云南省昆明市第三中学2023-2024学年高二下学期第二次综合测试（4月）数学试题含答案.docx

昆明三中高2025届高二年级下学期第二次综合测试数学试卷命题人：注意事项：1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 若一组数据的75百分位数是6，则（ ）A. 4B. 5C. 6D. 72. 已知椭圆，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线，的斜率之积为（ ）A. B. C. D. 3. 已知的展开式的二项式系数和为64，则其展开式的常数项为（ ）A. 240B. C. 729D. 38404. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳射击体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（ ）A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种5. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在数学年刊上发表论文素数间的有界距离，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ）A. B. C. D. 6. 已知数列为正项递增等比数列，则该等比数列的公比（ ）A. 2B. 3C. 4D. 57. 某同学参加学校组织数学知识竞赛，在5道四选一的单选题中有3道有思路，有2道完全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目只好任意猜一个答案若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数恰有2个不同零点，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不选的得0分.9. 已知在区间上单调递增，则的取值可能在（ ）A. B. C. D. 10. 已知，下列说法正确的有（ ）A. B. C D. 11. 已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中，存在“巧值点”的是（ ）A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示那么，在“杨辉三角”中，第_行会出现三个相邻的数，其比为第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 113. 如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于的位置”的概率为_.14. 如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边，接着画正五边形；对这个正五边形不画第五边，接着画正六边形；，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线设第n条线段与第条线段所夹的角为，则_四、解答题：本大题共5小题，共77分.15. 已知函数在处有极值2（）求，的值；（）证明：16. 某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.场上位置边锋前卫中场出场率0.30.50.2球队胜率0.80.60.7（1）当甲出场比赛时，求球队输球的概率；（2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当边锋的概率；（3）如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在场上的哪个位置？请说明理由.17. 如图，点为椭圆右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点(在的上方)，设点、是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由. 18. 如图所示，长方体中，在棱上，且（1）若，求平面截长方体所得截面的面积（2）若点满足，求平面与所成夹角的余弦值19. 对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.（1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；（2）已知数列为等差数列，若是“数列”，且，求所有可能的取值；若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.昆明三中高2025届高二年级下学期第二次综合测试数学试卷命题人： 注意事项：1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 若一组数据的75百分位数是6，则（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可【详解】这组数据为：，但大小不定，因为，所以这组数据的分位数为从小到大的顺序的第6个数和第7个数的平均数，经检验，只有符合故选：C2. 已知椭圆，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线，的斜率之积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，可得，代入中即可得.【详解】设，则有，即有，由椭圆方程不妨设短轴端点的坐标分别为、，则.故选：C.3. 已知的展开式的二项式系数和为64，则其展开式的常数项为（ ）A. 240B. C. 729D. 3840【答案】D【解析】【分析】根据二项式系数和求得，再求常数项即可.【详解】根据题意，解得，则，故其展开式的常数项为.故选：D.4. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳射击体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（ ）A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种【答案】C【解析】【分析】本题只需考虑游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况即可.【详解】游泳场地安排2人，则不同的安排方法有种，游泳场地只安排1人，则不同的安排方法有种，所以不同的安排方法有种.故选：C5. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在数学年刊上发表论文素数间的有界距离，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案.【详解】不超过的自然数有个，其中素数有共个，孪生素数有和，和，和，和，共组.所以，所以.故选：D6. 已知数列为正项递增等比数列，则该等比数列的公比（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】由已知结合等比数列的性质求出，进而可求出公比.详解】由题意，由，得，所以（舍去），所以，整理得，解得（舍去），所以.故选：A.7. 某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在5道四选一的单选题中有3道有思路，有2道完全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目只好任意猜一个答案若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解.【详解】设事件A表示“两道题全做对”，若两个题目都有思路，则；若两个题目中一个有思路一个没有思路，则；若两个题目都没有思路，则；故.故选：D.8. 已知函数恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意转化为方程恰有2个不同的实数根，即直线与函数的图象恰有2个不同的交点，用导数法画出其图象，利用数形结合法求解.【详解】由题意知方程恰有2个不同的实数根设，则直线与函数的图象恰有2个不同的交点，因为，当时，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，当时，当时，可以作出的大致图象，如图所示， 易知直线过定点，当直线与函数的图象相切时，设切点为，则，解得或，当直线与函数的图象相切时，或，数形结合可知，实数a取值范围为.故选：D【点睛】思路点睛：函数恰有两个不同的零点，转化为方程恰有2个不同的实数根，即直线与函数的图象恰有2个不同的交点，利用导数判断函数的单调性，极值，数形结合求解.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不选的得0分.9. 已知在区间上单调递增，则的取值可能在（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】借助辅助角公式可将函数化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得的范围.【详解】，当，由，则，则有，解得，即，有，即，即或，当时，有，时，有，故的取值可能在或.故选：AC.10. 已知，下列说法正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】分析】令可求得A正确；根据二项式定理可得展开式通项，分别代入和，加和即可得到，知B错误；分别令和，加和后，结合可知C错误；对等式左右求导，代入可得D正确.【详解】对于A，令，则，A正确；对于B，展开式通项为：，展开式通项为：，展开式通项为：，令，则，又，或，B错误；对于C，令，则；令，则；两式作和得：，又，C错误；对于D，令，则，D正确.故选：AD.11. 已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中，存在“巧值点”的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】结合“巧值点”的定义，逐个求解是否有解即可【详解】对于A，令，得，有“巧值点”；对于B，令，如图，作出函数，的图象，结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”；对于C，令，即，得，无解，无“巧值点”；对于D，令，得，令，则，所以函数在上为增函数，又，所以函数在上有唯一零点，即方程在上有解，即有“巧值点”.故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示那么，在“杨辉三角”中，第_行会出现三个相邻的数，其比为第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1【答案】62【解析】【分析】由题意可知第行第个数为，连续三项，结合组合数运算求解即可.【详解】由题意可知第行第个数为，根据题意，设所求的行数为，则存在正整数，使得连续三项，有且化简得，联立解得，故第62行会出现满足条件的三个相邻的数故答案为：62.13. 如图，在数轴上，一个质点在外力作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于的位置”的概率为_.【答案】【解析】【分析】理解题意构建数学模型，利用排列组合进行解题.【详解】由图可知，若想通过6次移动最终停在-2的位置上，则必然需要向右移动2次且向左移动4次，记向右移动一次为R，向左移动一次为L，则该题可转化为RRLLLL六个字母排序的问题，故落在-2上的排法为所有移动结果的总数为，所有落在-2上的概率为故答案为：14. 如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边，接着画正五边形；对这个正五边形不画第五边，接着画正六边形；，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线设第n条线段与第条线段所夹的角为，则_【答案】【解析】【分析】根据正三角形、正方形、正五边形的角的度数规律，类比出多边形个角的度数表达式，再计算出2022条线段所在的正多边形的边数，进一步求出夹角.【详解】第一条线段与第二条线段所夹的角，由此类推， ， ， 观察规律，三角形会有个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，正方形有个，正五边形有个，正六边形有个， 多边形有个又观察图形得：正三角形画条线段，正方形画条线段，正五边形画条线段，正六边形画条线段，正边形画条线段；画完正多边形时，画线段的条数为，当时，；当时， 第条线段应在正边形中， 故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.15. 已知函数在处有极值2（）求，的值；（）证明：【答案】（）；（）证明见解析.【解析】【分析】（）求出导函数，由且求得，并检验0是极值点；（）不等式化为，引入函数，由导数求得的最小值，最小值大于0，从而证得不等式成立【详解】（）解：由已知，则 解得， 经检验，符合题意. （）证明：由（）可知，要证，只需证即 令，则 令，解得 ，的变化情况如下表所示10+单调递减1单调递增所以，时，有最小值故成立16. 某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.场上位置边锋前卫中场出场率0.30.50.2球队胜率0.80.60.7（1）当甲出场比赛时，求球队输球的概率；（2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当边锋的概率；（3）如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在场上的哪个位置？请说明理由.【答案】（1） （2） （3）前卫，理由见解析.【解析】【分析】(1)根据条件概率公式分别计算出甲球员在担任边锋、前卫、中场时赢球的概率，最后相加得到甲球员参加比赛时，球队赢球的概率，再用1去减即可(2)根据条件概率的计算公式即可求解.(3)由贝叶斯公式，即可做出判断.【小问1详解】用表示“甲出任边锋”，表示“甲出任前卫”，表示“甲出任中场”，用表示“球队赢球”.则甲出场时，球队赢球的概率为：所以甲出场比赛时，球队输球的概率为：.【小问2详解】因为.所以.即当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，球员甲担当边锋的概率为.【小问3详解】因为，.因为.所以如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在前卫.17. 如图，点为椭圆的右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点(在的上方)，设点、是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由. 【答案】是定值，理由见解析【解析】【分析】首先求得，而直线不过点，所以设直线的方程为，联立椭圆方程并化简得，（*）从而可知关于的方程有两个解，结合韦达定理以及，可得关系进而求解.【详解】由题意将代入椭圆方程得，从而，因为直线不过点，所以设直线的方程为，椭圆的方程即：，联立直线与椭圆方程，得，整理得，即，（*）而（*）式中的指的是点或点的横纵坐标，令，则关于的方程有两个解，由得，即：，直线的斜率为，是定值.18. 如图所示，在长方体中，在棱上，且（1）若，求平面截长方体所得截面的面积（2）若点满足，求平面与所成夹角的余弦值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）建系，利用坐标运算计算，求出点的位置，然后画出截面，求截面面积即可；（2）利用向量法求平面与平面的夹角即可.【小问1详解】如图建立空间直角坐标系：因为，所以，设，则，由得，解得，即为线段中点，取的中点，连接，明显有，则平面截长方体所得截面为梯形，则，所以则点到的距离为，则截面的面积为；【小问2详解】设，则， ，设面的法向量为，面的法向量为则，取得，取得，所以，则平面与所成夹角的余弦值为.19. 对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.（1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；（2）已知数列为等差数列，若是“数列”，且，求所有可能的取值；若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.【答案】（1）是，理由见解析 （2）可能值为.证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，推得，取，得到，即可求解；（2）若是“数列”，且为等差数列，得到，进而得到存在，使得，求得，得到的值，进而求得的可能值；设数列公差为，得到，求得，鸡儿推得，得到答案.【小问1详解】解：数列的通项公式为，对任意的，都有，取，则，所以 是“数列”.【小问2详解】解：数列为等差数列，若是“数列”，且，则，对任意的，由题意存在，使得，即，显然，所以，即，.所以是8的正约数，即，时，；时；时；时.综上，的可能值为.若对任意，存在，使得成立，所以存在，设数列公差为，则，可得，对任意，则，取，可得，所以数列是“数列”.