与最小值，只需()min0F x恒成立即可；第20页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 2、参数分离法：转化为()ax或()ax恒成立，即()maxax或()minax恒成立，只需利用导数求得函数()x的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数()yf x=的图象在()yg x=的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.