江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含解析）.docx

南京师大附中2022-2023学年度第1学期高一年级期末考试数学试卷一单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1. 已知，则( )A. B. C. D. 2. 已知，则( )A. B. C. D. 3. 设为实数，且，则“”是“的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 函数的零点所在的大致区间为( )A. B. C. D. 5. 已知，则的值是( )A. B. C. D. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是( )A. 图象关于直线对称B. 图象关于点成中心对称C. 的一个单调递增区间为D. 曲线与直线所有交点中，相邻交点距离的最小值为7. 函数的图象大致为( )A. B. C. D. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是( )A. B. C. D. 二多项选择题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分)9. 下列说法正确的是( )A. 若为正整数，则B. 若，则C. D. 若，则10. 设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是( )A. 当时，方程的两个实数根之和为0B. 方程无实数根的一个必要条件是C. 方程有两个不相等的正根的充要条件是D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是11. 设，已知，则下列说法正确的是( )A. 有最小值B. 没有最大值C. 有最大值为D. 有最小值为12. 设为正实数，为实数，已知函数，则下列结论正确的是( )A. 若函数的最大值为2，则B. 若对于任意的，都有成立，则C. 当时，若在区间上单调递增，则的取值范围是D. 当时，若对于任意的，函数在区间上至少有两个零点，则的取值范围是三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上13. 命题“”的否定是_.14. 已知，则_.15. 设函数，则满足的取值范围是_.16. 已知函数是定义在上不恒为零的偶函数，且对于任意实数都有成立，则_.三解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上17. 设，已知集合.(1)当时，求；(2)若“”是“”必要条件，求的取值范围.18. 设，计算下列各式的值：(1)；(2).19. 设函数和的定义域为，若是偶函数，是奇函数，且.(1)求函数和的解析式；(2)判断在上的单调性，并给出证明.20. 如图所示，有一条“L”形河道，其中上方河道宽，右侧河道宽，河道均足够长.现过点修建一条长为栈道，开辟出直角三角形区域(图中)养殖观赏鱼，且.点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金鱼，下方养殖锦鲤.(1)当养殖观赏鱼的面积最小时，求的长度；(2)若游客可以在河岸与栈道上投喂金鱼，在栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度与投喂金鱼的道路长度之比不小于，求的取值范围.21. 设为实数，已知函数，.(1)若函数和的定义域为，记的最小值为，的最小值为.当时，求的取值范围；(2)设为正实数，当恒成立时，关于的方程是否存在实数解？若存在，求出此方程的解；若不存在，请说明理由.22 设，函数.(1)讨论函数的零点个数；(2)若函数有两个零点，求证：.南京师大附中2022-2023学年度第1学期高一年级期末考试数学试卷一单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1. 已知，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由并集和补集的概念即可得出结果.【详解】，则，故选：C.2. 已知，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用对数换底公式和对数的运算性质进行运算求解即可【详解】，故选：B3. 设为实数，且，则“”是“的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由不能推出，如，满足，但是，故充分性不成立；当时，又，可得，即，故必要性成立；所以“”是“的必要不充分条件.故选：B.4. 函数的零点所在的大致区间为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可知在递增，且，由零点存在性定理即可得出答案.【详解】易判断在递增，.由零点存在性定理知，函数的零点所在的大致区间为.故选:D.5. 已知，则的值是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果.【详解】令，则，则.故选：C.6. 将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是( )A. 图象关于直线对称B. 图象关于点成中心对称C. 的一个单调递增区间为D. 曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为【答案】D【解析】【分析】先利用题意得到，然后利用正弦函数的性质对每个选项进行判断即可【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到，对于A，因为所以直线不是的对称轴，故错误；对于B，所以图象不关于点成中心对称，故错误；对于C，当，则，因为正弦函数在不单调，故不是的一个单调递增区间，故错误；对于D，当时，则或，则或，则相邻交点距离最小值为，故D正确故选：D.7. 函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性及在上的函数值正负逐个选项判断即可【详解】因为，定义域为R，所以，所以为奇函数，又因为时，所以由图象知D选项正确，故选D8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质讨论，和时，函数的单调性与值域，即可得出答案.【详解】因为，定义域为，因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递减，时，时，；则时，时，时，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解题关键在于理解题中高斯函数的定义，才能通过研究的性质来研究的值域，突破难点.二多项选择题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分)9. 下列说法正确的是( )A. 若为正整数，则B. 若，则C. D. 若，则【答案】BC【解析】【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案【详解】对于A，若，则，故A错误；对于B，时，故B正确；对于C，由，则，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，当时，故D错误；故选：BC10. 设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是( )A. 当时，方程的两个实数根之和为0B. 方程无实数根的一个必要条件是C. 方程有两个不相等的正根的充要条件是D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是【答案】BCD【解析】【分析】逐项分析每个选项方程根的情况对应的参数m满足的不等式，解出m的范围，判断正误.【详解】对于A选项，时无实根，A错误；对于B选项，当时方程有实根，当时，方程无实根则，解得，一个必要条件是，B正确； 对于C选项，方程有两个不等正根，则，解得；对于D选项，方程有一个正根和一个负根，则，解得，D正确；故选：BCD.11. 设，已知，则下列说法正确的是( )A. 有最小值B. 没有最大值C. 有最大值为D. 有最小值为【答案】ABD【解析】【分析】由均值不等式分别求出的最值，即可得出答案.【详解】时正确，时，则错误，D正确；故选：ABD.12. 设为正实数，为实数，已知函数，则下列结论正确的是( )A. 若函数的最大值为2，则B. 若对于任意的，都有成立，则C. 当时，若在区间上单调递增，则的取值范围是D. 当时，若对于任意的，函数在区间上至少有两个零点，则的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】对A：根据正弦函数的有界性分析判断；对B：利用函数的周期的定义分析判断；对C：以为整体，结合正弦函数的单调性分析判断；对D：以为整体，结合正弦函数的性质分析判断.【详解】A选项，由题意，则，A正确；B选项，若，则的周期为，设的最小正周期为，则，解得，B错误；C选项，当时，则，若在区间上单调递增，则，解得，C正确；选项，由题意可得，对，在上至少两个零点，则，若对，在上至少两个零点，则，解得，D正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：求解函数yAsin(x)的性质问题的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)Asin(x)的形式(2)整体意识：类比ysinx的性质，只需将yAsin(x)中的“x”看成ysinx中的“x”，采用整体代入求解令xk (kZ)，可求得对称轴方程令xk(kZ)，可求得对称中心的横坐标将x看作整体，可求得yAsin(x)的单调区间，注意的符号(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0.三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上13. 命题“”的否定是_.【答案】【解析】【分析】根据特称命题的否定，可得答案.【详解】由题意，则其否定为.故答案为：.14. 已知，则_.【答案】3【解析】【分析】将已知式中分子，再分子分母同时除以，解方程即可得出答案.【详解】由题意，即，则.故答案为：3.15. 设函数，则满足的的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】结合函数解析式，对分三种情况讨论，分别计算可得.【详解】当时，则在时无解；当时，在单调递增，时，则的解集为；当时，则时恒成立；综上，的解集为.故答案为：16. 已知函数是定义在上不恒为零的偶函数，且对于任意实数都有成立，则_.【答案】0【解析】【分析】根据解析式求出，进而得到若，则，从而求出.【详解】由，令可得，今可得，由是偶函数可得，则，时，若，则，则，则.故答案为：0.三解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上17. 设，已知集合.(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)求出集合，由并集的定义即可得出答案.(2)由“”是“”必要条件可得，则，解不等式即可得出答案.【小问1详解】由可得，即，则，时，.【小问2详解】由“”是“”的必要条件可得，则，则，实数的取值范围是.18. 设，计算下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)1 (2)5【解析】【分析】(1)所求表达式分子分母同时除以，代入求解即可；(2)将分子看成，所求表达式分子分母同时除以，代入求解即可；小问1详解】原式；【小问2详解】原式.19. 设函数和的定义域为，若是偶函数，是奇函数，且.(1)求函数和的解析式；(2)判断在上的单调性，并给出证明.【答案】(1)， (2)单调递减，证明见解析【解析】【分析】(1)根据函数奇偶性构造关于和得方程组，进而求出它们的解析式；(2)根据函数单调性定义进行证明.【小问1详解】由，可得，由为偶函数，为奇函数，可得，则，；【小问2详解】由(1)得在单调递减，证明如下：取任意，由，可得，则，则，则，则在单调递减.20. 如图所示，有一条“L”形河道，其中上方河道宽，右侧河道宽，河道均足够长.现过点修建一条长为的栈道，开辟出直角三角形区域(图中)养殖观赏鱼，且.点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金鱼，下方养殖锦鲤.(1)当养殖观赏鱼的面积最小时，求的长度；(2)若游客可以在河岸与栈道上投喂金鱼，在栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度与投喂金鱼的道路长度之比不小于，求的取值范围.【答案】(1)； (2).【解析】【分析】(1)过作垂直于，求得，从而得出养殖观赏鱼的面积，利用基本不等式可求得最小时的值，进而求得的长度；(2)由，可得，则，由题意，则，化切为弦可得，结合即可求得结果.【小问1详解】过作垂直于，垂足分别为，则，养殖观赏鱼的面积，由可得，则，当且仅当即时取等号，则最小时，此时l 的长度为；【小问2详解】由，可得，则，由题意，则，而，则，由可得，则，则.21. 设为实数，已知函数，.(1)若函数和的定义域为，记的最小值为，的最小值为.当时，求的取值范围；(2)设为正实数，当恒成立时，关于的方程是否存在实数解？若存在，求出此方程的解；若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2)不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)利用指数函数的单调性及二次函数的性质，分别求出和的最小值，然后解不等式即可；(2)利用二次函数性质，求得的最小值为，由题意可得，当时,，可得，即可得出结论.【小问1详解】当时，函数和均单调递增，所以函数单调递增，故当时，取最小值，则；当时，则当，即时，取最小值，即，由题意得，则，即的取值范围是；【小问2详解】当时，则当，即时，取最小值为，则恒成立时，有，即，当时， 则，则，故关于的方程不存在实数解.22. 设，函数.(1)讨论函数的零点个数；(2)若函数有两个零点，求证：.【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用分离参数法分类讨论函数的零点个数；(2)利用根与系数关系和三角函数单调性证明.【小问1详解】，令，即，时，即，或即时，无解；即时，仅有一解，此时仅有一解；即时，有两解，各有一解，此时有两个零点；综上，时，无零点，时，有一个零点，时，有两个零点；【小问2详解】有两个零点时，令，则为两解，则，则，则，由可得，则，则，则，由可得，则，由在递减，可得，则.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点