广东省佛山市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（含解析）.docx

20222023学年下学期佛山市普通高中教学质量检测高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的展开式中常数项是( )A. 0B. 1C. 2D. 32. 四名志愿者到3个小区开展防诈骗宣传活动，向社区居民普及防诈骗、反诈骗的知识.每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有( )A. 18种B. 30种C. 36种D. 72种3. 吹气球时，气球的半径(单位：dm)与体积(单位：L)之间的函数关系是，估计时气球的膨胀率为( )(参考数据：)A. 0.2B. 0.6C. 1D. 1.24. 对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如下图所示，模型误差( )A. 满足一元线性回归模型的所有假设B. 不满足一元线性回归模型的的假设C. 不满足一元线性回归模型的假设D. 不满足一元线性回归模型的和的假设5. 如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到(转到角不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是A. B. C. D. 6. 如图，某单位计划在办公楼前的一个花坛的A、B、C、D四个区域重新种花.现有红、蓝、黄、白四种颜色的花可选择，一个区域只种一种颜色的花，且相邻的两个区域不能种同一种颜色的花，则共有( )种不同的种植方案. A. 36B. 48C. 72D. 847. 已知等比数列的公比大于1，且，等差数列满足，则( )A. 2026B. 4050C. 4052D. 40548. 已知函数，若，且，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 已知，则( )A. B. C. D. 10. 三名男生和四名女生，按照不同的要求站成一排，则( )A. 任何两名男生不相邻的排队方案有1440种B. 若3名男生的顺序一定，则不同的排队方案有210种C. 甲不站左端，乙不站右端的排队方案有3720种D. 甲乙两名同学之间恰有2人的不同排队方案有960种11. 事件A，B满足，则( )A. B. C. D. 12. 记等差数列的n和为，数列的前k 项和为，则( )A. 若，均有，则B. 若当且仅当时，取得最小值，则C. 若且，则当且仅当时，取得最小值D. 若和时，取得最小值，则，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设随机变量，则_.14. 已知成对样本数据，中，不全相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数_.15. 已知直线是曲线切线，则实数的值为_16. 河图、洛书是我国古代流传下来两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”.洛书是世界上最古老的三阶幻方(一般地，将连续的正整数1，2，3，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方).记n阶幻方的数之和为，则_，若，则n的最小值为_. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某商家为了提高服务质量，专门开设了顾客反馈热线电话.热线电话共有3个分机专供与顾客通话.设每个分机在每一时刻占线的概率为，并且各个分机是否占线是相互独立的.(1)求在某一时刻恰好有一个分机占线的概率；(2)求任一时刻占线的分机个数X的分布列与数学期望.18. 已知函数.(1)讨论的单调性；(2)求在区间上的最小值与最大值.19. 记数列前n项和为，已知，.(1)求的通项公式；(2)若对任意，求m的最小整数值.20. ChatGPT作为一个基于大型语言模型的聊天机器人，最近成为全球关注的焦点.ChatGPT是一个超强的AI，它能像人类一样聊天交流，甚至能完成撰写邮件、文案、写论文、答辩、编程等任务.专家预言，随着人工智能技术的发展，越来越多的职业可能会被ChatGPT或其他类似的人工智能工具所取代.某地区为了了解ChatGPT的普及情况，统计了该地区从2023年1月至5月使用ChatGPT的用户人数y(万人)，详见下表：x(月份)12345y(万人)3.66.411.718.827.5(1)根据表中数据信息及模型与模型，判断哪一个模型更适合描述变量x和y变化规律(无需说明理由)，并求出y关于x的经验回归方程；(2)为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来职业结构变化的自信程度(分为“基本适应”和“不适应”)是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300人进行调查，调查数据如下表：基本适应不适应年龄小于30岁10050年龄不小于30岁7575根据小概率的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关.附参考数据：，；，.15559796826411220.150.10.050.0250.010.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82821. 机动车辆保险即汽车保险(简称车险)，是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险.机动车辆保险一般包括交强险和商业险两部分，其中商业险包括基本险和附加险.经验表明新车商业险保费(单位：元)与购车价格(单位：元)近似满足函数，且上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率.佛山市某机动车辆保险公司将上一年的出险次数与下一年的保费倍率的具体关系制作如下表格：上一年出险次数012345次以上(含5次)下一年保费倍率85%100%125%150%175%200%连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折王先生于2021年3月份购买了一辆30万元的新车，一直到2022年12月没有出过险，但于2023年买保险前仅出过两次险.(1)王先生在2023年应交商业险保费多少元？(2)保险公司计划为前来续保的每一位车主提供抽奖的机会，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励100元的奖券，抽到黑球则奖励50元的奖券，第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励50元的奖券，车主所获得的奖券可以抵扣续保费.为了激励车主谨慎驾驶，保险公司规定：上一年没有出险的车主可以抽奖6次，车主每增加一次出险就减少一次抽奖机会.记车主第i次抽奖所得的奖券数额的数学期望为.(i)写出与的递推关系式(其中且)；(ii)若按照保险公司的计划，且王先生不放弃每一次抽奖机会，王先生在2023年续保商业险时，实际支付保费的期望值为多少？22. 已知函数.(1)当时，证明：；(2)若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围.20222023学年下学期佛山市普通高中教学质量检测高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的展开式中常数项是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后由的次数为零，求出，从而可求出常数项.【详解】的展开式的通项公式为，令，得，所以的展开式中常数项是，故选：D2. 四名志愿者到3个小区开展防诈骗宣传活动，向社区居民普及防诈骗、反诈骗的知识.每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有( )A. 18种B. 30种C. 36种D. 72种【答案】C【解析】【分析】将四名志愿者分成三个组，其中一组为2人，再由排列组合知识求解.【详解】不同的安排方法共有种.故选：C3. 吹气球时，气球的半径(单位：dm)与体积(单位：L)之间的函数关系是，估计时气球的膨胀率为( )(参考数据：)A. 0.2B. 0.6C. 1D. 1.2【答案】A【解析】【分析】先对函数求导，再求出导数值即可得到结果.【详解】因为，所以，当时，.故选：A4. 对于变量Y和变量x成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如下图所示，模型误差( )A. 满足一元线性回归模型的所有假设B. 不满足一元线性回归模型的的假设C. 不满足一元线性回归模型的假设D. 不满足一元线性回归模型的和的假设【答案】C【解析】分析】根据用一元线性回归模型有关概念即可判断.【详解】解：用一元线性回归模型得到经验回归模型，根据对应的残差图，残差的均值可能成立，但明显残差的轴上方的数据更分散，不满足一元线性回归模型，正确的只有C.故选：C.5. 如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到(转到角不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可知：S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即可.【详解】观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求.故选D.【点睛】本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 如图，某单位计划在办公楼前的一个花坛的A、B、C、D四个区域重新种花.现有红、蓝、黄、白四种颜色的花可选择，一个区域只种一种颜色的花，且相邻的两个区域不能种同一种颜色的花，则共有( )种不同的种植方案. A. 36B. 48C. 72D. 84【答案】D【解析】【分析】考虑选用两种颜色的花，三种颜色的花，四种颜色的花，利用排列组合知识求出答案后相加即可.【详解】若选用两种颜色的花，则有种选择，选择的两种颜色的花种在对角位置，有两种选择，故共有种选择，若选用三种颜色的花，则有种选择，必有一个对角位置使用同种颜色的花，先选择一个对角，再从三种颜色的花中选择一种，有种选择，另外的对角位置选择不同位置的花，有种选择，共有种选择，若选用四种颜色的花，则有种选择，综上：共有种选择.故选：D7. 已知等比数列的公比大于1，且，等差数列满足，则( )A. 2026B. 4050C. 4052D. 4054【答案】B【解析】【分析】设出公比和公差，根据题目条件得到，求出，从而求出，进而求出公比，由求出公差，求出，得到答案.【详解】设的公比为，的公差为，因为，所以，因为，所以，解得，故，故，即，解得或(舍去)，则，又，故，则，所以.故选：B8. 已知函数，若，且，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据的单调性，将问题转化为在单调递增，求导，构造利用导数确定函数的单调性，即可求解.【详解】由于 均为单调递增函数，所以为上的单调递增函数，由，且，则，故，故，即，令，则由，且，则，故在单调递增，对任意的恒成立，令，由于均为单调递增函数，所以为单调递增函数，又当趋向于1时，趋向于，而趋向于时趋向于，故存在唯一的实数，使得，即，则当故在单调递减，在单调递增，故当时，取极小值也是最小值，由于对任意的恒成立，所以，记，所以在上单调递减，又，故当，当，又，所以又，所以，由于在单调递增，所以，故，又，故，故选：B【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.二、选择题：本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 已知，则( )A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据二项式定理求出展开式，再逐一判断即可.【详解】，又，所以，所以，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选：BC.10. 三名男生和四名女生，按照不同的要求站成一排，则( )A. 任何两名男生不相邻的排队方案有1440种B. 若3名男生的顺序一定，则不同的排队方案有210种C. 甲不站左端，乙不站右端的排队方案有3720种D. 甲乙两名同学之间恰有2人的不同排队方案有960种【答案】ACD【解析】【分析】对于排列问题，按照先特殊后一般，分类分步进行即可.【详解】选项A：即不相邻问题(插空法)：先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有种排法，选项A正确；选项B：先排女生共种排法，3名男生顺序一定，排进最后三个位置，只有这1种情况，则共有种排队方案，选项B错误；选项C：排法有种，其中是甲在左端或乙在右端的排法，是甲在左端且乙在右端的排法，选项C正确；选项D：(捆绑法)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故共有种排法，选项D正确；故选：ACD.11. 事件A，B满足，则( )A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据条件概率的计算可得，进而根据并事件的概率求解A，根据条件概率的计算即可求解BCD.【详解】由得,故A正确，所以,故B正确，,故C正确，对于D，,故D错误，故选：ABC12. 记等差数列的n和为，数列的前k 项和为，则( )A. 若，均有，则B. 若当且仅当时，取得最小值，则C. 若且，则当且仅当时，取得最小值D. 若和时，取得最小值，则，【答案】BD【解析】【分析】由等差数列的通项公式和求和公式，结合数列的单调性和等差数列的性质，可得结论；【详解】选项A：等差数列的前n和为，因为，所以，所以从第二项开始，故正负不确定，不一定成立，选项A错误；选项B：当时，取得最小值，所以数列是首项为负，慢慢递增的数列，且有，则有，故有，选项B正确；选项C：，解得：，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，先减后增，由题意知 ，当时，取得最小值，选项错误；选项D：当和时，取得最小值，故先减后增， 且，故，选项D正确；故选：BD【点睛】关键点睛：熟练掌握并应用等差数列求和公式是本题的关键，结合等差数列的性质，将题目转化为对具体项正负的判断是本题的解题关键和突破点；三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设随机变量，则_.【答案】0.15#【解析】【分析】根据正态分布的对称性得到答案.【详解】因为，由对称性可知.故答案为：0.1514. 已知成对样本数据，中，不全相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数_.【答案】1【解析】【分析】由所有样本点都在一条直线上，结合相关系数的意义，可得出答案.【详解】由题意，所有样本点都在直线上，所以这组样本数据完全负相关，即相关系数为.故答案为：.15. 已知直线是曲线的切线，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】本题先设切点得到切线方程，再根据其过原点，代入解出切点横坐标，最后得到值即可.【详解】若，则，设曲线上切点的坐标为，则切点处切线的斜率，此时切线方程为：，切线为，则切线过坐标原点，即：,解得：，则：.故答案为：.16. 河图、洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”.洛书是世界上最古老的三阶幻方(一般地，将连续的正整数1，2，3，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方).记n阶幻方的数之和为，则_，若，则n的最小值为_. 【答案】 . 136 . 8【解析】【分析】根据题意可得连续的正整数1，2，3，构成一个公差为1，首项为1的等差数列，然后利用等差数列的求和公式求解即可.【详解】因为正整数1，2，3，构成一个公差为1，首项为1的等差数列，且记n阶幻方的数之和为，所以，所以，由，得，因为当时，当时，且当时，随的增大而增大，所以当时，的最小值为8，故答案为：136，8四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某商家为了提高服务质量，专门开设了顾客反馈热线电话.热线电话共有3个分机专供与顾客通话.设每个分机在每一时刻占线的概率为，并且各个分机是否占线是相互独立的.(1)求在某一时刻恰好有一个分机占线的概率；(2)求任一时刻占线的分机个数X的分布列与数学期望.【答案】(1). (2)分布列见解析，数学期望为1.【解析】【分析】(1)根据独立重复试验的概率公式可求出结果；(2)根据二项分布的概率公式求出概率，得分布列，再根据数学期望公式可得数学期望.【小问1详解】设事件“恰好有一个分机占线”， 则.【小问2详解】由于各个分机是否占线是相互独立的，则， 所以，. 故X的分布列为：X0123P所以X的期望.18. 已知函数.(1)讨论的单调性；(2)求在区间上的最小值与最大值.【答案】(1)在区间上单调递减，在区间和上单调递增 (2)的最大值为2，最小值为1【解析】【分析】(1)利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间；(2)分析函数在区间上的单调性，进而可求得函数在区间上的最大值和最小值.【小问1详解】由题知，所以，令，解得或. 当x变化时，的变化情况如下表所示.x200由表可知在区间上单调递减，在区间和上单调递增.【小问2详解】由(1)知，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，所以函数的极大值为，极小值为，又， 所以，函数在上的最大值为2，最小值为1.19. 记数列的前n项和为，已知，.(1)求的通项公式；(2)若对任意，求m的最小整数值.【答案】(1) (2)2【解析】【分析】(1)由与的关系结合等差定义得出；(2)法一，由错位相减法，结合不等式的性质得出m的最小整数值；法二，令，证明是常数列，从而得出,结合不等式的性质得出m的最小整数值；【小问1详解】因为，所以， 两式相减得，即， 又，所以， 所以是首项为3，公差为2的等差数列， 所以.【小问2详解】(法一)因为，设，所以，两式相减得： ，所以，因为，所以m的最小整数值是2. (法二)设，则， 所以， 所以，所以，即是常数列.所以，所以. 因为，所以m的最小整数值是2.20. ChatGPT作为一个基于大型语言模型的聊天机器人，最近成为全球关注的焦点.ChatGPT是一个超强的AI，它能像人类一样聊天交流，甚至能完成撰写邮件、文案、写论文、答辩、编程等任务.专家预言，随着人工智能技术的发展，越来越多的职业可能会被ChatGPT或其他类似的人工智能工具所取代.某地区为了了解ChatGPT的普及情况，统计了该地区从2023年1月至5月使用ChatGPT的用户人数y(万人)，详见下表：x(月份)12345y(万人)3.66.411.718.827.5(1)根据表中数据信息及模型与模型，判断哪一个模型更适合描述变量x和y的变化规律(无需说明理由)，并求出y关于x的经验回归方程；(2)为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度(分为“基本适应”和“不适应”)是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300人进行调查，调查数据如下表：基本适应不适应年龄小于30岁10050年龄不小于30岁7575根据小概率的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关.附参考数据：，；，.15559796826411220.150.10.050.0250.010.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)模型， (2)认为该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有关【解析】【分析】(1)根据数据分析，函数和一次函数模型差距较大，选择模型：. 然后结合线性回归分析，求得函数;(2)列联表，计算卡方，然后对比的数据，做出判断即可；【小问1详解】选择模型：. 记，则. 由题知，所以，所以，即y关于x的回归方程为.【小问2详解】由题意，得到列联表：基本适应不适应合计年龄不小于30岁7575150年龄小于30岁10050150合计175125300， 根据的独立性检验，认为该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.21. 机动车辆保险即汽车保险(简称车险)，是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险.机动车辆保险一般包括交强险和商业险两部分，其中商业险包括基本险和附加险.经验表明新车商业险保费(单位：元)与购车价格(单位：元)近似满足函数，且上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率.佛山市某机动车辆保险公司将上一年的出险次数与下一年的保费倍率的具体关系制作如下表格：上一年出险次数012345次以上(含5次)下一年保费倍率85%100%125%150%175%200%连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折王先生于2021年3月份购买了一辆30万元的新车，一直到2022年12月没有出过险，但于2023年买保险前仅出过两次险.(1)王先生在2023年应交商业险保费多少元？(2)保险公司计划为前来续保的每一位车主提供抽奖的机会，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励100元的奖券，抽到黑球则奖励50元的奖券，第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励50元的奖券，车主所获得的奖券可以抵扣续保费.为了激励车主谨慎驾驶，保险公司规定：上一年没有出险的车主可以抽奖6次，车主每增加一次出险就减少一次抽奖机会.记车主第i次抽奖所得的奖券数额的数学期望为.(i)写出与的递推关系式(其中且)；(ii)若按照保险公司的计划，且王先生不放弃每一次抽奖机会，王先生在2023年续保商业险时，实际支付保费的期望值为多少？【答案】(1)元 (2)(i)，；(ii)【解析】【分析】(1)首先求出2022年3月份王先生需交商业险费，即可求出在2023年应交商业险保费；(2)(i)首先求出，再由整理可得；(ii)由(i)可得，则是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式，从而求出抽奖获得奖券数额的期望值之和，即可得解.【小问1详解】王先生于2021年买新车时需交商业险为：元， 由于2021年3月份至2022年3月份没有出险，所以2022年3月份王先生需交商业险费为：元， 但2023年买保险前出过两次险，故王先生在2023年3月应交商业险费为：元.【小问2详解】(i)因为袋中装有6个红球和4个黑球，所以从中任意抽取一个是红球的概率为，是黑球的概率为，所以， 当时，车主第次抽到奖券数额的期望为，且；(ii)由(i)知，当时，即，而，因此是以为首项，为公比的等比数列，所以，即， 由于王先生在2023年买保险前出过两次险，故续保时只有次抽奖机会，所以次抽奖获得奖券数额的期望值之和为， 按照保险公司的计划，王先生在2023年续保商业险时，实际支付保费的期望值为：元.22. 已知函数.(1)当时，证明：；(2)若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)证明见解析； (2)【解析】【分析】(1)变形所证不等式，构造函数，利用导数探讨单调性推理作答.(2)由函数零点的意义，分离参数并构造函数，再利用导数求出函数的值域作答.【小问1详解】函数，不等式，令函数，求导得，当时，函数单调递减，即有函数单调递增，当时，则有，因此，成立，于是函数在上单调递增，则，即，所以当时，不等式成立.【小问2详解】当时，由得，令，求导得，令，求导得，即函数在上单调递减，于是，函数在上单调递减，而当时，函数在上单调递减，其值域为，因此函数在上的值域为，则函数在上只有一个零点，当且仅当，即，所以a的取值范围为.【点睛】关键点睛：涉及函数零点求参数问题，利用函数零点的意义等价变形等式，构造函数，利用导数探求新函数零点问题解决.