2024届新高考数学“三招九型”轻松破解函数零点问题含答案.pdf

“三招九型”，轻松破解函数零点问题目录“三招九型”，轻松破解函数零点问题目录一、重难点题型方法1一、重难点题型方法1题型一：求函数零点及零点所在区间题型二：求函数零点或方程根的个数题型三：根据零点个数求参数范围(不分参型)题型四：比较零点的大小关系题型五：求函数零点的和题型六：根据零点个数求参数范围(分参型)题型七：根据函数零点分布求零点代数式的取值范围题型八：嵌套函数的零点个数题型九：根据嵌套函数零点个数求参数二、针对性巩固练习二、针对性巩固练习重难点题型方法重难点题型方法题型一：求函数零点及零点所在区间题型一：求函数零点及零点所在区间【典例分析】【典例分析】典例1-1(2022河北邢台一中高一阶段练习)(2022河北邢台一中高一阶段练习)已知 f x在定义域上为单调函数，对 x 0,+，恒有 f f x-log2x=1，则函数 f x的零点是()A.2B.1C.12D.-12典例1-2(2022天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习)(2022天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习)已知函数 f x=1x-log2x，在下列区间中，包含 f x零点的区间是()A.0,1B.2,3C.3,+D.1,2典例1-3(2022贵州遵义高一期中)(2022贵州遵义高一期中)若函数 f(x)=x2+x+m的零点在区间(1,2)内，则m的取值范围为()A.-6,-2B.(-6,-2)C.(-,-6-2,+)D.(-,-6)(-2,+)【方法技巧总结】【方法技巧总结】1.零点存在性定理：如果函数 y=f(x)在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使得 f(c)=0，这个c也就是方程的根。2024届新高考数学“三招九型”，轻松破解函数零点问题含答案2.注意：不满足 f(a)f(b)0的函数也可能有零点.若函数 f(x)在区间 a,b上的图象是一条连续曲线，则 f(a)f(b)0，则函数 g x=f 1-x-1的零点个数为().A.1B.2C.3D.42.(20222022 北京市海淀区仁北高级中学高一阶段练习北京市海淀区仁北高级中学高一阶段练习)函数 f x=x3+5x-7的零点所在的区间可以是()A.0,1B.1,2C.2,3D.3,43.(20222022 天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习)函数 f x=2alog2x+a4x+3在区间12,1上有零点，则实数a的取值范围是()A.a-12B.a-32C.-32a-12D.a-34题型二：求函数零点或方程根的个数题型二：求函数零点或方程根的个数【典例分析】【典例分析】典例2-1(20222022 广东广东 惠州一中高一期中惠州一中高一期中)函数 f x=exlnx-2的零点个数为()A.0B.1C.2D.3典例 2-2(20212021 陕西省神木中学高三阶段练习陕西省神木中学高三阶段练习(文文)已知函数 f x是定义在 R R 上的偶函数，且f x+2=f x，当0 x1时，f x=x，设函数g x=f x-log7x，则函数g x的零点个数为()A.6B.8C.12D.14典例2-3(20222022 黑龙江黑龙江 哈尔滨三中高一阶段练习哈尔滨三中高一阶段练习)若函数 f x的定义域为R R,f x-1为偶函数，当x-1时，f x=3-x-1，则函数g x=f x-12的零点个数为()A.0B.1C.2D.4【方法技巧总结】【方法技巧总结】1.核心：函数的零点方程的根函数图象与x轴交点的横坐标两函数交点的横坐标2.流程：利用函数图象交点的个数：画出函数 f(x)的图象，函数 f(x)的图象与x轴在给定区间上交点的个数就是函数 f(x)的零点个数；将函数 f(x)拆成两个图象易得的函数h(x)和 g(x)的差，即 f(x)=0等价于h(x)=g(x)，则所求的零点个数即为函数y=h(x)和y=g(x)的图象在给定区间上的交点个数.3.注意：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所给函数是周期函数，则只需求在一个周期内零点的个数.【变式训练】【变式训练】1.(20232023 陕西西安陕西西安 高三期末高三期末(理理)已知函数 f x=ex,x0-3x,x0，都有 f(x)=fx2，且当x1,2)时，f(x)=sinx，则函数g(x)=f(x)-13log2|x|+1的零点的个数为()A.8B.10C.12D.14题型三：根据零点个数求参数范围题型三：根据零点个数求参数范围(不分参型不分参型)【典例分析】【典例分析】典例3-1(20222022 广东广东 海珠外国语实验中学高一阶段练习海珠外国语实验中学高一阶段练习)已知函数 f x=logax-4x-1(a0且a1)在 0,12上无零点，在12,1上有零点，则实数a的取值范围为()A.0,14B.14,1 1,+C.0,14D.14,1典 例 3-2 (20222022 黑 龙 江黑 龙 江 牡 丹 江 市 第 三 高 级 中 学 高 三 阶 段 练 习牡 丹 江 市 第 三 高 级 中 学 高 三 阶 段 练 习)设 函 数 fx=lnxx,x0sin x+4,-x0 有4个不同零点，则正实数的范围为()A.94,134B.94,134C.94,134D.94,134【方法技巧总结】【方法技巧总结】1.技巧：分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值。核心思想还是数形结合，需结合带参讨论。【变式训练】【变式训练】1.(20212021 河南河南 安阳一中高一期末安阳一中高一期末)已知定义在 R 上的奇函数，满足 f 2-x+f x=0，当 x 0,1时，f x=-log2x，若函数F x=f x-sin x，在区间-1,m上有10个零点，则m的取值范围是()A.3.5,4B.3.5,4C.5,5.5D.5,5.52.(20222022 江西江西 高三阶段练习高三阶段练习(理理)已知m0，函数 f(x)=(x-2)ln(x+1),-1xm,cos 3x+4,mcaB.bacC.cabD.abc4.典例4-2(20222022 福建泉州福建泉州 高一阶段练习高一阶段练习)设正实数a,b,c分别满足a2a=blog3b=clog2c=1，则a,b,c的大小关系为()A.abcB.bcaC.cbaD.acb【方法技巧总结】【方法技巧总结】1.技巧：观察所属函数，并画出函数图象，根据图象交点横坐标的大小进而判断所求数的大小关系。【变式训练】【变式训练】1.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f x=x+x3，g x=x+3x，h x=x+log3x 的零点分别为 x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小顺序为()A.x2x3x1B.x3x2x1C.x1x2x3D.x3x1x22.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若实数a,b,c满足2-a=ln a+1,2-b=log3b,2-c=lnc，则()A.cbaB.acbC.cabD.bac题型五：求函数零点的和题型五：求函数零点的和【典例分析】【典例分析】典例5-1(20222022 江西江西 上高二中高二阶段练习上高二中高二阶段练习(文文)函数 f x=sin x+1x-1，则y=f x的图象在-2，4内的零点之和为()A.2B.4C.6D.8典例 5-2(20222022 江苏江苏 常熟中学高三阶段练习常熟中学高三阶段练习)定义在 R 上的函数 f x满足 f-x+f x=0，f-x=f x+2；且当x 0,1时，f x=x3-x2+x则方程4f x-x+2=0所有的根之和为()A.6B.12C.14D.10【方法技巧总结】【方法技巧总结】1.零点之和需要掌握的方法：(1)函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和；(2)数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；【变式训练】【变式训练】1.(20222022 福建省福州第二中学高二期末福建省福州第二中学高二期末)函数 f x=sinx-ln 2x-3的所有零点之和为()A.9B.6C.4.5D.32.(20222022 云南云南云南云南 模拟预测模拟预测)已知定义在R上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(2-x)，当x0,1时，f(x)=x.函数g(x)=e-|x-1|(-1x3)，则 f(x)与g(x)的图像所有交点的横坐标之和为()A.3B.4C.5D.6题型六：根据零点个数求参数范围题型六：根据零点个数求参数范围(分参型分参型)【典例分析】【典例分析】典例6-1(20212021 天津天津 高一期末高一期末)定义在R上的函数 f(x)满足 f(x+1)=f(x-1)，且当x-1,1)时，f(x)=log0.5(1-x),-1x0-|x|,0 x13x-1,x1，若函数 g(x)=f(x)-k有3个零点，则实数k的取值范围为()A.(0，+)B.(0，1)C.1，+)D.1，2)【方法技巧总结】【方法技巧总结】1.已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.【变式训练】【变式训练】1.(20222022 北京北京 高三阶段练习高三阶段练习(文文)已知函数 f(x)=(x-1)3,x2e2-x,x2，若函数 g x=f x-a 存在两个零点，则实数a的取值范围是()A.-,0B.-,1C.(0,1)D.1,+2.(20212021 陕西陕西 安康市教学研究室一模安康市教学研究室一模(理理)已知函数 f(x)=2ln(x+1),x0e-x-1,x0，若函数g(x)=f(x)-k|x|(kR R)恰有3个零点，则k的取值范围是()A.(1,2)B.1,2C.(0,2)D.(-1,1)3.(20222022 四川省德阳中学校高二开学考试四川省德阳中学校高二开学考试)定义在R上的偶函数 f x满足对任意的xR R，都有 f 1+x=f 3-x，当x 0,2时，f x=4-x2，若函数y=f x-kx在x(0,+)上恰有3个零点，则实数k的取值范围为()A.1515，33B.1414，33C.3535，1515D.3535，1414 题型七：根据函数零点分布求零点代数式的取值范围题型七：根据函数零点分布求零点代数式的取值范围【典例分析】【典例分析】典例7-1(20222022 浙江浙江 温州市第八高级中学高一期中温州市第八高级中学高一期中)设函数 f x=-3x2+6x,x2log2x-2,x2，若关于x的方程 f x=t有四个实根x1,x2,x3,x4x1x2x31，若有3个不相等的实数a、b、c，且 f a=f b=f c，则a+b+c的取值范围是()A.74,52B.94,3C.94,3D.74,3【方法技巧总结】【方法技巧总结】1.技巧：解决此题的关键是作出函数的图象，将问题转化为函数的零点转为方程的根进而转化为函数与函数图象交点的个数，再根据利用二次函数的对称性及对数的运算性质及不等式的性质即可求解.【变式训练】【变式训练】1.(20212021 安徽安徽 高一阶段练习高一阶段练习)已知函数 f(x)=log12x,x0 x2+2 2x+3,x0 且 x1 x2 x3 x4时，f x1=f x2=f x3=f x4，则x4x3+4 2x1x23+x2x23的取值范围为()A.14,8B.2,+C.4,+D.-64,-42.(20222022 安徽省怀宁县第二中学高三阶段练习安徽省怀宁县第二中学高三阶段练习)已知函数 f x=lgx,010，若a,b,c互不相等，且 f a=f b=f c，则abc的取值范围是()A.1，10B.1，11C.10，11D.10，+题型八：嵌套函数的零点个数题型八：嵌套函数的零点个数【典例分析】【典例分析】典例8-1(20222022 安徽安徽 六安一中高一期中六安一中高一期中)若函数 f(x)=x2-2x,x0-x2,x0，则关于x的方程2 f x2+f x-1=0有()实根A.6个B.4个C.3个D.2个【方法技巧总结】【方法技巧总结】1.分类：嵌套函数分为：“二次嵌套型”y=a f x2+bf x+c 与“自嵌套型”y=f f x.2.技巧：利用换元的思想将函数转化为内外函数，并画出内外函数的图象，利用数形结合，将问题化归为单个函数的图象交点问题。需注意的是内外函数的自变量的区别与关系。【变式训练】【变式训练】1.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f x=x3-3x，则函数h x=f f x-c，c-2,2的零点个数()A.5或6个B.3或9个C.9或10个D.5或9个题型九：根据嵌套函数零点个数求参数题型九：根据嵌套函数零点个数求参数【典例分析】【典例分析】典例 9-1(20222022 安徽安徽 合肥一中高三阶段练习合肥一中高三阶段练习)已知函数 f(x)=x2ex,x1exx2,x1，若关于 x 的方程f x2-2af x=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是()A.2e2,e28B.2e2,e28e2,+C.2e2,e28 e2,+D.2e2,e28 e2,+典例9-2(20202020 安徽省泗县第一中学模拟预测安徽省泗县第一中学模拟预测(理理)已知函数 f(x)=x+2a,x1 ，若关于x的方程 f x2+af x+b=0 a,bR，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是()A.-4,-32B.-4,-72C.-4,-72-72,-32D.-4,-32-1,-272.(20232023 重庆重庆 高三阶段练习高三阶段练习)已知函数 f(x)=x+1,x0 x-1x,x0，若关于x的方程 f2(x)+(m-4)f(x)+2(2-m)=0有五个不同的实数根，则实数m的取值范围是()A.1,3)B.(0,2)C.1,2)D.(0,1)针对性巩固练习针对性巩固练习练习一：求函数零点及零点所在区间练习一：求函数零点及零点所在区间1.(20222022 浙江省杭州学军中学高一期中浙江省杭州学军中学高一期中)已知 f x是定义域为 0,+的单调函数，若对任意的 x 0,+，都有 f f x-log2x=3，则函数y=2f x-1x的零点为()A.12B.13C.2D.32.(20222022 广东广东 广州市第九十七中学高一阶段练习广州市第九十七中学高一阶段练习)函数 f x=lgx+2x-5的零点所在的区间是()A.0,1B.1,2C.2,3D.3,43.(20212021 江苏省镇江中学高一阶段练习江苏省镇江中学高一阶段练习)函数y=x2-2ax+a-1在(0,1)上存在零点，则实数a的取值范围是()A.0a1B.a1C.a1D.a0练习二：求函数零点或方程根的个数练习二：求函数零点或方程根的个数4.(20222022 陕西陕西 渭南市瑞泉中学高三阶段练习渭南市瑞泉中学高三阶段练习(理理)函数 f(x)=sin x+2-lgx零点的个数为()A.2B.3C.4D.55.(20222022 河南河南 新安县第一高级中学高三开学考试新安县第一高级中学高三开学考试(文文)已知定义域为R R的偶函数 f(x)的图像是连续不间断的曲线，且 f(x+2)+f(x)=f(1)，对任意的 x1，x2-2,0，x1 x2，f x1-f x2x1-x2 0 恒成立，则 f(x)在区间-100,100上的零点个数为()A.100B.102C.200D.2026.(20222022 上海市七宝中学高三期中上海市七宝中学高三期中)定义域为 R 的函数 f x的图象关于直线 x=1 对称，当 x 0,1时，f x=x，且对任意xR R只有 f x+2=-f x，g x=f x,x0-log2025-x,x0，则方程 g x-g-x=0实数根的个数为()A.2024B.2025C.2026D.2027练习三：根据零点个数求参数范围练习三：根据零点个数求参数范围(不分参型不分参型)7.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若函数 f(x)=2x-a,x0，且m1)有两个不同实数根，则m的取值范围是()A.0，1B.2，+C.0，1 2，+D.1，+练习四：比较零点的大小关系练习四：比较零点的大小关系9.(20212021 江苏江苏 无锡市市北高级中学高一期中无锡市市北高级中学高一期中)知函数 f(x)=12x-x，g(x)=x-2-12x，h(x)=x3-x(x0)，方程 f(x)=0，g(x)=0，h(x)=0的根分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为()A.abcB.cabC.bcaD.bac10.(20222022 山东潍坊山东潍坊 高三期末高三期末)已知2a=log12a，3b=log12b，13c=log2c，则()A.abcB.bacC.cabD.cb0,14x2+x,x0,若函数 g x=f x-k有2个零点，则实数k的取值范围是()A.0,+B.0,+-1C.0,+D.-1,+14.(20222022 广西北海广西北海 高二期末高二期末(文文)已知函数 f x=1x-22,x3x-23,x0 x2+4x+1,x0，函数F x=f x-b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且满足：x1x2x3x4，则下列结论中不正确的是()A.00，若方程 f x=k有4个不同的根x1，x2，x3，x4，且x1x2x31,则函数y=f f x-3的零点个数为()A.2B.3C.4D.5练习九：根据嵌套函数零点个数求参数练习九：根据嵌套函数零点个数求参数18.(20222022 安徽安徽 合肥一中高一阶段练习合肥一中高一阶段练习)已知函数 f x=1-2x,x0,2x-1,x0,若方程f(x)2-3k+13f(x)+k=0有三个不等的实根，则实数k的取值范围是()A.k k13 B.k k=0或k13 C.k k=0或k13 D.k k2，若函数F x=2 f x2-mf x有7个零点，则m的取值范围是()A.-2,0 0,16B.0,16C.0,2D.-2,0 0,+“三招九型”，轻松破解函数零点问题“三招九型”，轻松破解函数零点问题目录目录一、一、重难点题型方法重难点题型方法1 1题型一：求函数零点及零点所在区间题型二：求函数零点或方程根的个数题型三：根据零点个数求参数范围(不分参型)题型四：比较零点的大小关系题型五：求函数零点的和题型六：根据零点个数求参数范围(分参型)题型七：根据函数零点分布求零点代数式的取值范围题型八：嵌套函数的零点个数题型九：根据嵌套函数零点个数求参数二、二、针对性巩固练习针对性巩固练习重难点题型方法重难点题型方法题型一：求函数零点及零点所在区间题型一：求函数零点及零点所在区间【典例分析】【典例分析】典例1-1(20222022 河北河北 邢台一中高一阶段练习邢台一中高一阶段练习)已知 f x在定义域上为单调函数，对 x 0,+，恒有 f f x-log2x=1，则函数 f x的零点是()A.2B.1C.12D.-12【答案】C【分析】先根据 f x单调，结合已知条件求出 f x的解析式，然后再进一步研究函数 f x的零点【详解】解：因为 f x是定义域为 0,+的单调函数，且对任意的x 0,+，都有 f f x-log2x=1，故可设存在唯一的实数a 0,+，使得 f a=1，则设 f x-log2x=a，所以 f x=log2x+a，所以 f a=log2a+a=1，则log2a=1-a，由于函数y=log2x在 0,+上单调递增，函数y=1-x在 0,+上单调递减，又log21=0=1-1，所以a=1，故 f x=log2x+1，再令 f x=log2x+1=0，x 0,+，解得：x=12，故函数 f x的零点是12.故选：C典例1-2(20222022 天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习)已知函数 f x=1x-log2x，在下列区间中，包含 f x零点的区间是()A.0,1B.2,3C.3,+D.1,2【答案】D【分析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】因为y=1x在 0,+上为减函数，y=log2x在 0,+上为增函数，故 f x在 0,+上为减函数，而 f 1=1-log21=10，f 2=12-log22=-120，故 f x的零点在区间 1,2中，故选：D.典例1-3(20222022 贵州遵义贵州遵义 高一期中高一期中)若函数 f(x)=x2+x+m的零点在区间(1,2)内，则m的取值范围为()A.-6,-2B.(-6,-2)C.(-,-6-2,+)D.(-,-6)(-2,+)【答案】B【分析】因为 f x在(1,2)上单调递增，由零点的存在性定理知要使 f(x)在(1,2)上存在零点，需要满足f(1)0，求得m的取值范围.【详解】因为 f x在(1,2)上单调递增，且 f x的图象是连续不断的，所以f(1)=1+1+m0，解得-6m-2故选：B.【方法技巧总结】【方法技巧总结】1.零点存在性定理：如果函数 y=f(x)在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使得 f(c)=0，这个c也就是方程的根。2.注意：不满足 f(a)f(b)0的函数也可能有零点.若函数 f(x)在区间 a,b上的图象是一条连续曲线，则 f(a)f(b)0，则函数 g x=f 1-x-1的零点个数为().A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】通过解法方程g x=0来求得g x的零点个数.【详解】由g x=0可得 f 1-x=1.当x0时，x2+2x=1x=-1-2，或x=-1+2(舍去)，当x0时，lgx=1x=10或x=110.故1-x=-1-2 x=2+2 是g x的零点，1-x=10 x=-9是g x的零点，1-x=110 x=910是g x的零点.综上所述，g x共有3个零点.故选：C2.(20222022 北京市海淀区仁北高级中学高一阶段练习北京市海淀区仁北高级中学高一阶段练习)函数 f x=x3+5x-7的零点所在的区间可以是()A.0,1B.1,2C.2,3D.3,4【答案】B【分析】利用零点存在性定理，可得答案.【详解】f 0=-70，f 1=1+5-7=-10，f 3=27+15-7=350，f 4=64+20-7=770，由 f 1f 20，则函数 f x的零点存在的区间可以是 1,2，故选：B.3.(20222022 天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习)函数 f x=2alog2x+a4x+3在区间12,1上有零点，则实数a的取值范围是()A.a-12B.a-32C.-32a-12D.a0时，由于函数y=2alog2x、y=a4x+3在12,1上均为增函数，此时函数 f x在12,1上为增函数.当a0时，由于函数y=2alog2x、y=a4x+3在12,1上均为减函数，此时函数 f x在12,1上为减函数.因为函数 f x在区间12,1上有零点，则 f12 f 10，即3 4a+30，解得a-34.故选：D.题型二：求函数零点或方程根的个数题型二：求函数零点或方程根的个数【典例分析】【典例分析】典例2-1(20222022 广东广东 惠州一中高一期中惠州一中高一期中)函数 f x=exlnx-2的零点个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】C【分析】将问题转化为g x与h x的图像的交点的个数，作出图像即可得解.【详解】因为 f x=exlnx-2，令 f x=0，则exlnx-2=0，即 lnx=21ex，令g x=lnx，则g x的图像是y=lnx的图像保留x轴上方的图像，同时将x轴下方的图像沿着x轴向上翻折得到的图像，如图所示，令h x=21ex，则h x的图像是y=1ex的图像的纵坐标扩大2倍，横坐标保持不变得到的图像，如图所示，所以g x与h x的图像有两个交点，即 f x=exlnx-2有两个零点.故选：C.典例 2-2(20212021 陕西省神木中学高三阶段练习陕西省神木中学高三阶段练习(文文)已知函数 f x是定义在 R R 上的偶函数，且f x+2=f x，当0 x1时，f x=x，设函数g x=f x-log7x，则函数g x的零点个数为()A.6B.8C.12D.14【答案】C【分析】由已知可得函数 f(x)的周期，作出两函数y=f(x)与y=log7x在(0,+)上的部分图象，数形结合可得两函数在(0,+)上的交点公式，再根据对称性得答案【详解】解：函数 f x是定义在R R上的偶函数，所以 f-x=f x，且 f x+2=f x所以 f-x=f x+2，则函数y=f(x)的图象关于x=1对称，函数g x=f x-log7x的零点即为 f x=log7x的根，又函数 f x满足 f x+2=f x，则 f x的周期为2，函数y=f(x)与y=log7x的图象都关于y轴对称，作出两函数在(0,+)上的部分图象如图：由图可知，两函数在(0,+)上有6个交点，根据对称性可得，g(x)的零点的个数为12故选：C典例2-3(20222022 黑龙江黑龙江 哈尔滨三中高一阶段练习哈尔滨三中高一阶段练习)若函数 f x的定义域为R R,f x-1为偶函数，当x-1时，f x=3-x-1，则函数g x=f x-12的零点个数为()A.0B.1C.2D.4【答案】D【分析】根据函数的性质作出函数图象，利用数形结合的思想求解零点的个数.【详解】令3-x-10解得x0，令3-x-10，所以当x-1时，f x=3-x-1=13x-1,-1x0-13x+1,x0 ，f x-1为偶函数，所以 f x-1的图象关于y轴对称，所以 f x的图象关于直线x=-1轴对称，故作出 f x的图象如下，令g x=f x-12=0，即 f x=12，由图象可知，f x的图象与y=12的图象共有四个交点，所以函数g x=f x-12的零点个数为4个.故选:D.【方法技巧总结】【方法技巧总结】1.核心：函数的零点方程的根函数图象与x轴交点的横坐标两函数交点的横坐标2.流程：利用函数图象交点的个数：画出函数 f(x)的图象，函数 f(x)的图象与x轴在给定区间上交点的个数就是函数 f(x)的零点个数；将函数 f(x)拆成两个图象易得的函数h(x)和 g(x)的差，即 f(x)=0等价于h(x)=g(x)，则所求的零点个数即为函数y=h(x)和y=g(x)的图象在给定区间上的交点个数.3.注意：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所给函数是周期函数，则只需求在一个周期内零点的个数.【变式训练】【变式训练】1.(20232023 陕西西安陕西西安 高三期末高三期末(理理)已知函数 f x=ex,x0-3x,x00,x=0ex+3x,x0时，-x0，f-x=3x当x0，f-x=e-xg x=f-x-f x=3x-ex,x00,x=0e-x+3x,x0时零点个数即可，g(x)=3x-ex,x0，g(x)=3-ex0，令g(x)=3-ex0，解得0 x0，而g 2=6-e20，故g x在(ln3,2)有1零点，g13=1-e130，都有 f(x)=fx2，且当x1,2)时，f(x)=sinx，则函数g(x)=f(x)-13log2|x|+1的零点的个数为()A.8B.10C.12D.14【答案】C【分析】将问题化为 f(x)与y=13log2|x|-1图象的交点个数，结合偶函数对称性只需研究 f(x)与g(x)=13log2x-1在(0,+)的交点个数，数形结合判断交点个数即可.【详解】将问题化为 f(x)与y=13log2|x|-1图象的交点个数，显然y=13log2|x|-1也是定义在(-,0)(0,+)上的偶函数，所以，只需研究 f(x)与g(x)=13log2x-1在(0,+)的交点个数，再乘以2即可得结果.对应 f(x)：x1,2)时 f(x)-1,0，在 1,32上递减，32,2上递增；任意x0都有 f(x)=fx2，易知xn,2n)上 f(x)=sinxn-1,0，在 n,32n上递减，32n,2n上递增，nN*；又g(x)在(0,+)上递增，且g(1)=-10且a1)在 0,12上无零点，在12,1上有零点，则实数a的取值范围为()A.0,14B.14,1 1,+C.0,14D.14,1【答案】D【分析】将问题转化成研究方程logax=4x-1在 0,12上无实数根，在12,1上有实数根，即考查函数g x=logax,h x=4x-1的交点情况，作出函数图像数形结合即可得到答案.【详解】函数 f x在 0,12上无零点，在12,1上有零点，即方程 f x=0在 0,12上无实数根，在12,1上有实数根，即logax=4x-1在 0,12上无实数根，在12,1上有实数根，设g x=logax,h x=4x-1，函数h x在R R上单调递增，且h 0=14,h12=12,h 1=1，h x=4x-10恒成立，若a1，则在x 0,1时，g x=logax0，故不满足条件.由于g x与h x的图象在 0,12上无交点，在12,1上有交点，根据函数的图像可知0ah12，解得14a0sin x+4,-x0 有4个不同零点，则正实数的范围为()A.94,134B.94,134C.94,134D.94,134【答案】A【分析】由已知可得 f x在-,0上有3个不同零点即可，利用正弦函数的性质列出不等式，解出正实数的范围【详解】令y=lnxx=0，解得x=1，即 f x在(0,+)上仅有一个零点，所以只需y=sin x+4在-,0上有3个不同零点即可当x-,0时，x+4-+4,4，所以-3-+4-2，即94,134故选：A【方法技巧总结】【方法技巧总结】1.技巧：分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值。核心思想还是数形结合，需结合带参讨论。【变式训练】【变式训练】1.(20212021 河南河南 安阳一中高一期末安阳一中高一期末)已知定义在 R 上的奇函数，满足 f 2-x+f x=0，当 x 0,1时，f x=-log2x，若函数F x=f x-sin x，在区间-1,m上有10个零点，则m的取值范围是()A.3.5,4B.3.5,4C.5,5.5D.5,5.5【答案】A【分析】根据题意可知 f x和sin x都是周期为2的周期函数，因此可将F x=f x-sin x的零点问题转换为 f x和sin x的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.【详解】由 f 2-x+f x=0 f x=-f 2-x=f x-2得 f x是一个周期为2的奇函数，当x 0,1时，f x=-log2x，因此 f12=-log212=1，f 1=0因为 f x是奇函数，所以 f 0=0，f-12=-1，f-1=0且g x=sin x的周期为T=2=2，且g-1=0，g-12=-1，g 0=0，g12=1，g 1=0求F x=f x-sin x的零点，即是 f x与g x的交点，如图：为 f x与g x在-1,1区间的交点图形，因为 f x与g x均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知F x的零点周期为12，若在区间-1,m上有10个零点，则第10个零点坐标为 3.5,0，第11个零点坐标为 4,0，因此3.5m0，函数 f(x)=(x-2)ln(x+1),-1xm,cos 3x+4,m0上单调递增，且g120，故gx在12,1内必有唯一零点x0，当x-1,x0时，g(x)0，g x单调递增；令g x=0，解得x=0或2，可作出函数g x的图像，令h x=0，即3x+4=2+k,kZ，在 0,之间解得x=12或512或34，作出图像如下图数形结合可得：12,512 2,34，故选：A题型四：比较零点的大小关系题型四：比较零点的大小关系【典例分析】【典例分析】3.典例4-1(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f x=2x+2x,g x=log2x+2x,h x=3x+2x的零点分别为a,b,c，则a,b,c的()A.bcaB.bacC.cabD.abc【答案】A【分析】画出y=-2x的图象与y=2x，y=log2x，y=3x的图象，根据交点可判断.【详解】由题可得a,b,c即为y=-2x的图象分别与y=2x，y=log2x，y=3x的交点的横坐标，如图，画出函数图象，由图可得，bca.故选：A.4.典例4-2(20222022 福建泉州福建泉州 高一阶段练习高一阶段练习)设正实数a,b,c分别满足a2a=blog3b=clog2c=1，则a,b,c的大小关系为()A.abcB.bcaC.cbaD.acb【答案】B【分析】作出y=2x,y=log2x,y=log3x的图像，利用图像和y=1x图像交点的横坐标比较大小即可.【详解】由已知可得1a=2a，1b=log3b，1c=log2c，作出y=2x,y=log2x,y=log3x的图像如图所示：它们与y=1x交点的横坐标分别为a,b,c，由图像可得bca，故选：B【方法技巧总结】【方法技巧总结】1.技巧：观察所属函数，并画出函数图象，根据图象交点横坐标的大小进而判断所求数的大小关系。【变式训练】【变式训练】1.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f x=x+x3，g x=x+3x，h x=x+log3x 的零点分别为 x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小顺序为()A.x2x3x1B.x3x2x1C.x1x2x3D.x3x1x2【答案】D【分析】依题意可将函数的零点转化为函数y=x3、y=3x、y=log3x与y=-x的交点的横坐标，画出函数图象，结合图象即可判断；【详解】解：依题意令 f x=x+x3=0，即x3=-x，同理可得3x=-x，log3x=-x，则函数的零点转化为y=x3、y=3x、y=log3x与y=-x的交点的横坐标，在平面直角坐标系上画出函数图象如下：由图可得x1=0，x20，即x3x1x2.故选：D2.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若实数a,b,c满足2-a=ln a+1,2-b=log3b,2-c=lnc，则()A.cbaB.acbC.cabD.bac【答案】B【分析】观察三个等式，可考虑根据y=2-x的图象分别与y=ln x+1,y=log3x,y=lnx三个函数图象交点的横坐标大小关系判断即可【详解】画出y=2-x与y=ln x+1,y=log3x,y=lnx三个函数的图象，如图可得y=2-x的与y=ln x+1,y=lnx,y=log3x交点的横坐标依次为a,c,b，故ac0，f x单调递增，-f x=f x+2，f x一个周期为4，f x关于 2,0中心对称由 f(x)=14(x-2)，所有实根之和为 x1+x5+x2+x4+x3=4+4+2=10.故选：D【方法技巧总结】【方法技巧总结】1.零点之和需要掌握的方法：(1)函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和；(2)数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；【变式训练】【变式训练】1.(20222022 福建省福州第二中学高二期末福建省福州第二中学高二期末)函数 f x=sinx-ln 2x-3的所有零点之和为()A.9B.6C.4.5D.3【答案】A【分析】根据给定条件，构造