江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题（含解析）.docx

南京师大附中20222023学年度第1学期高一年级期中考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合且，集合，集合，则( )A. B. C. D. 2. 已知为实数，使“”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D. 3. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“”和“”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若a，b，cR，则下列命题正确的是( )A. 若ab，则B. 若ab0，则C. 若ab，则D. 若，则ab4. 设，则( )A. B. C. D. 5. 设为实数，若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是( )A. B. C. D. 6. 世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”已知，设，则所在的区间为( )A B. C. D. 7. 已知奇函数的定义域为，且对任意两个不相等的正实数，都有，在下列不等式中，一定成立的是( )A. B. C. D. 8. 已知函数是定义域为区间，且图象关于点中心对称当时，则满足的x的取值范围是( )A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分9. 若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是( )A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是( )A. “”是“”的充分不必要条件B. 命题“”的否定是“”C. “”是“”的既不充分也不必要条件D. 设，则“”是“”的必要不充分条件11. 设为正实数，则下列不等式中对一切满足条件的恒成立的是( )A. B. C. D. 12 已知函数，则( )A. 奇函数B. 在上单调递增C. 方程有两个实数根D. 函数的值域是三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上13. 命题“，或”的否定是_14. 已知三个不等式：，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成_个真命题15. 的值为_16. 已知函数的图象关于直线对称若，则_，若，函数的最小值记为，则的最大值为_四、解答题：本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 化简求值(需要写出计算过程)(1)若，求值；(2)18. 已知集合Ax|x|20，集合(1)设a为实数，若集合Cx|x3a且x2a1，且C(AB)，求a的取值范围：(2)设m为实数，集合，若x(AB)是xD的必要不充分条件，判断满足条件的m是否存在，若存在，求m的取值范围：若不存在，请说明理由19. 设a，b，c为实数，且，已知二次函数，满足，(1)求函数的解析式：(2)设，当xt，t2时，求函数f(x)的最大值g(t)(用t表示)20. 某高校为举办百年校庆，需要氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务社团已有的设备每天最多可制备氦气，按计划社团必须在天内制备完毕社团成员接到任务后，立即以每天的速度制备氦气已知每制备氦气所需的原料成本为百元若氦气日产量不足，日均额外成本为(百元)；若氦气日产量大于等于，日均额外成本为(百元)制备成本由原料成本和额外成本两部分组成(1)写出总成本(百元)关于日产量的关系式(2)当社团每天制备多少升氦气时，总成本最少？并求出最低成本21. 设定义在上的函数，对任意，恒有若时，(1)判断的奇偶性，并加以证明；(2)判断的单调性，并加以证明；(3)设为实数，若，不等式恒成立，求的取值范围22. 设a为实数，已知函数为偶函数(1)求a的值；(2)判断在区间上单调性，并加以证明；(3)已知为实数，存在实数m，n满足，当函数的定义域为时，函数的值域恰好为，求所有符合条件的的取值集合南京师大附中20222023学年度第1学期高一年级期中考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合且，集合，集合，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据集合包含的元素特征，结合的结果可得结果.【详解】，.故选：D.2. 已知为实数，使“”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的真假性求得的取值范围，然后确定其充分不必要条件.【详解】依题意，全称量词命题：为真命题，在区间上恒成立，所以，所以使“”为真命题的一个充分不必要条件是“”.故选：B3. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确是使用“”和“”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若a，b，cR，则下列命题正确的是( )A. 若ab，则B. 若ab0，则C. 若ab，则D. 若，则ab【答案】D【解析】【分析】举反例说明选项AC错误；作差法说明选项B错误；不等式性质说明选项D正确.【详解】当时，选项A错误；，所以，所以选项B错误；时，所以选项C错误；时，所以选项D正确.故选：D4. 设，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】观察所求结构知把放到对数的真数部分作指数即可求解【详解】解：，故选：C5. 设为实数，若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质求得正确答案.【详解】二次函数的开口向上，对称轴为，要使二次函数在区间上有且仅有一个零点，则需，所以的取值范围是.故选：C6. 世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”已知，设，则所在的区间为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指数和对数互化，结合对数运算法则可求得，由此可得.【详解】，.故选：C.7. 已知奇函数的定义域为，且对任意两个不相等的正实数，都有，在下列不等式中，一定成立的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用题意得到在单调递增，可得到，结合奇函数即可得到答案【详解】对任意两个不相等的正实数，可得，即在单调递增，所以，因为是定义域为的奇函数，且，所以即，故选：A8. 已知函数是定义域为区间，且图象关于点中心对称当时，则满足的x的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据给定的条件，可得，再与已知联立结合函数单调性及定义域解不等式作答.【详解】因函数的图象关于点中心对称，则有，而，于是得，即，又当时，有在上单调递增，则在上单调递增，而，因此函数在上单调递增，于是得，解得，所以满足的x的取值范围是.故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分9. 若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是( )A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据两个命题的真假，判断出集合中元素的范围，确定合适的答案.【详解】由题意，且，即集合中一定要有小于0的元素，且任何元素都小于3，故，满足.故选：AD.10. 下列说法正确的是( )A. “”是“”的充分不必要条件B. 命题“”的否定是“”C. “”是“”的既不充分也不必要条件D. 设，则“”是“”的必要不充分条件【答案】ACD【解析】【分析】对于ACD，化简不等式即可判断；对于B，利用全称命题的否定即可判断【详解】对于A，由可得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故正确；对于B，命题“”的否定是“”，故不正确；对于C，由解得或，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故正确；对于D，由解得且，所以“”是“”的必要不充分条件，故正确，故选：ACD11. 设为正实数，则下列不等式中对一切满足条件的恒成立的是( )A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据特殊值以及基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A选项，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，A选项正确.B选项，时，但，B选项错误.C选项，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，C选项正确.D选项，时，但，D选项错误.故选：AC12. 已知函数，则( )A. 奇函数B. 在上单调递增C. 方程有两个实数根D. 函数的值域是【答案】BCD【解析】【分析】求出函数的定义域，不关于原点对称可判断A，分离常数后可得函数的单调性可判断B，解方程可判断C，分离常数求解函数值域可判断D.【详解】A函数的定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；B时，函数在上单调递增，则函数在上单调递减，故在上单调递增，B正确； C由题可得是方程的一个根，时，(舍去)， 时，故C正确；D时，时，当时，所以函数的值域为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上13. 命题“，或”的否定是_【答案】，【解析】【分析】由特称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由特称命题的否定知：原命题的否定为，.故答案为：，.14. 已知三个不等式：，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成_个真命题【答案】3【解析】【分析】根据题意，结合不等式性质分别判断、作为结论的命题的真假性即可.【详解】由不等式性质，得；故可组成3个真命题故答案为：3.15. 的值为_【答案】#【解析】【分析】将和配凑成完全平方的形式，代入所求式子中，结合对数运算可求得结果.【详解】，.故答案为：.16. 已知函数的图象关于直线对称若，则_，若，函数的最小值记为，则的最大值为_【答案】 . . 【解析】【分析】根据函数的对称性，利用特殊值得到方程组，求出、的关系，从而求出，得到，根据对称性仅研究时函数最小值，令，根据二次函数的性质求出，再根据的取值范围计算可得.【详解】解：当时，因为其图象关于对称，所以，即；当时，因为其图象关于对称，所以，此时，由对称性仅研究时函数最小值，令，则，令，因为，所以，则，即，所以；故答案为：；四、解答题：本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 化简求值(需要写出计算过程)(1)若，求的值；(2)【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)先取对数将表示出来，代入计算即可；(2)直接计算即可.【小问1详解】，得【小问2详解】原式18. 已知集合Ax|x|20，集合(1)设a为实数，若集合Cx|x3a且x2a1，且C(AB)，求a的取值范围：(2)设m为实数，集合，若x(AB)是xD的必要不充分条件，判断满足条件的m是否存在，若存在，求m的取值范围：若不存在，请说明理由【答案】(1)； (2)存在；.【解析】【分析】(1)根据解绝对值不等式的公式，结合分式的性质、交集的定义、子集的性质进行求解即可；(2)根据必要不充分条件的定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【小问1详解】，所以，所以，(1)由已知得，时，此时满足题意；时，要满足题意需综上所述，a的取值范围是；【小问2详解】由已知得，由题意得D是的真子集，所以，要满足题意需(等号不同时成立)答：满足条件的m存在，取值范围是19. 设a，b，c为实数，且，已知二次函数，满足，(1)求函数的解析式：(2)设，当xt，t2时，求函数f(x)的最大值g(t)(用t表示)【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由题意，根据多项式相等的条件，建立方程组，可得答案；(2)根据二次函数的性质，由给定区间与对称轴之间的位置关系，利用分类讨论，可得答案.【小问1详解】由，解得，所以，可得，则，解得，即；【小问2详解】由可知其对称轴为轴，开口向下，当，即时，在上单调递增，所以；当时，在上单调递减，所以；当，时，在上单调递增，在上单调递减，所以综上所述，20. 某高校为举办百年校庆，需要氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务社团已有的设备每天最多可制备氦气，按计划社团必须在天内制备完毕社团成员接到任务后，立即以每天的速度制备氦气已知每制备氦气所需的原料成本为百元若氦气日产量不足，日均额外成本为(百元)；若氦气日产量大于等于，日均额外成本为(百元)制备成本由原料成本和额外成本两部分组成(1)写出总成本(百元)关于日产量的关系式(2)当社团每天制备多少升氦气时，总成本最少？并求出最低成本【答案】(1) (2)当社团每天制备氦气时，总成本最少，最低成本为百元【解析】【分析】(1)根据生产天数要求，可确定的取值范围；计算可得日产量不足和大于等于时，氦气的平均成本，由此可得关系式；(2)分别在、的情况下，利用基本不等式和二次函数求最值的方法可求得最小值，综合两种情况可得结论.【小问1详解】若每天生产氦气，则需生产天，则；若氦气日产量不足，则氦气的平均成本为百元；若氦气日产量大于等于，则氦气的平均成本为百元；.【小问2详解】当时，(当且仅当，即时取等号)，当时，取得最小值；当时，令，则，则当，即时，取得最小值；综上所述：当社团每天制备氦气时，总成本最少，最低成本百元.21. 设定义在上的函数，对任意，恒有若时，(1)判断的奇偶性，并加以证明；(2)判断的单调性，并加以证明；(3)设为实数，若，不等式恒成立，求的取值范围【答案】(1)是奇函数；证明见解析 (2)为减函数；证明见解析 (3)【解析】【分析】(1)令可求得，令可得，由此可得奇偶性；(2)设，由可得，由此可得单调性；(3)利用单调性可将恒成立的不等式化为，利用二次函数性质可求得，由此可得的取值范围.【小问1详解】令，则；令，则，即，为定义在上的奇函数.【小问2详解】设，则，又，为定义在上的减函数.小问3详解】由得：，在上单调递减，；当时，取得最大值，最大值为，即实数的取值范围为.22. 设a为实数，已知函数为偶函数(1)求a的值；(2)判断在区间上的单调性，并加以证明；(3)已知为实数，存在实数m，n满足，当函数的定义域为时，函数的值域恰好为，求所有符合条件的的取值集合【答案】(1)； (2)在上单调递增；证明见解析； (3).【解析】【分析】(1)求出函数的定义域，利用偶函数的定义计算作答.(2)单调递增，再利用函数单调性定义推理作答.(3)利用(2)的结论，探讨函数的最值，转化为一元二次方程有两个正实根求解作答.【小问1详解】函数的定义域为，因是偶函数，即，因此，整理得，即，于得，所以.【小问2详解】由(1)知，显然函数在上单调递增，则，因，则，即，因此在上单调递增.【小问3详解】由(2)知，在上单调递增，又函数在上的值域恰好为，于是得，有，即关于x的方程在上有两个不等的正根，则，解得，所以的取值集合是.【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数及其图象，利用数形结合的方法解决一元二次方程的实根问题.