广东省华附、省实、广雅、深中四校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题含解析.docx

2022学年下学期华附、省实、广雅、深中高二四校联考数学命题学校：华南师大附中 定稿人：本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的谷案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.第一部分 选择题(共60分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i为虚数单位，则( )A 0B. C. D. 2. 已知集合，则( )A. B. C. D. 3. 已知为等差数列的前项和，若，且，则( )A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，且，记为在方向上的投影向量，则( )A. 4B. 3C. 2D. 15. 小明将一颗质地均匀的骰子抛掷三次，观察向上一面的点数，已知三次点数都不相同，则三次点数之和不大于8的概率为( )A. B. C. D. 6. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且，则C的离心率为( )A. B. 2C. D. 57. 已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且.则下列选项中说法正确的有( )A. 为偶函数B. 周期为2C. D. 是奇函数8. 已知实数x，y满足，则满足条件的y的最小值为( )A. 1B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，且，则下列各选项正确的是( )A. B. C D. 10. 在平面直角坐标系中，点绕点O逆时针旋转后到达点，若，则可以取( )A. B. C. D. 11. 已知点P是圆C：上的动点，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，若为直角三角形，则点P的坐标可以是( )A. B. C. D. 12. 如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为，梯形ABCD内接于下底面圆，CD是直径，过点A，B，C，D向上底面作垂线，垂足分别为，点分别是线段，上的动点，点为上底面圆内(含边界)任意一点，则( )A. 若平面交线段于点，则B. 若平面过点，则直线过定点C. 的周长为定值D. 当点在上底面圆周上运动时，记直线与下底面所成角分别为，则的取值范围是第二部分 非选择题(共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. “”是“”的_条件.(选填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”)14. 已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动等高堆积条形图如下，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为_15. 在三棱锥中，已知平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为_16. 若数集S的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集S的超子集.已知集合，记的超子集的个数为，则_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面底面，且，E为CD中点，F为AD的中点. (1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.18. 已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求周长的最大值.19. 设数列的前n项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)解关于n的不等式：.20. 某篮球联赛分为初赛和复赛两个阶段，组委会根据初赛成绩进行第一阶段排名(假设排名不重复)，前六名的球队直接进入复赛，第七、八名的球队进行第一场复活赛，胜者进入复赛；第九、十名的球队进行一场比赛，胜者与第一场复活赛的败者进行第二场复活赛，本场的胜者成为进入复赛的最后一只球队.假设各场比赛结果互不影响，且每场比赛必须分出胜负(1)若初赛后，甲、乙、丙、丁四队分别排在第七、八、九、十名，丁队与甲、乙、丙队比赛获胜的概率分别是0.4，0.5，0.6，甲队与乙队比赛获胜的概率是0.6，则丁队进入复赛的概率是多少?(2)若甲，乙两队进入复赛，在复赛中，甲队与乙队需进行一场五局三胜制的比赛，只要其中一方获胜三局，比赛结束、假设各局比赛结果互不影响.若乙队每局比赛获胜的概率为，设比赛结束时乙队获胜的局数为X，求X的概率分布列与均值.21. 设点F为抛物线C：的焦点，过点F且斜率为的直线与C交于A，B两点(O为坐标原点)(1)求抛物线C的方程；(2)过点作两条斜率分别为，直线，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知，问：是否存在实数，使得为定值?若存在，求的值，若不存在，请说明理由.22. 已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在上存在两个零点，证明：.2022学年下学期华附、省实、广雅、深中高二四校联考数学命题学校：华南师大附中 定稿人：本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的谷案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.第一部分 选择题(共60分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i为虚数单位，则( )A. 0B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式计算即可.【详解】由，得.故选：C.2. 已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据指数函数的单调性和正弦函数的性质分别求出集合，再根据交集的定义即可得解.【详解】,，所以.故选：C.3. 已知为等差数列的前项和，若，且，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于的等式，求出的值，即可求得的值.【详解】设等差数列的公差为，由可得，即，解得，故.故选：A.4. 已知向量，满足，且，记为在方向上的投影向量，则( )A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】先根据投影向量的定义求出，再根据平面向量的模的坐标公式即可得解.【详解】由，得，由为在方向上的投影向量，得，所以，.故选：B.5. 小明将一颗质地均匀的骰子抛掷三次，观察向上一面的点数，已知三次点数都不相同，则三次点数之和不大于8的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据条件概率公式结合计数原理求解即可.【详解】将这颗骰子连续抛掷三次，三次向上的点数一共有种情况，设三次点数都不相同为事件，符合事件的点数情况有；设事件是三次点数之和不大于8，则事件同时发生的点数情况有种；则已知三次点数都不相同，则三次点数之和不大于8的概率为故选：D.6. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且，则C的离心率为( )A. B. 2C. D. 5【答案】C【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，在利用余弦定理可得出、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值【详解】如下图所示，双曲线的右焦点，渐近线的方程为，由点到直线的距离公式可得，由勾股定理得，在中，在中，由余弦定理得，化简得，即，因此，双曲线的离心率为，故选：C【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：直接求出、，可计算出离心率；构造、的齐次方程，求出离心率；利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解7. 已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且.则下列选项中说法正确的有( )A. 为偶函数B. 周期为2C. D. 是奇函数【答案】D【解析】【分析】由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，可知是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，可知关于直线对称，由此即可求出函数的周期，进而可判断选项A,B是否正确；利用周期和对称性即可判断选项C，D是否正确.【详解】由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，所以关于中心对称，即是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，所以关于直线对称，即；所以，所以函数的周期，所以选项AB错误；，故选项C错误；对选项D：由已知关于和直线对称，所以关于对称，又因为的周期，可得关于对称，所以是奇函数，D正确.故选：D.8. 已知实数x，y满足，则满足条件的y的最小值为( )A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】分析】方程化为，构造函数，求出函数的导数，判断函数的单调性，推出，从而，构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最值即可【详解】由实数，满足，可化为，即，构造函数，当时，单调递增，即，可以得到，从而，构造函数，令可以得到，当时，单调递减，当时，单调递增，从而当时，取最小值，即有最小值故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，且，则下列各选项正确的是( )A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】由已知条件逐项判断即可.【详解】对于，因为，所以，正确.对于,若，则，即.又，所以，不符合题意，错误.对于,因为，所以,正确.对于,设，则，错误.故选：.10. 在平面直角坐标系中，点绕点O逆时针旋转后到达点，若，则可以取( )A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据题意可得，再结合和已知条件可求出.【详解】因为点绕点O逆时针旋转后到达点，所以，因为，所以，则由，解得，或，所以可以取或，故选：AD11. 已知点P是圆C：上的动点，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，若为直角三角形，则点P的坐标可以是( )A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】设，再分为直角，为直角和为直角三种情况讨论即可得解.【详解】圆C：的圆心为，半径，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，由，令，则，令，则，即，因为点P是圆C：上的动点，则可设，则，当为直角时，则，即，整理得，又，则，解得，当时，此时，当时，此时，当为直角时，则，即，整理得，又，则，解得，所以，此时，当为直角时，则，即，整理得，又，则，解得，所以，此时，所以BCD可以，A不可以.故选：BCD.12. 如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为，梯形ABCD内接于下底面圆，CD是直径，过点A，B，C，D向上底面作垂线，垂足分别为，点分别是线段，上的动点，点为上底面圆内(含边界)任意一点，则( )A. 若平面交线段于点，则B. 若平面过点，则直线过定点C. 的周长为定值D. 当点在上底面圆周上运动时，记直线与下底面所成角分别为，则的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】对A：先证面，再利用线面平行的性质，即可判断；对B：根据共面，且面，即可判断；对C：取点与点重合，以及点与中点重合两个位置，分别计算三角形周长，即可判断；对D：根据题意，找到线面角，得到，结合余弦定理、基本不等式求的范围，即可判断结果.【详解】对A：由题可得面，面，故面；又面，面，故面；面，故面面；又面，故面；又面，面面，故可得，故A正确；对B：根据题意，共面，又分别为上的动点，故直线面；不妨设直线与平面的交点为，若要满足与共面，则直线必过点，又为定点，故B正确；对C：设的周长为，当点与重合时，；当点与中点重合时，连接： 此时；显然周长不为定值，故C错误；对D：过作底面圆垂线，垂足为且在下底面圆周上，即面，连接，则、分别是直线，与下底面圆所成角， 所以，则，所以，而，底面圆半径为，若在对应优弧上时，则，所以，当且仅当时等号成立，此时，若在对应劣弧上时，则，所以，当且仅当时等号成立，此时，综上，则，故，即，故D正确故选：ABD.【点睛】关键点睛：其中关于D选项中对范围的求解，将空间问题转化为基本不等式问题进行处理，也可以直接建立空间直角坐标系进行处理；同时关于C选项中的定值问题，选取特殊位置验证，不失为一种较好的做题技巧.第二部分 非选择题(共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. “”是“”的_条件.(选填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”)【答案】充分不必要【解析】【分析】根据充分条件和必要条件得定义即可得解.【详解】由可得，故充分性成立，由，当，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.14. 已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如下，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为_【答案】9【解析】【分析】先根据等高堆积条形图求出喜欢徒步的男女生人数，再由分层抽样方法可得.【详解】由题可知，喜欢徒步的男生有人，喜欢徒步的女生有人，则女生应抽取人数为人.故答案为：915. 在三棱锥中，已知平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】如图，由题意可得平面，为三角形的外心，则三棱锥的外接球的球心在过垂直于平面的直线上，设为点，则外接球的半径为，然后利用已知的数据求出半径，进而可求出表面积【详解】解：因为平面平面，平面平面，所以平面，设为三角形的外心，连接，则，因为，所以,过作垂直于平面的直线，则三棱锥的外接球的球心在此直线上，设外接球的球心为，连接，设外接球的半径为，则，因为，所以，即，所以三棱锥的外接球的表面积为，故答案为：16. 若数集S的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集S的超子集.已知集合，记的超子集的个数为，则_.【答案】【解析】【分析】由题意先将集合的超子集可以分为两类，第一类是超子集中不含，这类超子集有个，第二类是超子集中含，从而求得的递推关系，进而可得出答案.【详解】集合的超子集可以分为两类，第一类是超子集中不含，这类超子集有个，第二类是超子集中含，这类超子集为的超子集与的并集有个，或的单元素子集与集合的并集有个，所以共有个，所以，由题意，所以，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：将集合的超子集分为超子集中不含和超子集中含两类，求得的递推关系，是解决本题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面底面，且，E为CD的中点，F为AD的中点. (1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)连接，先证明，根据面面垂直及线面垂直得性质证明，再根据线面垂直的判定定理即可得证；(2)根据棱锥的体积公式计算即可.【小问1详解】连接，因为E为CD的中点，F为AD的中点，所以，又底面ABCD为菱形，所以，所以，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因平面，所以平面； 【小问2详解】由，得，因为底面ABCD为菱形，所以为等边三角形，所以，则，所以.18. 已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求周长的最大值.【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为， (2)【解析】【分析】(1)根据题意，由三角恒等变换化简即可得到函数的解析式，再由正弦型函数的周期与单调区间，即可得到结果；(2)根据题意，由条件可得，再由余弦定理结合基本不等式，即可得到，从而得到结果.【小问1详解】因为，则其最小正周期为，令，解得，所以函数的单调递增区间为，.【小问2详解】由可得，可得或，且为锐角，则，又因为，由余弦定理可得，即，化简可得，且，其中，所以，解得，所以，当且仅当时，等号成立，所以周长的最大值为.19. 设数列的前n项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)解关于n的不等式：.【答案】(1)； (2).【解析】【分析】(1)利用给定条件，结合“”求解作答.(2)由(1)的结论，利用二项式定理化简不等式，再利用指数函数单调性求解作答.【小问1详解】在数列中，当时，解得，当时，则，因此数列是等比数列，首项为1，公比为2的等比数列，则，所以数列的通项公式是.【小问2详解】由(1)知，因此原不等式化为，而函数在上单调递增，又，则，所以原不等式的解为.20. 某篮球联赛分为初赛和复赛两个阶段，组委会根据初赛成绩进行第一阶段排名(假设排名不重复)，前六名的球队直接进入复赛，第七、八名的球队进行第一场复活赛，胜者进入复赛；第九、十名的球队进行一场比赛，胜者与第一场复活赛的败者进行第二场复活赛，本场的胜者成为进入复赛的最后一只球队.假设各场比赛结果互不影响，且每场比赛必须分出胜负(1)若初赛后，甲、乙、丙、丁四队分别排在第七、八、九、十名，丁队与甲、乙、丙队比赛获胜的概率分别是0.4，0.5，0.6，甲队与乙队比赛获胜的概率是0.6，则丁队进入复赛的概率是多少?(2)若甲，乙两队进入复赛，在复赛中，甲队与乙队需进行一场五局三胜制的比赛，只要其中一方获胜三局，比赛结束、假设各局比赛结果互不影响.若乙队每局比赛获胜的概率为，设比赛结束时乙队获胜的局数为X，求X的概率分布列与均值.【答案】(1)0.276； (2)分布列见解析，.【解析】【分析】(1)根据给定条件，利用相互独立事件及全概率公式计算作答.(2)求出的可能值及对应的概率值，列出分布列并求出期望作答.【小问1详解】依题意，记丁队进入复赛的事件为，丁队进入复赛需参加两场比赛，第一场战胜丙队，记为事件，第二场战胜甲乙比赛中的败者，记为事件，甲队战胜乙队记为事件， 则，因此，所以.【小问2详解】依题意，的可能值为，所以的概率分布列为：0123数学期望为.21. 设点F为抛物线C：的焦点，过点F且斜率为的直线与C交于A，B两点(O为坐标原点)(1)求抛物线C的方程；(2)过点作两条斜率分别为，的直线，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知，问：是否存在实数，使得为定值?若存在，求的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)； (2)存在，.【解析】【分析】(1)写出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合三角形面积求解作答.(2)联立直线与抛物线C的方程，结合弦长公式求出，由已知建立关系推理作答.【小问1详解】抛物线C：的焦点，直线的方程为，由消去y并整理得：，设，则，因此，而，解得，所以抛物线C的方程为. 【小问2详解】存在，使得为定值.依题意，直线，直线，由消去y并整理得，设，则，设，同理，且有，由，得，即，而，则，所以存在，使得为定值0.【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，则面积；过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，则面积.22 已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在上存在两个零点，证明：.【答案】(1) (2)证明见解析【解析】【分析】(1)求导函数，确定切线斜率及切点纵坐标，即可得切线方程；(2)设，则在上存在两个零点，求导结合零点存在定理可得函数的单调性，分别确定函数在处和处的切线方程，构造函数可证得，考虑和的零点，分别为和，结合不等式的性质即可证明结论.【小问1详解】当时，所以所以，又因为，所以在处的切线方程为【小问2详解】考虑函数依题意得在上存在两个零点而令，则因为对任意的，所以任意的，恒成立，所以在0,1上单调递减而由零点存在性定理，存在，使得于是，因此在上单调递增，在上单调递减，在取到极大值 又因为，由零点存在性定理和的单调性当且仅当时，在上和上各恰有一个零点，即为， 不妨设由(1)可得，在处的切线方程为.令，则令，则，所以在单调递减而，所以对任意的， ，所以在单调递减，又因为，所以对任意的，.即当时，同理可计算得，在处的切线方程为令，则.令，则，所以在单调递减而，所以对任意，所以在单调递增,又因为，所以对任意的，.即当时，考虑和的零点，分别为和因为，所以，因为，所以于，所以.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与导数综合应用，解决函数零点与导数的关系进而证明含零点差的不等式.解决该问题的关键是构造函数，确定函数在处和处的切线方程，利用导数构造函数证明，从而将零点转化，再结合不等式的性质证得结论.