湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高一下学期第二次阶段性检测数学试题（含解析）.docx

长沙市第一中学2022-2023学年度高一第二学期第二次阶段性检测数 学时量：120分钟 满分：150分 得分：_一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是( )A. B. C. 16D. 83. 已知复数z满足，若，则复数z为( )A. B. C. 或D. 或4. 函数的部分图象大致是( )A. B. C D. 5. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”型浮空艇的体积约为( ) A. B. C. D. 6. 已知函数满足，则下列说法正确的是( )A. B. C. D. 7. 如图，点在棱上的射影分别是，若，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则( )A. B. C. D. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知a，b是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是( )A. 若，则直线a，b一定相交B. 若，则C. 若，则直线a平行于平面内的无数条直线D. 若，则a与b是异面直线10. 定义：，两个向量的叉乘，则以下说法正确的是( )A. 若，则B. C. 若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于D. 若，则的最小值为11. 正方体ABCD-的棱长为a，E在棱上运动(不含端点)，则( )A. 侧面中不存在直线与DE垂直B. 平面与平面ABCD所成二面角为C. E运动到的中点时，上存在点P，使BC平面AEPD. P为中点时，三棱锥体积不变12. 已知函数()，则下列说法正确是( )A. 在区间上单调递增B. 在上值域为C. 最小正周期为D. 的图象可以由函数的图象，先向左平移个单位，再向上平移个单位得到三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，则的最小值为_.14. 已知正四棱锥的所有棱长均为2，且该四棱锥的五个顶点在一个球面上，则这个球的表面积_.15. 在中，边上的高为2，则满足条件的的个数为_.16. 已知实数x，y满足，则_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，且与夹角为，求：(1)；(2)与的夹角的余弦值.18. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.(1)求角A；(2)若，求ABC面积最大值.19. 如图，多面体中，四边形为矩形，二面角的大小为，. (1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.20. 已知函数.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.(1)求函数在区间，上的单调递减区间；(2)若对于恒成立，求实数m的范围.21. 如图，PCBM是直角梯形，PCB=90°，PMBC，PM=1，BC=2，又AC=1，ACB=120°，ABPC，且直线AM与直线PC所成的角为60°. (1)求证：平面PAC平面ABC；(2)求异面直线PA与MB所成角的余弦值.22. 函数.(1)若的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)当时，为定义域为R的奇函数，且时，若关于x的方程恒有两个不同的实数根，求t的取值范围.长沙市第一中学2022-2023学年度高一第二学期第二次阶段性检测数 学时量：120分钟 满分：150分 得分：_一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析即可得解.【详解】当时，故，当时，则由不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.2. 如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是( )A. B. C. 16D. 8【答案】B【解析】【分析】根据斜二测画法规则求出，判断的形状，确定，由此求出原四边形的面积.【详解】在正方形中可得，由斜二测画法可知，且，所以四边形为平行四边形，所以故选：B.3. 已知复数z满足，若，则复数z为( )A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】根据复数的模的计算求得a的值，再根据复数的除法运算即可求得答案.【详解】由有，即，解得，当时，,当时，.故选：C4. 函数的部分图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性，并判断时，函数值的正负，即可判断选项.【详解】，定义域为，关于原点对称，由，所以为奇函数，排除BD；当时，因为为上减函数，为上的增函数，则为上的减函数，且当，则当，故，排除A.故选：C.5. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”型浮空艇的体积约为( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据球、圆柱、圆台的体积公式可求出结果.【详解】根据题意，该组合体的直观图如图所示： 半球半径为9米，圆柱的底面半径为9米，母线长为14米，圆台的两底面半径分别为9米和1米，高为30米.则，所以.故选:A.6. 已知函数满足，则下列说法正确的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】用换元法求出，再用代入法即可解出答案【详解】设，则，由，有，即，故选：D7. 如图，点在棱上的射影分别是，若，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别取中点，结合三角形中位线性质可知所求角为或其补角，根据面面垂直的性质和勾股定理可求得的长，利用余弦定理可求得，进而得到所求余弦值.【详解】分别取中点，连接，分别为中点，且，异面直线与所成角即为或其补角；，同理可知：；，又，异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.8. 已知函数，若，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断的对称性与单调性，再利用中间值法得，最后利用单调性比较大小即可.【详解】因为，所以的对称轴为，则有，又当时，得，而和均在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，又，即，所以，即.故选：A二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知a，b是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是( )A. 若，则直线a，b一定相交B. 若，则C. 若，则直线a平行于平面内的无数条直线D. 若，则a与b是异面直线【答案】BC【解析】【分析】根据空间直线和平面平行判定和性质即可逐项判断.【详解】对于A，若，则或a与相交，A错误；对于B，若，由面面平行的性质可得：存在使得，由线面平行的判定可得，B正确；对于C，若，则因为在内存在无数条直线和b平行，故直线a平行于平面内的无数条直线，故C正确对于D，若，则ab或a与b是异面直线，故D错误；故选：BC.10. 定义：，两个向量的叉乘，则以下说法正确的是( )A. 若，则B. C. 若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于D. 若，则的最小值为【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据叉乘定义，判断，至少有一个为零向量或，即可判断；对于B，根据叉乘定义，讨论和，即可判断；对于C，结合平行四边面积即可判断；对于D，由，推出，结合向量模的计算以及基本不等式即可判断.【详解】对于A，若，至少有一个为零向量，则满足； 若，均不零向量，则，即，同向或反向，即，故A正确，对于B，若，则 ，此时；若，此时，故B错误；对于C，若四边形为平行四边形，则它的面积等于，即 ，故C正确；对于D， ，两式平方后相加得，即，又，当且仅当时等号成立，故的最小值为，故D错误，故选：AC11. 正方体ABCD-的棱长为a，E在棱上运动(不含端点)，则( )A. 侧面中不存在直线与DE垂直B. 平面与平面ABCD所成二面角为C. E运动到的中点时，上存在点P，使BC平面AEPD. P为中点时，三棱锥体积不变【答案】BCD【解析】【分析】由线垂直于面，则线垂直于面内的任意一条线，可判断A选项，由二面角的定义找到平面与平面ABCD所成二面角，可判断B选项，由线面平行的判定定理可以找到点P，可判断C选项，由线面平行的判定定理可得E到平面的距离为定值，可判断D选项.【详解】对于A选项，E在棱上运动时，DE平面，连接，则平面，A错误.对于B选项，平面A1DE与平面ABCD所成二面角即为，B正确.对于C选项，BCAD，BC面AED，当P是A1C与平面AED的交点时，BC/平面AEP，C正确.对于D选项，连接BC1与B1C交于O，连接PO，则在中，POA1B1，又PO平面，平面PBC1，A1B1平面，E到平面的距离为定值.三棱锥体积不变，D正确.故选：BCD12. 已知函数()，则下列说法正确的是( )A. 在区间上单调递增B. 在上的值域为C. 的最小正周期为D. 的图象可以由函数的图象，先向左平移个单位，再向上平移个单位得到【答案】ACD【解析】【分析】对于A ，利用辅助角公式及正弦函数的单调性即可求解；对于B，根据立方和公式及辅助角公式，利用换元法及函数单调性的定义即可求解；对于C、D，根据同角三角函数的平方关系及二倍角公式，结合余弦函数的周期公式及三角函数的平移变换即可求解.【详解】对于A ，由题意可得：，因，所以，且在上单调递增，在区间上单调递增，故A正确；对于B ，由题意可得：，令，则，可得，构建，则对，有，故在上单调递增，故在上的值域为，所以的值域为，故B错误；对于C、D，由题意可得：，故的最小正周期为，故C正确；函数的图象，先向左平移个单位，得到，再向上平移个单位，得到，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，由，结合基本不等式，即可求解.【详解】由已知，则，当且仅当，时等号成立.故答案为：.14. 已知正四棱锥的所有棱长均为2，且该四棱锥的五个顶点在一个球面上，则这个球的表面积_.【答案】【解析】【分析】设是正四棱锥的高，求出，即可得到为球心，半径，从而求出外接球的表面积.【详解】如图，设是正四棱锥的高，则，则，即为球心，半径为，所以外接球的表面积为.故答案：15. 在中，边上的高为2，则满足条件的的个数为_.【答案】2【解析】【分析】根据正弦定理计算出三角形外接圆半径，求得A到的距离的最大值，和边上的高为2比较，即可确定答案.【详解】因为中，所以的外接圆半径为,即A位于以2为半径的圆弧上，如图，当为正三角形时，此时顶点A到的距离的最大值为,如图当A位于处时，此时为外接圆直径，则,则，满足边上的高为2，故满足条件的的个数为2个，故答案为：2【点睛】方法点睛：解答本题判断符合条件的三角形个数问题，采用作图分析即数形结合，即可判断得出结论.16. 已知实数x，y满足，则_.【答案】6【解析】【分析】将方程化简整理，构造函数，从而得到即可求解.【详解】，令，则有，设函数，显然该函数为增函数，所以函数在上有唯一的零点，因此，故答案：6.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，且与夹角为，求：(1)；(2)与的夹角的余弦值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)利用来计算求；(2)设与的夹角为，先求出，再利用向量夹角公式来计算即可.【小问1详解】由已知可得，；【小问2详解】设与的夹角为，又，.18. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.(1)求角A；(2)若，求ABC面积的最大值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)因为，根据正弦定理“边化角”，结合正弦两角和公式，即可求得角；(2)根据余弦定理求得关系式，结合均值不等式和三角形面积公式，即可求得的面积的最大值.【小问1详解】由，根据正弦定理得：， 又，代入上式得：， 又，所以， 又，所以 .【小问2详解】由余弦定理得：，代入得：， 根据基本不等式，得：，当且仅当时，等号成立， 的面积为：， 故面积的最大值为.19. 如图，多面体中，四边形为矩形，二面角的大小为，. (1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；(2)分析可知二面角的平面角为，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，可得出直线与平面所成角为，计算出、的长，即可求得的正弦值，即为所求.【小问1详解】证明：因为四边形是矩形，所以，因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，、平面，则平面平面，因为平面，所以，平面.【小问2详解】解：因为，所以，二面角的平面角为，由题意可得，又因为，、平面，所以，平面，过点在平面内作，垂足为点，因为平面，所以，又因为，、平面，所以平面，连接，所以直线与平面所成角为， 因为，则，因为，则，所以.直线与平面所成角的正弦值为 20. 已知函数.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.(1)求函数在区间，上的单调递减区间；(2)若对于恒成立，求实数m的范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)利用辅助角公式可将化为，因，则，后由在上的单调递减区间可得答案；(2)由题可得，后利用在单调性可得.方法1：令，则等价于，后分三种情况，利用分离参数结合函数单调性可得答案；方法2：令，则等价于，则，即可得答案.【小问1详解】.因，则，又分别在上单调递增和递减，则，即函数在区间，上的单调递减区间为；【小问2详解】函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得解析式为，又将所得函数图象向右平移个单位长度，解析式为，则.因，则.又在上单调递增，在上单调递减，则，故.方法1：令，则等价于，.当时，则此时m可取任意值；当时，注意到函数均在上单调递增，则函数在上单调递增，则；当时，注意到函数均在上单调递增，则函数在上单调递增，则；综上可得：.方法2：令，则等价于，.则.【点睛】关键点点睛：本题涉及求正弦型函数的单调区间及恒成立问题，难度较大.(1)问较为基础，(2)问为恒成立问题，方法1转化为最值问题，方法2利用二次函数观点解决问题.21. 如图，PCBM是直角梯形，PCB=90°，PMBC，PM=1，BC=2，又AC=1，ACB=120°，ABPC，且直线AM与直线PC所成的角为60°. (1)求证：平面PAC平面ABC；(2)求异面直线PA与MB所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析； (2).【解析】【分析】(1)证明平面，原题即得证；(2)设是的中点，连接，证明是异面直线与所成角(或其补角)，再利用余弦定理求解.【小问1详解】依题意，平面， 所以平面，由于平面，所以平面平面 .【小问2详解】设是的中点，连接，由于，所以四边形是平行四边形，所以， 由于平面，所以平面，而， 由于直线与直线所成的角为60°，即，所以， 由于，所以四边形是平行四边形，所以，所以是异面直线与所成角(或其补角)， 由于平面，平面，所以，在三角形中，由余弦定理得，所以异面直线与所成角的余弦值为. 22. 函数.(1)若的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)当时，为定义域为R的奇函数，且时，若关于x的方程恒有两个不同的实数根，求t的取值范围.【答案】(1)； (2).【解析】【分析】(1)等价于恒成立，再求出的范围即得解；(2)先利用函数的奇偶性求出的解析式，分析得到已知等价于，再分析函数的图象得解.【小问1详解】由题恒成立，则恒成立，由于，所以，所以.【小问2详解】当时，；若，又因为为定义域为R的奇函数，所以当时，所以，方程等价于，根据解析式可知，当时，当时，当时，因此，故方程即为，由于在上是单调递增函数，故方程即为等价于，即：，当时，函数在单调递减，在上单调递增，要使得有两个不同的实数解，即，即，当时，同理可得，综上可知，