2024高考数学中专项千锤百炼之含有条件概率的随机变量问题.pdf

1千锤百炼之含有条件概率的随机变量问题一、基础知识：1、条件概率：事件B在事件A已经发生的情况下，发生的概率称为B在A条件下的条件概率，记为|B A2、条件概率的计算方法：（1）按照条件概率的计算公式：|P ABP B AP A（2）考虑事件A发生后，题目产生了如何的变化，并写出事件B在这种情况下的概率例如：5 张奖券中有一张有奖，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲没有中奖，则乙中奖的概率：按照（1）的方法：设事件A为“甲没中奖”，事件B为“乙中奖”，则所求事件为|B A，按照公式，分别计算,P ABP A，利用古典概型可得：25415P ABA，45P A，所以 1|4P ABP B AP A按照（2）的方法：考虑甲已经抽完了，且没有中奖，此时还有 4 张奖券，1 张有奖。那么轮到乙抽时，乙抽中的概率即为143、含条件概率的乘法公式：设事件,A B，则,A B同时发生的概率|P ABP AP B A，此时|P B A通常用方案（2）进行计算4、处理此类问题要注意以下几点：（1）要分析好几个事件间的先后顺序，以及先发生的事件对后面事件的概率产生如何的影响（即后面的事件算的是条件概率）（2）根据随机变量的不同取值，事件发生的过程会有所不同，要注意区别（3）若随机变量取到某个值时，情况较为复杂，不利于正面分析，则可以考虑先求出其它取值时的概率，然后用间接法解决。二、典型例题：例 1：袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到的球的编号为2，则把该球编号记下再把编号数改为 1 后放回袋中继续取球；若取到的球的编号为奇数，则取球停止，取球停止后用X表示“所有被取球的编号之和”（1）求X的分布列（2）求X的数学期望及方差思路：（1）依题意可知如果取球取出的是1,3，则取球停止，此时X的值为 1 或 3；当取球取出的是 2 号球时，按2024高考数学中专项千锤百炼之含有条件概率的随机变量问题2照规则要改为 1 号球放进去重取，再取时只能取到 1 或 3，所有编号之和X的值为3,5，所以可知X可取的值为1,3,5，当1X 时，意味着直接取到了 1 号球（概率为13）；当3X 时，分为两种情况，一种为直接取到 3（概率为13），另一种为取到了 2（概率为13），改完数字后再取到 1（概率为23）；当5X 时，为取到了 2（概率为13），改完数字后再取到 3（概率为13），从而可计算出概率。进而得到分布列与期望方差解：（1）X可取的值为1,3,5113P X11 25333 39P X 1 1153 39P X X的分布列为：X135P135919（2）151231353999E X （）22212352312317613539999981D X（）例 2：深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有 6 个篮球，其中 3 个是新球(即没有用过的球)，3 个是旧球(即至少用过一次的球)每次训练，都从中任意取出 2 个球，用完后放回（1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率（1）思路：第一次训练时所取得球是从 6 个球（3 新，3 旧）中不放回取出 2 个球，所以可判断出服从超几何分布，即可利用其公式计算概率与分布列，并求得期望解：可取的值为0,1,22326105CPC113326315CCPC2326125CPC的分布列为：3012P1535151310121555E （）（2）思路：本题要注意一个常识，即新球训练过后就变成了旧球，所以要计算第二次恰好取到一个新球的概率，需要了解经过第一次训练后，所剩的球有几个新球，几个旧球。所以要对第一次取球的情况进行分类讨论：若第一次取 2 个新球，则第二次训练时有 5 旧 1 新；若第一次取到 1 个新球，则第二次训练时有 4 旧 2 新；若第一次取到2 个旧球，则第二次训练依然为 3 旧 3 新，分别计算概率再相加即可解：设事件iA为“第一次训练取出了i个新球”，则23326iiiC CP AC设事件B为“从六个球取出两个球，其中恰好有一个新球”事件C为“第二次恰好取出一个新球”012P CP A BP ABP A B21133300022663|25CCCP A BP AP B ACC1111334211122668|25C CCCP ABP AP B ACC213522222661|15CCP A BP AP B ACC 0123875P CP A BP ABP A B例 3：若盒中装有同一型号的灯泡共 10 个，其中有 8 个合格品，2 个次品（1）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡 3 次，每次取一只灯泡，求 2 次取到次品的概率（2）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数X的分布列和数学期望（1）思路：每次有放回的取灯泡，相当于做了 3 次独立重复试验，每次试验中取到合格品的概率为45，取到次品的概率为15，在 3 次试验中 2 次取到次品，1 次取得合格品，所以考虑利用公式求解取到次品的概率解：设事件A为“2 次取到次品”223141255125P AC4（2）思路：因为只有 2 个次品，所以最多用掉 3 个灯泡，X可取的值为1,2,3，1X 时，意味着取到的是合格品，概率为45，2X 是取到一个次品（概率为15）之后在 9 个灯泡中取到一个合格品（概率为89），3X 是连续取到 2 个次品（概率为1 15 9），之后一定拿到合格品，分别计算概率即可解：X可取的值为1,2,3415P X1 8825 945P X 1 1135 945P X X的分布列为：123P4584514548111123545459E X （）例 4：一个盒子内装有 8 张卡片，每张卡片上面写着 1 个数字，这 8 个数字各不相同，且奇数有 3 个，偶数有 5 个 每张卡片被取出的概率相等（1）如果从盒子中一次随机取出 2 张卡片，并且将取出的 2 张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；（2）现从盒子中一次随机取出 1 张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片设取出了次才停止取出卡片，求的分布列和数学期望（1）思路：本题可用古典概型解决，事件为“8 张卡片中取出 2 张卡片”，所以28nC 事件A为“所得新数为奇数”，可知需要一奇一偶相加即可，则 1135n ACC，从而可计算出 P A解：设A为“所得新数为奇数”1135281528CCP AC（2）思路：依题意可知可取的值为1,2,3,4，题目中的要求为“取出偶数即停止”所以若要保证第n次能继续抽卡片，则在前1n 次需均抽出奇数。所以1,2,3时，意味着抽卡片中途停止，则必在最后一次取到了偶数，以3为例，中途停止说明在第三次抽到偶数，前两次抽到奇数。所以3 2 538 7 6P（第二次受第一次结果的影响，只剩 7 张卡片，含有 2 张奇数卡片，所以是前两次是奇数的概率为3 28 7）。当4时，只要在前三次将奇数卡片抽完即可。5解：可取的值为1,2,3,4518P3 51528 756P3 2 5538 7 656P3 2 1148 7 656P的分布列为：1234P581556556156515513123485656562E （）例 5：某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门，首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是 1 号通道，则需要 1 个小时走出迷宫；若是 2 号，3 号通道，则分别需要 2 小时，3 小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止，令表示走出迷宫所需的时间，求的分布列和数学期望思路：迷宫的规则为只有进入 1 号通道才能走出迷宫，如果是其他通道（以 2 号为例），则可能打开 1 通道然后走出迷宫，或者打开另一个通道，通过第三轮进入 1 通道走出迷宫，所以可取的值为1（1 号），3（2 号+1 号），4（3 号+1 号），6（3 号+2 号+1 号或 2 号+3 号+1 号）。根据的取值便可判断出走迷宫的情况，从而列出式子计算概率，得到分布列解：可取的值为1,3,4,6113P1113326P1114326P11111632323P的分布列为：1346P1316161311117134636632E （）例 6：某学校要对学生进行身体素质全面测试，对每位学生都要进行 9 选 3 考核（即共 9 项测试，随机选取 3 项），若全部合格，则颁发合格证；若不合格，则重新参加下期的 9 选 3 考核，直至合格为止，若学生小李抽到“引体向上”一项，则第一次参加考试合格的概率为12，第二次参加考试合格的概率为23，第三次参加考试合格的概率为45，6若第四次抽到可要求调换项目，其它选项小李均可一次性通过（1）求小李第一次考试即通过的概率P（2）求小李参加考核的次数分布列（1）思路：由题意可知，小李能够通过考试的概率取决于是否能够抽到“引体向上”这个项目，如果没有抽到，则必能通过；若抽到“引体向上”则通过的概率为12。后面通过测试的概率受到前面抽签的影响，要利用条件概率进行解决解：（1）若没有抽到“引体向上”，则3813923CPC若抽到“引体向上”，则282391126CPC12215366PPP（2）思路：依题目要求可知可取的值为1,2,3,4，在参加下一次考核时，意味着前几次考核失败，所以当取2,3,4时，要考虑前面考核失败的情况与该次考核成功两个方面同时成立。解：可取的值为1,2,3,4516P3288339912426327CCPCC23288833399911473635405CCCPCCC 2288339911114635810CCPCC 的分布列为：1234P5642774051810例 7：袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球，从 A 中摸出一个红球的概率是13，从 B 中摸出一个红球的概率是23，现从两个袋子中有放回的摸球（1）从 A 中摸球，每次摸出一个，共摸 5 次，求 恰好有 3 次摸到红球的概率 设摸得红球的次数为随机变量X，求X的期望7（2）从 A 中摸出一个球，若是白球则继续在袋子 A 中摸球，若是红球则在袋子 B 中摸球；若从袋子 B 中摸出的是白球则继续在袋子 B 中摸球，若是红球则在袋子 A 中摸球，如此反复摸球 3 次，计摸出红球的次数为Y，求Y的分布列和期望（1）思路：题目中说“有放回的摸球”，所以本题为独立重复试验模型，在 A 中摸出红球的概率为13，代入独立重复试验模型公式即可计算出概率；随机变量X指摸出红球发生的次数，所以符合二项分布15,3XB，直接可计算期望解：设事件M为“恰好有 3 次摸到红球”3235124033243P MCX的取值为0,1,2,3,4,5，依题意可知15,3XB15533EX（2）思路：有放回的摸球三次，所以Y可取的值为0,1,2,3，因为下一次在哪个袋子里摸球取决于上一次的结果：若是白球则在本袋继续摸，若是红球则要换袋子摸，所以在计算概率的过程中要监控每一次摸球的结果，并按红球个数进行安排。例如1Y 时，要按“红白白”，“白红白”，“白白红”三种情况进行讨论，并汇总在一起。解：Y可取的值为0,1,2,33280327P Y22112 1 12171333 3 33327P Y1 2 21 1 22 1 21023 3 33 3 33 3 327P Y 1 2 1233 3 327P Y Y的分布列为：Y0123P827727102722787102110123272727279E Y （）例 8：为了参加中央电视台，国家语言文字工作委员会联合主办的中国汉字听写大会节目，某老师要求参赛学生从星期一到星期四每天学习 3 个汉字及正确注释，每周五对一周内所学汉字随机抽取若干个进行检测（一周所学的汉字每个被抽到的可能性相同）（1）老师随机抽了 4 个汉字进行检测，求至少有 3 个是后两天学习过的汉字的概率8（2）某学生对后两天所学过的汉字每个能默写对的概率为45，对前两天所学过的汉字每个能默写对的概率为35，若老师从后三天所学汉字中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的汉字的个数的分布列和期望解：（1）设事件A为“至少有 3 个是后两天学习过的汉字”134666412135349511C CCP AC（2）思路：依题意可知可取的值为0,1,2,3，本问的关键在于后三天中包括“后两天”与“第二天”两类，这两类中学生默写对的概率是不同的，所以在求概率时要讨论默对的属于哪个类别，再考虑其概率即可解：2122055125P2124121319155555125PC2124134256255555125PC24348355125P的分布列为：0123P212519125561254812521956481101231251251251255E （）例 9：QQ 先生的鱼缸中有 7 条鱼，其中 6 条青鱼和 1 条黑鱼，计划从当天开始，每天中午从该鱼缸中抓出一条鱼（每条鱼被抓到的概率相同）并吃掉，若黑鱼未被抓出，则它每晚要吃掉一条青鱼（规定青鱼不吃鱼）（1）求这 7 条鱼中至少有 6 条被 QQ 先生吃掉的概率（2）以表示这 7 条鱼中被 QQ 先生吃掉的鱼的条数，求的分布列及其数学期望E（1）思路：依题意可知，如果 QQ 先生没有抓到黑鱼，则黑鱼会一次次的吃掉青鱼，从而使得 QQ 先生吃掉鱼的总数减少。所以 QQ 先生吃鱼的总数决定于第几次将青鱼拿出，“QQ 先生至少吃掉 6 条”包含 6 条和 7 条，若吃掉 6条，则表示第一次拿出的是青鱼，在第二次拿黑鱼时，因为黑鱼已经吃掉一条青鱼，所以只能从剩下 5 条中拿出，故概率为6175；若吃掉 7 条，则表示第一次就拿出黑鱼，即概率为17。解：设事件iA为“第i次拿到青鱼”事件A为“QQ 先生至少吃掉 6 条鱼”1216 11177 535P AP AP A（2）思路：依题意可知只要晚一天拿出黑鱼，则这一天就会少两条青鱼（一条 QQ 吃掉，一条黑鱼吃掉），所以可9取的值为4,5,6,7。7代表第一天就拿到黑鱼；6代表第二天拿到黑鱼；5代表第三天拿到黑鱼；4代表第四天拿到黑鱼，此时 QQ 先生吃了 3 条青鱼，黑鱼吃了 3 条青鱼。分别求出概率即可解：可取的值为4,5,6,7177P6 1667 535P6 4 1857 5 335P6 4 21647 5 335P的分布列为：4567P1635835635171686117545675353535735E （）例 10：有,A B C三个盒子，每个盒子中放有红，黄，蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别（1）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S为“取得红色的三个球“，事件T为”取得颜色互不相同的三个球“，求 ,P SP T（2）先从A盒中任取一球放入B盒，再从B盒中任取一球放入C盒，最后从C盒中任取一球放入 A 盒，设此时A盒中红球的个数为，求的分布列与数学期望（1）思路一：可利用古典概型求出 ,P SP T，基本事件空间为“三个盒子的取球情况”，则11133327nCCC，则 1n S，336n TA（三种颜色全排列确定出自哪个盒），从而求得 ,P SP T解：（1）1113331127P SCCC 3311133329AP TCCC思路二：本题也可用概率的乘法进行计算。S表示每个盒均取出红球（取出红球的概率为13），因为每盒之间互不影响，所以 111333P S；T要求每盒颜色不同，所以前一个盒取出球的颜色会影响到下一个盒取球的选择。第一个盒取出一个颜色，则第二个盒只能取另外两个颜色的球（概率为23），而第三个盒只能取出剩下颜色的那个球（概率为13），所以 21133P T 解：（1）111133327P S 2121339P T （2）思路：分析可知整个过程对于A而言是取出一个球，再进入一个球，所以可取的值为0,1,2，情况较为简单10的为0和2的情况，当0时，意味着从A盒中取出了红球到B（概率为13），此时B盒中为 2 红 2 非红，C 盒中的情况取决于 B 盒中取出球的颜色，可进行分类讨论：若取出的是红球（概率为12），则 C 盒中为 2 红 2 非红，然后从 C 中取出非红球即可（概率为12）；若取出的不是红球（概率为12），则 C 盒中为 1 红 3 非红，再从 C中取出非红球即可（概率为34），综上可得：11113503222424P；当2时，意味着从A盒中取出了非红球到B（概率为23），此时B盒中为 1 红 3 非红，C 盒中的情况取决于 B 盒中取出球的颜色，可进行分类讨论：若取出的是红球（概率为14），则 C 盒中为 2 红 2 非红，然后从 C 中取出红球即可（概率为12）；若取出的不是红球（概率为34），则 C 盒中为 1 红 3 非红，再从 C 中取出红球即可（概率为14），综上可得：21131523424424P，进而可利用0,2PP求出1P解：依题意，可取的值为0,1,211113503222424P21131523424424P7110212PPP 的分布列为：012P5247125245750121241224E （）圆锥曲线中档必刷题汇编圆锥曲线中档必刷题汇编一选择题（共一选择题（共 14 小题）小题）1已知F是椭圆22:14xEy的右焦点，直线0 xmy与E交于A，B两点，则ABF的周长的取值范围为()A(2,4)B2，4)C(6,8)D6，8)【解答】解：记椭圆22:14xEy右焦点F，则四边形AFBF为平行四边形（如图所示），ABF的周长等于|ABAFBFABAFAF，因为|2AFAFa，所以周长等于|2ABa，又A，B不在x轴上，所以|2ABb，2)a，故ABF的周长的取值范围为|222ABaab，4)6a，8)故选：D2椭圆22221(0)xyabab上一点M关于原点的对称点为N，F为椭圆的一个焦点，若0MF NF ，且3MNF，则该椭圆的离心率为()A212B22C33D31【解答】解：椭圆22221(0)xyabab上一点M关于原点的对称点为N，F为椭圆的一个焦点，题意不妨设M在第一象限，F为右焦点，0MF NF ，且3MNF，可知2MFN，所以(2cM，3)2c，所以|MFc，|3NFc，所以23acc，所以23131cea故选：D3如图，1F、2F分别为椭圆22221xyab的左、右焦点，点P在椭圆上，2POF的面积为3的正三角形，则2b的值为()A4 3B3 3C2 3D3【解答】解：2POF的面积为3的正三角形，2334c，解得2c(1,3)P代入椭圆方程可得：22131ab，与224ab联立解得：22 3b 故选：C4已知直线(0)ykx k与椭圆222:1(1)xCyaa相交于P、Q两点，点F、A分别是椭圆C的右焦点和右顶点，若5|2FPFQFAa，则(a)A4B2C43D2 33【解答】解：设左焦点F，连接PF，QF，由直线和椭圆的对称性，可得|PFQF，|FAac，因为5|2FPFQFAa，由椭圆的定义可得：|2QFQFa，即5|22QFQFFAaaca，可得12ca，由于221ca，可得：22114aa，解得243a，因为1a，所以2 33a，故选：D5已知椭圆C的焦点为1(1,0)F，2(1,0)F过2F的直线与C交于A，B两点若222|3|AFBF，12|2|BFBF，则C的方程为()A2212xyB22132xyC22143xyD22154xy【解答】解：设2|2BFm，则2|3AFm，1|4BFm，由椭圆的定义可知：1212|6BFBFAFAFm，所以1|3AFm，故点A在椭圆的上（下)顶点处，不妨设点A在上顶点处，则(0,)Ab，设B点的坐标为(,)x y，则由222|3|AFF B可得：2232AFF B ，即(1，3)(1,)2bxy，解得53x，23yb，即52(,)33Bb，代入椭圆方程可得：222254199bab，解得25a，所以222514bac，故椭圆的方程为：22154xy，故选：D6已知直线230 xy过椭圆22221(0)xyabab的右焦点F，且交椭圆于A、B两点若线段AB的中点为P，直线OP的斜率为1，则椭圆的方程为()A2214536xyB2213627xyC2212718xyD221189xy【解答】解：设1(A x，1)y，2(B x，2)y，0(P x，0)y，则22112222222211xyabxyab，两式作差可得，22221212220 xxyyab，整理得，20122120yyybxxxa，即221(1)2ba ，得2212ba，又直线230 xy过椭圆的右焦点(3,0)F，3c，229ab，求得218a，29b 椭圆方程为221189xy故选：D7已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，过1F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一渐近线交于点B，若113FBAF，则C的离心率为()A6B62C3D2【解答】解：如图，1(,0)Fc，AB所在直线方程为()ayxcb，联立()ayxcbbyxa，解得Aabyc，联立()ayxcbbyxa，解得22Babcyba由113FBAF，得223abcababc，即22230ca232e，即6(1)2ee故选：B8如图，椭圆与双曲线共焦点1F，2F，它们的交点为P，且123FPF若椭圆的离心率为32，则双曲线的离心率为()A3B2C13 36D3 24【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率为2e，1|PFs，2|PFt，则2sta，2stm，解得sam，tam，又2222222212|42cos()()()()33FFcststamamam amam，即为22()3()4amcc可得2212134ee，由132e，可得23 24e，故选：D9方程22(2)(1)1t xty的图象表示曲线C，有以下四个结论：当32t 时，曲线C是圆；当12t 时，曲线C是椭圆；当2t 时，曲线C是双曲线；当2t 时，曲线C是抛物线其中结论正确的个数为()A1 个B2 个C3 个D4 个【解答】解：方程22(2)(1)1t xty的图象表示曲线C，有以下四个结论：当32t 时，即222xy曲线C是圆；正确；当12t，且32t 时，20t，10t 曲线C是椭圆；错误；当2t 时，20t，10t 曲线C是双曲线；正确；当2t 时，20t，11t 曲线21Cy 是直线错误故有 2 个正确，故选：B10已知P为椭圆2222:1(0)xyCabab上一点，O为坐标原点，1F，2F为椭圆C的左右焦点，若2|OPOF，且21tan2PF F，12PFF的面积为 4，则该椭圆的标准方程为()A22194xyB22195xyC22183xyD22184xy【解答】解：点P在椭圆C上，且满足2|OPOF，即有O为12PFF外接圆的圆心，即有1290FPF，由椭圆的定义可得12|2PFPFa，21tan2PF F，所以12|2|PFPF，则14|3PFa，22|3PFa，12PFF的面积为 4，1424233aa，所以3a，由2221212|PFPFFF，即22242()()433aac，即有25c，所以2b，所求椭圆方程：22194xy故选：A11已知1F，2F分别为双曲线22(0)xym m的左、右焦点，(0,2)P，12FPF为直角三角形，线段2PF交双曲线于点Q，若2PQPF ，则()A34B14C13D23【解答】解：双曲线为221xymm，由于12FPF是直角三角形，可知2c，4mm，得2m，直线2PF的方程为2yx ，与双曲线方程联立2222yxxy ，得32x，所以Q的横坐标为32，2PQPF ，可得322，所以34故选：A12已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过2F的直线分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点若点M是线段2F N的中点，且120NFNF ，则双曲线C的渐近线方程为()A2yx B12yx C3yx D33yx【解答】解：由题意知，点M在渐近线byxa上，点N在渐近线byxa 上，O，M分别为12FF和2F N的中点，1/F NOM，1F NOMbkka，直线1F N的方程为()byxca，联立()byxabyxca，解得2cx ，2bcya，点(2cN，)2bca，120NFNF ，且O为12FF的中点，22121|()()222cbcONFFca，化简得3ba，双曲线C的渐近线方程为3yx 故选：C13 已知1F，2F分别是椭圆22:16432xyC的左、右焦点，过1F的直线1l与过2F的直线2l交于点N，线段1F N的中点为M，线段1F N的垂直平分线MP与2l的交点P（第一象限）在椭圆上，且MP交x轴于点G，则|MGGP的取值范围为()A(0，2 217B2 21(0,)7C(0，21D(0,21)【解答】解：如图所示，点P在y轴右边，因为PM为1F N的垂直平分线，所以1|FMMN由中位线定理可得21|2OMF N设点0(P x，00)(0yx，00)y 由两点间的距离公式，得222222220010000022|()()(1)2xc xPFxcyxcbcxaaexaa，同理可得20|PFaex，所以2120|2F NPFPFex，故0|OMex，因为8a，4 2c，所以22e，故02|2OMx，所以0202|2|282xMGOMGPPFx，因为0022282xx在0(0,8)x 递增，所以0022(0,21)282xx故|MGGP的取取值范围为(0,21)故选：D14如图，已知曲线2yx上有定点A，其横坐标为(0)a a，AC垂直于x轴于点C，M是弧OA上的任意一点（含端点），MD垂直于x轴于点D，MEAC于点E，OE与MD相交于点P，则点P的轨迹方程是()A31(0)yxx aaB31(0)22ayxxx aaC22(0)yxaxx aD2(0)22aayxxx a【解答】解：因为定点A在曲线2yx上，其横坐标为(0)a a，则点2(,)A a a，又AC垂直于x轴于点C，所以(,0)C a，设点(,)P x y，所以点M的横坐标为x，又因为点M是弧OA上的任意一点，所以点2(,)M x x，故2(,)E a x，则直线OE的方程为231xyxxaa，又点P在直线OE上，故点P的坐标满足直线OE的方程，所以点P的轨迹方程是31(0)yxx aa故选：A二多选题（共二多选题（共 10 小题）小题）15 已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，直线的斜率为3且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若|8AF，则以下结论正确的是()A4p BDFFA C|2|BDBFD|4BF【解答】解：如图，(2pF，0)，直线l的斜率为3，则直线方程为3()2pyx，联立223()2ypxpyx，得22122030 xpxp解得：32Axp，16BxP，由3|2822pAFpp，得4p 抛物线方程为28yx1263Bxp，则28|233BF；|cos60BFBD，|2|BDBF，816|833BDBF，则F为AD中点运算结论正确的是A，B，C故选：ABC16已知直线l过抛物线2:2(0)C ypx p 的焦点，且与该抛物线交于M，N两点，若线段MN的长是16，MN的中点到y轴的距离是 6，O是坐标原点，则()A抛物线C的方程是28yx B抛物线的准线方程是2y C直线l的方程是20 xyDMON的面积是8 2【解答】解：设1(M x，1)y，2(N x，2)y，由抛物线的定义可得12|()16MNxxp，又因为MN的中点到y轴的距离是 6，所以12|12xx，所以1212xx，所以4p，所以抛物线的方程为：28yx，所以A正确，准线方程为2x，所以B不正确；设直线l的方程2xmy，联 立 直 线 与 抛 物 线 的 方 程：228xmyyx，整 理 可 得28160ymy，128yym，所 以21212()48412xxm yym ，解得1m ，所以l的方程为：2xy，所以C不正确；2212121211|2()48648 222MONSOFyyyyy y，所以D正确；故选：AD17已知A为椭圆2222:1(0)xyEabab的上顶点，以A为圆心，a为半径的圆与E的长轴相交于B，C两点，与E相交于M，N两点下列说法正确的是()A22|2BCabB|BMBNABACC若90BAC，则椭圆的离心率为12D若90BAC，且2b，则NBC的面积为4 24【解答】解：O为坐标原点，画图分析，可知|ABACa，所以B，C分别是椭圆的左、右焦点，故A对；根据对称性|BMCN，所以|2|BMBNNBNCaABAC，故B对；若90BAC，则45OAC，|2sin45|2OCeAC，故C错；根据圆的性质，1452BNCBAC，设NBx，NCy，根据椭圆的定义和余弦定理得知222242xyacxyxy，整理得2244(22)acxy，即24(22)bxy，所以248(22)22bxy，所以NBC的面积为1sin454 242xy，故D对故选：ABD18已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点1F，2F在y轴上，短轴长等于 2，离心率为63，过焦点1F作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确的是()A椭圆C的方程为2213yxB椭圆C的方程为2213xyC2 3|3PQ D2PF Q的周长为4 3【解答】解：由已知得，22b，1b，63ca，又222abc，解得23a 椭圆方程为2213yx 如图：2222 3|33bPQa，2PF Q的周长为44 3a 故选：ACD19已知椭圆22:19xy的左、右顶点分别为A，B，点P为上一点，且P不在坐标轴上，直线AP与直线3y 交于点C，直线BP与直线3y 交于点D设直线AP的斜率为k，则满足|36CD 的k的值可能为()A1B17C110D72 109【解答】解：由椭圆的方程可得(3,0)A，(3,0)B，设0(P x，0)y，则20200022000011933999PAPBxyyykkxxxx，因为PAkk，所以19PBkk，又直线PA的方程为(3)yk x，则令3y ，得33Cxk，直线PB的方程为1(3)9yxk，令3y ，得273Dxk，所以3|276|36CDkk，整理可得：291410kk 或291010kk，解得72 109k 或 1 或19，故选：AD20已知抛物线2:4E yx的焦点为F，准线为l，过F点的直线与抛物线E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且|3|AFBF，M为AB的中点，则下列结论正确的是()A90CFDB直线AB的斜率为3CCMD为等腰直角三角形D线段AB的长为163【解答】解：由抛物线的方程可得：(1,0)F，准线方程为：1x ，设直线AB的方程为：1xmy，1(A x，1)y，2(B x，2)y，则1(1,)Cy，2(1,)Dy，联立方程214xmyyx，消去x整理可得：2440ymy，所以124yym，124y y ，所以1212(2,)(2,)4440FC FDyyy y ，所以FCFD，即90CFD，所以A正确，选项B：因为|3|AFBF，所以3AFFB，即123yy，且124yym，124y y ，解得33m ，所以直线AB的斜率为13km，故B正确，选项C：由A正确，则CMDM不可能，且角C和角D不可能为直角，故C错误，选项D：由题意可得221212|1()4ABmyyy y22216116164(1)3mmm，故D正确，故选：ABD21已知曲线22:1C mxny()A若0mn，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若0mn，则C是圆，其半径为nC若0mn，则C是双曲线，其渐近线方程为myxn D若0m，0n，则C是两条直线【解答】解：A若0mn，则11mn，则根据椭圆定义，知22111xymn表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；B若0mn，则方程为221xyn，表示半径为1n的圆，故B错误；C若0m，0n，则方程为22111xymn，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为myxn ，若0m，0n，则方程为22111xymn，表示焦点在x轴的双曲线，故此时渐近线方程为myxn ，故C正确；D当0m，0n 时，则方程为1yn 表示两条直线，故D正确；故选：ACD22已知双曲线C的标准方程为2214yx，则()A双曲线C的离心率等于半焦距B双曲线2214xy 与双曲线C有相同的渐近线C双曲线C的一条渐近线被圆22(1)1xy截得的弦长为4 55D直线ykxb与双曲线C的公共点个数只可能为 0，1，2【解答】解：双曲线C的方程为2214yx，可得1a，2b，5c，所以双曲线的离心率为：5ec，所以A正确；双曲线的渐近线方程：2yx，双曲线2214xy 的渐近线方程12yx，所以B不正确；双曲线C的一条渐近线方程：2yx，被圆22(1)1xy截得的弦长为d：圆心到直线的距离为：22 555，所以222 52 1()55d，所以C不正确；直线(,)ykxb k bR，点0b 时，直线与双曲线的交点可能是 0 个，也可能是 2 个，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线的交点是 1 个，所以直线与双曲线C的公共点个数只可能为 0，1，2，所以D正确；故选：AD23在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yx上异于顶点的两个动点A、B，以AB为直径的圆过原点，则下列说法正确的是()A直线AB过定点(0,1)BAOB的重心的轨迹为抛物线CAOB的面积的最小值为 1D若OMAB于点M，则M点的轨迹为椭圆【解答】解：设1(A x，1)y，2(B x，2)y，直线AB的方程为(0)ykxm m，联立2yxykxm可得20 xkxm，所以12xxk，12x xm，由题意可得OAOB，则222121212120OA OBx xy yx xx xmm ，解得1m，则直线AB的方程为1ykx，过定点(0,1)P，故A正确；设AOB的重心为0(G x，0)y，则1201200303xxxyyy，即020323kxky，所以200233yx，因此G点的轨迹为抛物线，故B正确；22221212|1()41 14ABkxxx xkk，O到AB的距离211dk，所以211|4 122AOBSAB dk，当0k 时取得等号，故C正确；若OMAB于点M，则OMMP，设OP的中点为1(0,)2Q，则11|22MQOP，故M点的轨迹为圆，故D错误故选：ABC24设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为F，直线l为C的一条斜率为正数的渐近线，O为坐标原点若在C的左支上存在点P，使点P与点F关于直线l对称，则下列结论正确的是()A|2PFbBPOF的面积为abC双曲线C的离心率为3D直线l的方程是2yx【解答】解：设双曲线的左焦点为1F，PF与L的交点为M，如图所示，点P与点F关于直线l对称，OMPF，M为PF的中点，且O为1FF的中点，11|2OMPF，|2|PFMF，又(,0)F c，:0l bxay，22|bcMFbab，则22|OMcba，得|2PFb，故A正确；又112POFPFFSS，且11|22222PFFPFPFabSab，则POF的面积为ab，故B正确；由双曲线的定义可知，1|2PFPFa，222baa，即2ba，则:2l yx，2215cbeaa，故C错误，D正确故选：ABD三填空题（共三填空题（共 10 小题）小题）25如图，从椭圆的一个焦点1F发出的光线射到椭圆上的点P，反射后光线经过椭圆的另一个焦点2F，事实上，点0(P x，0)y处的切线00221xxyyab垂直于12F PF的角平分线已知椭圆22:143xyC的两个焦点是1F，2F，点P是椭圆上除长轴端点外的任意一点，12F P