第5课函数的连续性、闭区间上连续函数的性质.doc

目 录课题函数的连续性、闭区间上连续函数的性质课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）掌握连续函数的概念。（2）能够判断函数的间断点，熟悉间断点的分类。（3）理解初等函数的连续性，能够计算函数的连续区间.（4）理解闭区间上连续函数的性质。思政育人目标：通过与实际现象联系，帮助学生理解函数的连续性，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力教学重难点教学重点：连续函数的概念、函数在某点连续性的判断教学难点：计算函数的连续区间教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）知识讲解（35 min）问题讨论（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）问题讨论（10 min）课堂测验（10 min）课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）n 【教师】清点上课人数，记录好考勤n 【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（35 min）n 【教师】讲解连续函数的概念，并通过例题讲解介绍其应用案例平面内曲线 在坐标平面内画一连续曲线，如图1-27所示在坐标平面内画一间断曲线，如图1-28所示 图1-27 图1-28分析 对比两个图形，我们发现：对于，当自变量x的改变量时，函数相应的改变量，如图1-27所示；对于，当自变量x的改变量时，函数相应的改变量不能够无限变小，如图1-28所示于是我们可以用增量来定义函数的连续性定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，如果，则称函数在点处连续若记，则，相应地函数的增量当，即时，也即因此，函数在点处连续的定义也可表述如下：定义1' 设函数在点的某一个邻域内有定义，若，则称函数在点连续由函数在点连续的定义可知，函数在点连续，必须同时满足下面三个条件：（1）在点有定义；（2）极限值存在；（3）极限值恰好等于在该点的函数值，即若存在且等于，则称函数在点右连续；若存在且等于，则称函数在点左连续定理1 函数在点连续函数在点左右连续例1 证明函数在处连续证明一 的定义域为R，所以在的某邻域有定义当自变量在处有改变量时，因此，所以在处连续证明二 的定义域为R，所以在的某邻域有定义，即时的极限值为2而，即极限值等于函数在该点的函数值，所以在处连续例2 讨论函数在点的连续性解 因为，所以在点左右连续，故在点处连续函数在一点连续的定义，可以推广到区间上定义2 如果一个函数在某区间内的每一点处都连续，则称这个函数在区间内连续，或称其为区间内的连续函数如果函数在内连续，且a点右连续，b点左连续，则称函数在闭区间上连续连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线n 【学生】掌握连续函数的概念n 【教师】讲解函数间断点的分类，并通过例题讲解介绍其应用如果在点处不连续，则称点是函数的间断点由在处连续的定义知，如果在处有以下三种情况之一，则在处间断：（1）在点处无定义；（2）时不存在；（3）函数值和极限值都存在，但例如，函数在点处没有定义，就是函数的一个间断点如果不考虑函数在是否有定义，那我们可以将函数的间断点分为以下两大类设函数在点处间断，但在点的左右极限与均存在，则称为的第一类间断点，其中：（1）若，即极限存在，则称点是的可去间断点（2）若，即极限不存在，则称点是的跳跃间断点设函数在点处间断，若在点的左右极限与至少有一个不存在，则称为的第二类间断点，其中：（1）若与至少有一个为无穷大，则称点是的无穷间断点（2）若振荡性地不存在，则称点是的振荡间断点例3 函数在点处有定义，且但由于，故是函数的可去间断点，如图1-29所示但如果将函数在的定义改为，则函数在点连续由此可见，如果函数在点是可去间断点，可通过补充或改变在点的函数值，使在点连续例4 符号函数在点处有定义，且但由于，即和都存在但不相等，故是函数的跳跃间断点，如图1-30所示 图1-29 图1-30例5 函数在点处无定义，由于，故是函数的无穷间断点，如图1-31所示例6 函数在点处无定义，取，当时，但，即当时，函数值在与之间变动无限多次故是函数的振荡间断点，如图1-32所示 图1-31 图1-32例7 判断下列函数在指定点处的连续性，若间断，判别间断点的类型：（1）在点处；（2）在点和处解 （1）函数在点处有定义，且但，故为函数的跳跃间断点，属于第一类间断点（2）在，处无定义，故，是的间断点由于，故是的可去间断点，属于第一类间断点由于，故是的无穷间断点，属于第二类间断点n 【学生】掌握函数间断点的分类学习连续函数的概念、函数间断点的分类。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化问题讨论（10 min）n 【教师】组织学生讨论以下问题1函数在点处有定义、有极限、连续三个结论有什么区别与联系2若函数在点处无定义，则点是函数的第一类间断点，还是第二类间断点？3分段函数在分段点一定是间断点吗？n 【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解第二节课知识讲解（20 min）n 【教师】讲解初等函数的连续性，并通过例题讲解介绍其应用1连续函数的和、差、积、商的连续性根据函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得下面的定理定理2 设函数和在点连续，则它们的和、差、积、商都在点连续例如，由于，在上的每一点都连续，故和在其各自定义域上每一点都是连续的2初等函数的连续性利用函数连续的定义和性质可以证明：六种基本初等函数在其定义域上都是连续的由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合而得到的函数，函数的连续性对四则运算和复合运算是封闭的，所以我们又有结论：所有初等函数在其定义区间上都是连续的根据这一结论，求初等函数在其定义域内某点的极限时，只要求出该点的函数值即可例8 求解 由于该函数是初等函数，且在处有定义，故由初等函数的连续性可以得出例9 求解 因为在上连续，在连续，故结论 一般地，对形如的幂指函数，如果，则3反函数的连续性定理3 如果函数在区间上单调递增（或递减）且连续，那么它的反函数也在对应的区间上单调递增（或递减）且连续4复合函数的连续性定理4 设函数是由函数与函数复合而成的，在复合函数的定义域内若函数在连续，且，而函数在连续，则复合函数在也连续例10 求解 例11 求本题可通过变量替换转化为例10求出结果解 令，则，且时，有，故由例10和例11我们又得到几个等价无穷小量公式，即；n 【学生】理解初等函数的连续性，学会计算函数的连续区间n 【教师】讲解闭区间上连续函数的性质，并通过例题讲解介绍其应用定理1（有界性） 若函数在闭区间上连续，则在上有界定理1是指如果在上连续，则，对，使定理2（最大值与最小值） 若函数在闭区间上连续，则在上一定能取得最大值与最小值定理2是指，如果在上连续，则在上至少存在一点，使得是在上的最大值，即，；同样在上至少存在一点，使得是在上的最小值，即，如图1-33所示图1-33如果，则称点为函数的零点定理3（零点定理） 设函数在闭区间上连续，且，则至少存在一点，使得定理4（介值定理） 设函数在闭区间上连续，且，则在与之间的任意一个常数，至少存在一点，使得介值定理的几何意义是连续曲线与水平直线在内至少有一个交点，如图1-36所示 图1-35 图1-36推论 若函数在闭区间上连续，和分别为在上的最小值与最大值，则对介于和之间的任一实数，至少存在一点，使得设，在闭区间（或）上应用介值定理，即得上述推论例1 证明方程在上至少有一个实根分析 本例实际上是证明函数在上存在零点证明 设，显然在上连续，且，由零点定理知，在至少存在一个，使得，即所以是方程的实根n 【学生】理解闭区间上连续函数的性质学习初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化问题讨论（10 min）n 【教师】组织学生讨论以下问题1举几个非初等函数的例子2求函数极限有哪些方法？n 【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结（5 min）n 【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了函数连续性、函数间断点的分类、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质的相关知识及其应用。课后大家要多加练习，巩固认知。n 【学生】总结回顾知识点n 【教师】布置课后作业：习题1.8、习题1.9总结知识点，巩固印象教学反思本节课发现部分学生缺乏练习，无法将所学知识很好地应用到题目中。在今后的教学中应更加注重课堂练习环节的作用，将其与平时成绩紧密结合，让学生自主参与，消除学生的惰性，培养学生良好的学习习惯。