江苏省镇江市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含解析）.docx

2022-2023学年江苏省镇江市高一(上)期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，则( )A. B. C. D. 2. 命题“对任意，都有”的否定为( )A. 存在，使得B. 不存在，使得C. 存在，使得D. 存在，使得3. 幂函数为偶函数，且在上为减函数的是( )A. B. C. D. 4. 已知方程的解在内，则( )A. 0B. 1C. 2D. 35. 中国折扇有着深厚的文化底蕴.用黄金分割比例设计一把富有美感的纸扇，如图所示，在设计折扇的圆心角时，可把折扇考虑为从一圆形(半径为)分割出来的扇形，使扇形的面积与圆的面积的乘积等于剩余面积的平方.则扇形的圆心角为( )A. B. C. D. 6. 若，则a，b，c的大小关系为( )A. B. C. D. 7. 函数的图象大致是( )A B. C D. 8. 已知函数，正实数a，b满足，则的最小值为( )A. 2B. 4C. 6D. 8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题为真命题的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则10. 已知，则下列等式正确的是( )A B. C. D. 11. 已知函数，下列结论正确的是( )A 函数恒满足B. 直线为函数图象的一条对称轴C. 点是函数图象的一个对称中心D. 函数在上为增函数12. 已知函数，则下列结论正确的有( )A. 若为锐角，则B. C. 方程有且只有一个根D. 方程的解都在区间内三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. _.14. 已知函数对任意实数恒成立，则实数的范围为_.15. 已知某种果蔬的有效保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：)近似满足函数关系(a，b为常数，e为自然对数底数)，若该果蔬在7的保鲜时间为216小时，在28的有效保鲜时间为8小时，那么在14时，该果蔬的有效保鲜时间大约为_小时.16. 已知函数，则的值域为_函数图象的对称中心为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合，.(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.18. 已知，.(1)求的值；(2)若角的终边与角关于轴对称，求的值.19. 用“五点法”作函数在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据：0020d0(1)请根据上表数据，求出函数的表达式并写出表内实数a，b，c，d的值；(2)请在给定的坐标系内，作出函数在一个周期内的图象；(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围.20. 已知函数(且).(1)求函数的奇偶性；(2)若关于方程有实数解，求实数的取值范围.21. 某企业参加国际商品展览会，向主办方申请了平方米的矩形展位，展位由展示区(图中阴影部分)和过道(图中空白部分)两部分组成，其中展示区左右两侧过道宽度都为米，前方过道宽度为米.后期将对展位进行装修，其中展示区的装修费为元/平方米，过道的装修费为元/平方米.记展位的一条边长为米，整个展位的装修总费用为元.(1)请写出装修总费用关于边长的表达式；(2)如何设计展位的边长使得装修总费用最低?并求出最低费用.22. 已知函数，.(1)判断并证明在上的单调性；(2)当时，都有成立，求实数的取值范围；(3)若方程在上有个实数解，求实数的取值范围.2022-2023学年江苏省镇江市高一(上)期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出，进而求出.【详解】，故故选：B2. 命题“对任意，都有”的否定为( )A. 存在，使得B. 不存在，使得C. 存在，使得D. 存在，使得【答案】D【解析】【分析】利用全称量词命题的否定是特称命题可得出结论.【详解】由全称量词命题的否定可知，原命题的否定为“存在，使得”.故选：D.3. 幂函数为偶函数，且在上为减函数是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数性质逐项分析判断.【详解】对A：，则，故为偶函数，且在上为减函数，A正确；对B：的定义域为，即定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，B错误；对C：，故为偶函数，且在上为增函数，C正确；对D：，故为奇函数，D错误.故选：A.4. 已知方程解在内，则( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析运算.【详解】构建，则在定义域内单调递增，故在定义域内至多有一个零点，仅在内存在零点，即方程的解仅在内，故.故选：B.5. 中国折扇有着深厚的文化底蕴.用黄金分割比例设计一把富有美感的纸扇，如图所示，在设计折扇的圆心角时，可把折扇考虑为从一圆形(半径为)分割出来的扇形，使扇形的面积与圆的面积的乘积等于剩余面积的平方.则扇形的圆心角为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算出、，根据已知条件可得出关于的方程，结合可求得的值.【详解】由题意可知，则且，即，整理可得，由题意可知，解得.故选：C.6. 若，则a，b，c的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性可得，根据三角函数的有界性可判断，即可求解.【详解】，所以，故选：B7. 函数的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分析函数的奇偶性及其在上的增长速度，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，当时，当时，故对任意的，所以，函数为偶函数，排除BD选项；当时，则函数在的增长速度快于函数的增长速度，排除C选项.故选：A.8. 已知函数，正实数a，b满足，则的最小值为( )A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】先证明函数为奇函数，由可得，再利用基本不等式求的最小值.【详解】，函数定义域为R，关于原点对称， 所以为奇函数，有，由解析式可以看出单调递增，由，得，即，为正实数，则有，当且仅当即时等号成立，则有，所以，得，当且仅当时等号成立，则的最小值为4.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题为真命题的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】BC【解析】【分析】对A、B、D：根据不等式的性质结合作差法分析判断；对C：根据指数函数单调性分析判断.【详解】对A：当时，若，则；当时，则，A为假命题；对B：，若，则，即，B为真命题；对C：在定义域内单调递增，若，则，C为真命题；对D：，若，则，即，当时，则；当时，则；D为假命题.故选：BC.10. 已知，则下列等式正确的是( )A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】利用同角三角函数的平方关系可判断AB选项；求出、的值，可判断CD选项的正误.【详解】因为，则.对于A选项，可得，A对；对于B选项，由A选项可知，则，所以，则，B对；对于C选项，可得，则，C错；对于D选项，D对.故选：ABD.11. 已知函数，下列结论正确的是( )A. 函数恒满足B. 直线为函数图象的一条对称轴C. 点是函数图象的一个对称中心D. 函数在上为增函数【答案】AC【解析】【分析】根据诱导公式可判断A选项；利用正切型函数的对称性可判断BC选项；利用正切型函数的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项， ， A正确；对于B选项，函数无对称轴，B错；对于C选项，由可得，当时，可得，所以，点是函数图象的一个对称中心，C对；对于D选项，当时，所以，函数在上不单调，D错.故选：AC.12. 已知函数，则下列结论正确的有( )A. 若为锐角，则B. C. 方程有且只有一个根D. 方程的解都在区间内【答案】BCD【解析】【分析】对A：利用放缩可得；对B：利用做差法分析判断；对C：根据函数的单调性分析判断；对D：分类讨论，结合零点存在性定理分析判断.【详解】对A：若为锐角，则，可得，故，A错误；对B：当时，故，即，B正确；对C：，且在上单调递增，解得，C正确；对D：构建，则在上连续不断，则有：当时，则，故，可得在内无零点；当时，则，故，可得在内无零点；当时，则，故在区间内存在零点；综上所述：只在区间内存在零点，即方程的解都在区间内，D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：判断函数零点的方法(1)直接求零点：令f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点(3)数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. _.【答案】#【解析】【分析】利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值.【详解】原式.故答案：.14. 已知函数对任意实数恒成立，则实数的范围为_.【答案】【解析】【分析】对任意实数恒成立，则，讨论与0的大小可得答案.【详解】因对任意实数恒成立，则.当时，符合题意；当时，；当时，.综上，.故答案为：15. 已知某种果蔬的有效保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：)近似满足函数关系(a，b为常数，e为自然对数底数)，若该果蔬在7的保鲜时间为216小时，在28的有效保鲜时间为8小时，那么在14时，该果蔬的有效保鲜时间大约为_小时.【答案】72【解析】【分析】根据题意列出方程组，求出，确定函数解析式，再代入求值即可.【详解】由题意得：，÷得：，故，则，故故当时，.故答案为：7216. 已知函数，则的值域为_函数图象的对称中心为_.【答案】 . . 【解析】【分析】将函数的解析式变形为，结合不等式的基本性质可求得的值域；利用函数对称性的定义可求得函数的对称中心的坐标.【详解】因为，则，所以，所以，函数的值域为，因为，则，因此，函数图象的对称中心为.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合，.(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)分别解出集合中的不等式，得到两个集合，再取交集；(2)依题意有有，列方程组求实数的取值范围.【小问1详解】，若，.【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，有A是B的真子集可得等号不同时取，解得，所以实数的取值范围为18. 已知，.(1)求的值；(2)若角的终边与角关于轴对称，求的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)利用平方关系式求出和，再根据商数关系式求出；(2)根据角的终边与角关于轴对称，推出，再根据诱导公式化简所求式子，代入可求出结果.【小问1详解】因为，所以，由，得，得，得，得或，当时，由得，不符合题意；当时，由得，所以.小问2详解】若角的终边与角关于轴对称，则，即，所以,.19. 用“五点法”作函数在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据：0020d0(1)请根据上表数据，求出函数的表达式并写出表内实数a，b，c，d的值；(2)请在给定的坐标系内，作出函数在一个周期内的图象；(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)， (2)图象见详解 (3)【解析】【分析】(1)根据表中数据结合正弦函数性质运算求解；(2)根据题意结合五点作图法作图；(3)以为整体，结合正弦函数求的值域，再结合存在性问题分析求解.【小问1详解】由题意可得：，即，设函数的最小正周期为，则，即，可得，解得，故，.【小问2详解】补全表格得：00200则函数在一个周期内的图象如图所示：【小问3详解】，则，可得，若存在，使得成立，则，即，故实数的取值范围.20. 已知函数(且).(1)求函数的奇偶性；(2)若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.【答案】(1)奇函数 (2)【解析】【分析】(1)求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义可得出结论；(2)由可得出，求出函数在上的值域，可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：对于函数，有，则，解得，所以函数的定义域为，故函数为奇函数.【小问2详解】解：由可得，则，令，其中，因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数，当时，因此，实数的取值范围是.21. 某企业参加国际商品展览会，向主办方申请了平方米的矩形展位，展位由展示区(图中阴影部分)和过道(图中空白部分)两部分组成，其中展示区左右两侧过道宽度都为米，前方过道宽度为米.后期将对展位进行装修，其中展示区的装修费为元/平方米，过道的装修费为元/平方米.记展位的一条边长为米，整个展位的装修总费用为元.(1)请写出装修总费用关于边长的表达式；(2)如何设计展位的边长使得装修总费用最低?并求出最低费用.【答案】(1)，其中 (2)当展位区域是边长为米的矩形区域时，装修费用最低为元【解析】【分析】(1)设展位靠墙的一边边长为米，则展示区靠墙的一边的边长为米，计算出展示区的面积，即可得出装修总费用关于边长的表达式；(2)利用基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件可得出结论.【小问1详解】解：设展位靠墙的一边边长为米，则展示区靠墙的一边的边长为米，展示区另一边边长为米，由可得，所以，即，其中.【小问2详解】解：由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，当展位区域是边长为米的矩形区域时，装修费用最小为元.22. 已知函数，.(1)判断并证明在上的单调性；(2)当时，都有成立，求实数的取值范围；(3)若方程在上有个实数解，求实数的取值范围.【答案】(1)函数在上为增函数，证明见解析 (2) (3)【解析】【分析】(1)判断出函数在上为增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；(2)令，由可得出，利用对勾函数的单调性可求得实数的取值范围；(3)令，令，分析可知函数在上有两个不等的零点，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.【小问1详解】证明：任取、且，则，所以，所以，函数在上为增函数.【小问2详解】解：当时，令，则，则，由可得，因为函数在上单调递增，所以，所以，实数的取值范围是.【小问3详解】解：对任意的，所以，函数为偶函数，由(1)可知，函数在上为增函数，则该函数在上为减函数，令，当时，则，由可得，令，则函数在上有两个不等的零点，所以，解得.因此，实数的取值范围是.