2024高考数学专项一题打天下之抛物线(共25问).pdf
一题打天下之抛物线(共25问)一题打天下之抛物线(共25问)题干题干：已知动圆过定点(4,0)，且在y轴上截得的弦长为8考点1：求标准方程(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；考点2：抛物线的定义(1)已知点F(2,0),若P为轨迹C 的点，且 PF=4，求P的坐标(注意通径)(2)已知点F(2,0),若P为轨迹C 的点，且P到y轴的距离为4，求 PF(3)抛物线具有如下光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，生活中的探照灯就是利用这个原理设计的，已知 F 是轨迹 C 的焦点，从F 发出的光线经C 上的点M 反射后经过点(6,4 2),求 FM(4)已知点F(2,0),点P 为轨迹C 上第一象限内的一点，作PM 垂直于直线l：x=-2，交直线l于M，若PF 的斜率为3,求MF答案8(5)M 为轨迹C 上的点，且FM 的延长线交y轴于N，若M 为FN 的中点，求FN 的长（答案6）(6)已知 P 为直线 l：x=-2 上的一点，作 PA PF 交 y 轴负半轴于 A 点，连接 AF 交轨迹C 于B 点，若PB x轴，求FA的长（答案6,斜边上的中线为斜边的一半）12024高考数学专项一题打天下之抛物线(共25问)(7)已知点 F(2,0),直线 l 过点 F 且与轨迹 C 交于 P、Q 两点，且若 PF=3FQ，求直线 l的方程（三种方法）(8)若轨迹 C 的焦点为 F，准线为 l，M 是 l 上一点，N 是直线 MF 与 C 的一个交点，若FM=4FN，求|NF|的长考点3：抛物线中的最值问题(1)若点P是轨迹C 上的一个动点，求点P到点(3，0)的距离的最小值(2)已知点F(2,0),T(3，4)，P是轨迹C 上的一动点，求 PF+PT的最小值(3)已知P是轨迹C 上的一动点,求点P到直线y=x+4和y轴的距离之和的最小值(4)若点P 是轨迹C 上的一个动点，点 Q是圆(x-3)2+y2=1的动点，则求 PQ的最小值2(5)点P是轨迹C 上的一个动点，求点P到直线y=x+4的距离的最小值考点3：直线与抛物线的位置关系(1)过点(-2，0)的直线与轨迹C 只有一个公共点，求此直线方程(2)已知点F(2,0),直线l过点F 且与轨迹C 交于P、Q两点，且 PQ=16，求直线l的方程(3)已知点F(2,0),直线y=x-1交轨迹C 交于P、Q两点，求PQ的中点坐标(4)已知点F(2,0),斜率为2的直线l与轨迹C 的交点为A,B，与x轴的交点为P，若AP=2PB,求ABF 的周长和面积(5)已知点 F(2,0),求证：命题“如果直线 l 过点 F 且与轨迹 C 交于 P、Q 两点，那么OP OQ=-12恒成立”是真命题3(6)写出(4)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。(7)已知点D(-1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C 交于不同的两点 P，Q，若x轴是PDQ的角平分线，证明：直线l过定点.(8)若P,Q是轨迹C 上异于O的两点，且直线OP,OQ的斜率之积为-2,求证：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标答案（4，0）(9)过点(1,0)且不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P,Q,在 x 轴上是否存在点D,使得kDP+kDQ为定值，若存在请求出D的坐标及定值，若不存在请说明理由(10)动直线 l 恒过点 M(0,1)与轨迹 C 交于 A、B 两点，与 x 轴交于 C 点，请你观察并判断：在线段MA，MB，MC，AB 中，哪三条线段的长总能构成等比数列？说明你的结论并给出证明(11)过点T 的直线l与轨迹C 有且只有一个公共点，直线 l平行于 OT 交轨迹C 于不同的两点 A,B,且与直线 l 交于点 S,是否存在常数 m，使得 ST2=m SA SB?若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由(切割线定理)4一题打天下之数列一题打天下之数列(共共2828问问)题干题干：已知数列2an是公比为4的等比数列，且满足a2,a4,a7成等比数列，Sn为数列bn的前n项和，且bn是1和Sn的等差中项考点1：求数列的通项公式(1)求证数列an为等差数列并求数列an的通项公式(明确等差等比求通项)(2)若数列Sn+t为等比数列，求t的值并求Sn的通项公式(构造数列求通项)(3)求数列bn的通项公式(给Sn求通项)考点2：数列求和(1)求数列an的前n项和，并求其最值(明确等差等比求和)(2)求数列an+bn的前n项和(分组求和)(3)若cn=2an+log2bn，求数列cn的前n项和(分组求和)1(4)求数列an+an+1的前n项和（直接公式法）(5)求数列(1)nan的前2n项的和(错位相减法，并项求和法，分组求和法)(6)求数列(1)nbn的前2n项的和(并项求和法，分组求和法，直接公式法，错位相加法)(7)设cn=log2(1+Sn)，求数列1cncn+1 的前n项和(等差型裂项相消法)(8)求数列1anan+1 的前n项和(等差型裂项相消法)(9)若数列an的前n项和为Tn，求数列1Tn+4 的前n项和(等差型裂项相消法)(10)记cn=(1)na2n+3anan+1，求数列cn的前2n项和(另类裂项相消法)（11）记cn=bn+1(bn+1-1)(bn+2-1),求数列cn的前n项和(指数型裂项相消法)2(12)求数列anbn的前n项和(错位相减法，裂项相消法，公式法，待定系数法)(13)若cn=2anlog2bn，求数列cn的前n项和(错位相减法，裂项相消法，公式法，待定系数法)(14)求数列a2n-1b2n-1的前n项和(错位相减法，裂项相消法，公式法，待定系数法)(15)求数列(-1)nanbn 的前 n 项和(错位相减法，裂项相消法，公式法，待定系数法，分组求和法)3(16)若cn=an,n为奇数bn，n为偶数，求数列cn的前2n项和(分组求和)（17）定义a*b=a,abb,ab,记cn=an*bn,求数列 cn的前n项和（分段数列）解：由anbn即2n+42n-1解得n44即a1b1,a2b2,a3b3,a4b4,a5b5,.当n4时c1+c2+c3+.+cn=b1+b2+b3+b4+a5+a6+.+an=(b1+b2+b3+b4)+(a5+a6+.+an)(18)若数列cn满足c1=1,cn+cn+1=an,nN*，求数列cn的前2n项和(并项求和，隔项分组求和)(19)若数列cn满足c1=1,cncn+1=bn,nN*，按照如下规律构造新数列dn：a1,c2,a3,c4,a5,c6.，求新数列dn的前2n项和(奇偶项分组求和)(20)若数列 cn 是由数列 an 中的项依次剔除与 bn 的公共项剩下的部分组成，求数列cn的前100项和(分组求和)(21)若数列 cn 是由数列 an 中的项与 bn 中的项由小到大排序组成的，求数列 cn的前20项和(分组求和)4考点3：数列的和与不等式(1)记cn=2nSnSn+1，Tn=c1+c2+.+cn，试比较Tn与1的大小(裂项相消法)(2)求满足1b1+1b2+1b3.+1bn14(b1+b2+b3+.+bn)的正整数n的集合(数列的和与不等式)(3)记数列anbn 的前n项和为Tn，求证：6Tnb,记cn=an*bn,求数列 cn的前n项和(18)若数列cn满足c1=1,cn+cn+1=an,nN*，求数列cn的前2n项和(并项求和，隔项分组求和)(19)若数列cn满足c1=1,cncn+1=bn,nN*，按照如下规律构造新数列dn：a1,c2,a3,c4,a5,c6.，求新数列dn的前2n项和(分组求和)(20)若数列 cn 是由数列 an 中的项依次剔除与 bn 的公共项剩下的部分组成，求数列cn的前100项和(分组求和)(21)若数列 cn 是由数列 an 中的项与 bn 中的项由小到大排序组成的，求数列 cn的前20项和(分组求和)考点3：数列的和与不等式(1)记cn=2nSnSn+1，Tn=c1+c2+.+cn，试比较Tn与1的大小(裂项相消法)(2)求满足1b1+1b2+1b3.+1bn14(b1+b2+b3+.+bn)的正整数n的集合(数列的和与不等式)4(3)记数列anbn 的前n项和为Tn，求证：6Tn16(数列的和与不等式)(4)设数列 anbn的前n项和为Tn，若不等式Tn-t2n0对于nN*恒成立，求t的取值范围5
